专题01 第6章 三角（考点串讲，13大考点&26大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020）高一数学下学期·期中大串讲 专题01 第6章 三角 （13考点&26题型） 人教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 象限角  考点透视 清单02 轴线角  考点透视 清单03 终边相同的角  清单04 扇形的弧长和面积  考点透视 清单05 三角函数定义  考点透视 清单06 同角三角函数基本关系  考点透视 清单07 两角和与差公式  考点透视 清单08 二倍角公式  清单09 降幂公式  清单10 辅助角公式  考点透视 清单11 正弦定理  考点透视 清单12 三角形面积公式  清单13 余弦定理  考点透视 【考点题型一】区间角的表示 考点透视 【考点题型二】终边相同的角的集合 【答案】C 考点透视 【考点题型三】角度制与弧度制 考点透视 【考点题型四】扇形弧长与面积公式 考点透视 【考点题型五】N分角 【答案】B 考点透视 【考点题型六】定义法求三角函数 考点透视 【考点题型六】定义法求三角函数 考点透视 【考点题型七】由某一三角函数求参数 考点透视 考点透视 题型剖析 【答案】A 题型剖析 【考点题型十】利用诱导公式化简 题型剖析 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角 题型剖析 【考点题型十二】两角和与差的余弦公式及其应用 题型剖析 【考点题型十二】两角和与差的余弦公式及其应用 题型剖析 【考点题型十三】两角和与差的正弦公式及其应用 题型剖析 题型剖析 【考点题型十四】两角和与差的正切公式及其应用 题型剖析 【考点题型十四】两角和与差的正切公式及其应用 题型剖析 【考点题型十五】二倍角公式的应用 题型剖析 【考点题型十六】辅助角公式的应用 题型剖析 【考点题型十七】三角恒等变化化简求值 题型剖析 【考点题型十八】拼凑角求角或求值 题型剖析 【考点题型十八】拼凑角求角或求值 题型剖析 【考点题型十九】解三角形 题型剖析 【考点题型十九】解三角形 题型剖析 【考点题型二十】判断三角形的形状 【答案】①②③④ 题型剖析 【考点题型二十】判断三角形的形状 【答案】C 题型剖析 【考点题型二十一】边角互化的应用 题型剖析 【考点题型二十二】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型二十二】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型二十三】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型二十三】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十五】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型二十五】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型二十五】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型二十六】正余弦定理的实际应用 题型剖析 【考点题型二十六】正余弦定理的实际应用 题型剖析 【考点题型二十六】正余弦定理的实际应用 易错易混 【答案】B 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 所有与角终边相同的角为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ② 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (其中) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）余弦定理的推论 ； ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）（1）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角； （2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同，且，所以角是第二象限角； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）图①：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合； 图②：因为， 所以阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】∵，∴与终边相同， 所以与的终边相同的角可以表示为或或， 又角度制与弧度制不可同时混用，符合题意的只有C． 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设，，，. (1)将、用弧度制表示出来，并指出它们各自是哪个象限的角； (2)将、用角度制表示出来，并在–720°~0°之间找出与它们终边重合的所有角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），在第二象限； ，在第一象限, 即是第二象限的角，是第一象限的角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），终边重合的角是， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–612°和–252°； ，终边重合的角是为， 所以，解得或， 所以–720°~0°范围内与它终边重合的角是–420°. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设弓形面积为．由题知． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（23-24高一下·上海·期中）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知P是角的边上一点，且P点的坐标为，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为,可得, 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，，且，解得，. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 . 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（2024高一下·上海·专题练习）已知 (1)求的值； (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 所以， 所以． 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 由可得． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，求下列各式的值. (1)； (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高一上·上海·课堂例题）按照要求用反三角符号表示下列的角： (1)，； (2)，； (3)（a为常数），． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为， 而， 所以由诱导公式可得，或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，， 而， 所以在一个周期上，， 所以由余弦函数的周期可得（）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为， 所以在一个周期上，， 所以时，（）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（22-23高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵为锐角，，且，∴； ∵为锐角，，且，∴， ∴， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为为锐角，，所以， ，所以，， 所以，∴； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】.（23-24高一下·上海·假期作业）已知，，，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， 由，故， ，故， 故 . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（23-24高一下·安徽六安·阶段练习）已知，，其中． (1)求的值； (2)求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）， 即， 联立，且， 解得，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由小问1得， 则， ，则 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】.（23-24高一·全国·课后作业）已知，，，，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 故答案为: . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（23-24高一下·上海·假期作业）把下列各式化为的形式： (1)；(2)；(3). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2） . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高一上·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（23-24高一下·上海·开学考试）已知，均为锐角，且，． (1)求的值； (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）法一：，， ，， ，解得， 联立，为锐角，解得， ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 法二：令， 因为，均为锐角，且，所以， 由得， ，解得， 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】.（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解： ， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由， 得， 又，得或， 当时，， 当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式19-1】.（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高一·上海·随堂练习）下列命题：①正弦定理适用于任意三角形；②在中，，则是直角三角形；③在中，若，则是钝角三角形；④在中，若，则是钝角三角形，其中正确的序号是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①正弦定理适用于任意三角形，故①正确； ②在中，，可得，则是直角三角形，故②正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ③在中，若， 即有， 即，则是钝角三角形，故③正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ④在中，若，即， 若中有一个小于0，成立；若都大于0，可得， 则是钝角三角形，故④正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】.（23-24高二上·上海松江·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以， 即，所以， 所以为等腰三角形. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（2024高一·上海·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 所以， 即，又，所以， 所以，又，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式22-1】.（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23】（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式23-1】.（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由余弦定理得，即． 又，所以． 由解得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由和正弦定理，所以． 由（1）得． 由解得 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求周长的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-1】.（22-23高二下·上海宝山·开学考试）在中，有，其中分别为角的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 由，得，即， 所以，可得，又，可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式24-1】.（22-23高二下·上海宝山·开学考试）在中，有，其中分别为角的对边. (1)求角的大小； (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）如图，延长到满足，连接，则为平行四边形， 则， 在中，由余弦定理得：，即 可变形为：，即， 由基本不等式得：，即，得（当且仅当取等号）. 又，有，故的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）若锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，则面积的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以，即， 由正弦定理得， 因为，则，所以， 由得，故，所以，故，故， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由为锐角三角形，得，解得， 因为，由正弦定理得， 因为，所以， . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式25-1】.（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解： ， 所以，函数的最小正周期为， 令，解得， 故函数的单调递增区间是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式25-1】.（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)在中，角、、的对边分别为、、．若，，求的面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：，即， ，则，，可得， 由余弦定理以及基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（24-25高一上·上海·课后作业）甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设为两船的相遇位置，画出满足题目条件的，设乙船速度为v海里/时，如图. 在中，由余弦定理可知：， 即，解得. 又由正弦定理可知， ∴，∴， 即乙船应按北偏东的方向，以21海里/时的速度航行. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式26-1】.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处. (1)求此时该外国船只与D岛的距离； (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）依题意，在中，， 由余弦定理得 ， ∴， 即此时该外国船只与D岛的距离为海里. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）建立以点A为坐标原点，为x轴，过点A往正北方向为y轴的坐标系，如图， 则，，， 设经过t小时外国船只到达点. 又，所以. 由,解得或（舍去）, 故（小时）， 则， ∴， ∴海监船的航向为东偏北41.8°， ∴海监船的速度（海里/小时）. 又， 故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）若是角终边上的一点，且，则实数的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：根据三角函数的终边上点的定义，， 所以，即且，所以 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)求角的大小； (2)求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由, 根据余弦定理可得，化简得， 由正弦定理，可知， 因为为锐角三角形，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)求角的大小； (2)求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由. 由正弦定理得， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则，， 故， 即面积的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 原式 . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$