专题02 高一下学期期中真题精选（考题猜想，压轴9大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题02 高一下学期期中真题精选（压轴9大题型） （人教A版2019必修第二册第六章 平面向量与解三角形+第七章 复数+第八章 立体几何（8.1-8.3）） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 平面向量基本定理 · 压轴二 向量的数量积（含最值范围）（重点） · 压轴三 向量的模（含最值范围）（重点） · 压轴四 平面向量中的新定义题（难点） · 压轴五 三角形周长（边长代数和）问题（重点难点） · 压轴六 三角形面积问题（重点难点） · 压轴七 复数模的最值（范围）问题 · 压轴八 空间几何体表面积和体积 · 压轴九 外接球与内切球（高频） 压轴一、 平面向量基本定理（共7小题） 1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（多选）（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 3．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则 .    4．（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 5．（23-24高一下·浙江丽水·期中）如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，． (1)若 ①请用，表示 ②设与相交于点，求 (2)若，求的取值范围． 6．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 7．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 压轴二、向量的数量积（含最值范围）（共7小题） 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·贵州·期中）在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ． 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    6．（24-25高三上·上海·期中）在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 . 7．（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且．如果的最大值为，那么 ，此时的最小值为 ． 压轴三、向量的模（含最值范围）（共7小题） 1．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为 ． 3．（23-24高一下·北京·期中）已知单位向量的夹角为，且（其中).当时， ；当时，的最小值是 . 4．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·浙江·期中）已知． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求的最小值． 6．（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 7．（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题 (1)在平面直角坐标系中，已知，； (2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中， ①已知，求； ②已知，，，求的最大值. 压轴四、平面向量中的新定义题（共6小题） 1．（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，且，求的值； (2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 6．（23-24高一下·山东日照·期中）如图，已知是的外心，，，，，． (1)判断的形状，且求时的值； (2)当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 压轴五、三角形周长（边长代数和）问题（共5小题） 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．    (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 4．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 5．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中，三内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 压轴六、三角形面积问题（共7小题） 1．（22-23高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 2．（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·期中）设正三角形的三边分别经过点，，，则该三角形面积的最大值为 ． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）在等腰中，角所对的边分别为，其中为钝角，. (1)求; (2)如图，点与点在直线的两侧，且，设，求的面积的最大值和此时的值. 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为. (1)求的单调递增区间； (2)若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值； (3)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，内角的对边分别为，若 (1)求的大小； (2)若是线段上一点，且，求的最大值. 压轴七、复数模的最值（范围）问题（共7小题） 1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 2．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 6．（23-24高一下·重庆·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 7．（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 压轴八、空间几何体表面积和体积（共10小题） 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一下·山东·期中）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（    ）    A．此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 B．过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为 C．若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 D．若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 3．（多选）（23-24高一下·山西太原·期中）如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的体积是6 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直三棱柱的外接球表面积是 4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    5．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 7．（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . 8．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 .    9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    10．（24-25高一上·河南南阳·期中）平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. (1)请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； (2)请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 压轴九、外接球与内切球（共6小题） 1．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川·期中）如图，棱长为2的正方体的内切球为球，，分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的是（    ） A．存在点，使垂直于平面 B．对于任意点，平行于平面 C．到直线的距离为 D．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 6．（24-25高三上·河南·期中）从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为 . 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 ． 8．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． $$专题02 高一下学期期中真题精选（压轴9大题型） （人教A版2019必修第二册第六章 平面向量与解三角形+第七章 复数+第八章 立体几何（8.1-8.3）） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 平面向量基本定理 · 压轴二 向量的数量积（含最值范围）（重点） · 压轴三 向量的模（含最值范围）（重点） · 压轴四 平面向量中的新定义题（难点） · 压轴五 三角形周长（边长代数和）问题（重点难点） · 压轴六 三角形面积问题（重点难点） · 压轴七 复数模的最值（范围）问题 · 压轴八 空间几何体表面积和体积 · 压轴九 外接球与内切球（高频） 压轴一、 平面向量基本定理（共7小题） 1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 2．（多选）（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】ABD 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则 .    【答案】/0.25 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】利用向量共线定理建立方程，结合角平分线定理得到比例关系联立方程，求解即可. 【详解】因为在△ABC中，AD是的角平分线，所以，、 又因为，所以由角平分线定理得： 取为基底，则由H、M、B三点共线可得：①；、 由C、D、B三点共线可得：； 即，所以,所以. 即②. 因为M是AD的中点，所以,①式可化为：， 即③ 设，则 ②③对照得：，解得，即. 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用基底表示向量、已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）设，利用向量的运算法则知，，然后利用三点共线可知为定值； （2）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据可得答案. 【详解】（1）设， 于是， 又，，、， ，， ， 根据向量的运算法则可知 ， ， 三点共线， ， 整理可得： ，即， 故为定值，定值为； （2）设， ， ， ， ， ， ， . 5．（23-24高一下·浙江丽水·期中）如图在平行四边形中，，，分别为和上的动点（包含端点），且，． (1)若 ①请用，表示 ②设与相交于点，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【知识点】数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】（1）①因为，所以，，利用向量的线性表示得到，从而解得；②用和表示，由三点共线求得的值； （2）用和分别表示和，得到，利用转化成关于的二次函数，在时的取值范围即为的取值范围 【详解】（1）①， ，． ②设，则， 三点共线，，． （2），， ． ，． 6．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 7．（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 压轴二、向量的数量积（含最值范围）（共7小题） 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】根据条件，建立平面直解坐标系，设，，则，利用数量积的坐标运算，可得，即可求解. 【详解】如图，连接交于，因为为菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，    又菱形边长为，设，，则， 所以， 则， 得到， 所以， 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量共线定理的推论、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，    则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】利用向量的线性运算，结合正六边形的性质用表示，进出求出；利用数量积的运算律可得，再求出的最大最小值即可. 【详解】连接，由正六边形性质知，，且是线段的中点， ，又，且不共线， 因此，所以； 如图，取的中点，连接， 则， 由为圆的直径，长度为2，得， 由正六边形的性质知，当点与正六边形的顶点重合时，， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，，， 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 4．（23-24高一下·贵州·期中）在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ． 【答案】 【知识点】三角函数定义的其他应用、向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出，结合在梯形中，，和圆内接四边形对角互补，可得梯形为等腰梯形，且中点为梯形的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可. 【详解】    由，得，则， 又在梯形中，，则， 结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形． 又，取中点，可得，， 即为梯形外接圆圆心， 所以，梯形外接圆以为圆心，2为半径的圆. 以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设是角的终边，又因为点在圆上，所以，即 又，， ， 由，则，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形外接圆的圆心所在位置，主要考查了圆内接四边形的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题. 5．（24-25高三上·天津滨海新·期中）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·期中）在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，由求出点坐标，设出的长，由此得到的长，从而求出点的坐标，然后表示出向量，，求得的表达式，由二次函数的性质得出最小值. 【详解】若，则，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则，所以， ∵，，∴， ∵，∴ 所以，， 所以，是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，当时，取得最小值. 7．（24-25高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点为圆上的动点，点的坐标为，其中为常数且．如果的最大值为，那么 ，此时的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】根据题意，设，由数量积的坐标运算结合两角的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，其中， 则，， 则， 对任意的，可知当时， 的最大值为，则，且，则， 且当时，的最小值为. 故答案为：； 压轴三、向量的模（含最值范围）（共7小题） 1．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 即，即，即， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 2．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】由恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】，则有， 整理可得，∵对任意，上式恒成立， ∴； 由题意知，∴，∴． ∴， 所以时，的最小值为． 故答案为：. 3．（23-24高一下·北京·期中）已知单位向量的夹角为，且（其中).当时， ；当时，的最小值是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】借助单位向量定义与平面向量的数量积公式计算可得空一，借助平面向量共线定理及模长与数量积的关系计算可得空二. 【详解】当时，； 当时，则有，即， 则 ， 则当时，有最小值，即. 故答案为：；. 4．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）设，向量，，且，则 ；当时，的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直列方程求得，进而可得空1答案；利用平方的方法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】空1：因为，所以，即，得； 空2：由题知，又， 所以当时，取得最小值，最小值为12， 当时，取得最大值，最大值为28， 故的取值范围为． 故答案为：；. 5．（23-24高一下·浙江·期中）已知． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）根据数量积的运算律，即可结合模长求解， （2）根据模长公式以及夹角公式即可求解， （3）根据余弦定理可求解长度，即可得，即可求解最值，或者利用模长公式以及二次函数的性质求解. 【详解】（1） 由于，所以，故 （2） （3）法一：记， 则 根据余弦定理得， 则，即 则，所以最小值为 法二： 当时，取得最小值 6．（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的运算律 【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解； （2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值. 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 7．（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题 (1)在平面直角坐标系中，已知，； (2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中， ①已知，求； ②已知，，，求的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、利用函数单调性求最值或值域、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）由向量夹角余弦公式可得答案； （2）①由题目所给信息结合向量模长公式可得答案；②由①可得表达式，后令，结合及函数单调性可得答案. 【详解】（1）依题意得， ， 则 .所以 与的夹角为； （2）①由题意可知： ，， 则， ∴； ②由题意可知， . 由①可得：. 令 ,又因为， 且，所以，， ∴， 则. 又因为函数在单调递增， 即：时，函数取到最大值7， 即，则有，∴当时，的最大值为. 压轴四、平面向量中的新定义题（共6小题） 1．（多选）（23-24高一下·福建龙岩·期中）对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【知识点】用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】由题意可得，，从而得，，分和分别求解即可. 【详解】因为，设向量和的夹角为， 则，由，得， 则，因此， 则， 当时，，又，则， 此时，， 当时，，又，则， 此时，， 所以或． 故选：AB 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 2．（多选）（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（    ） A．当时， B．对于任意非零向量，都有 C．对于不垂直的非零向量，都有 D．若，则 【答案】BD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量新定义 【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可． 【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，， 对于A，由上可知， 则， 又，所以，则， 当为钝角时，，即，故A错误； 对于B，因为， ， 所以，故B正确； 对于C，设为非零常数， 则， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 又，所以，所以中至少一个为0，则，故D正确， 故选：BD． 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、数量积的运算律、函数新定义 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. （2）因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. （3）由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】平面向量的混合运算、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解； （2）①由特殊到一般，可得对满足条件的，，即可化简求向量的模； ②根据条件用表示出向量，再由数量积化简，转化为关于的式子，分类讨论求最值. 【详解】（1）因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. （2）①由题意得，， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，， 有， 所以， 所以. ②当，时， ，， ， 令， 当，2，3时， 当或3时，上式有最小值为 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高. 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，且，求的值； (2)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、数量积的运算律、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意得，结合两角和的正弦公式化简，可得， ，然后利用诱导公式将化简为，进而根据二倍角的三角函数公式算出的值；. （2）由“源向量”的定义得出，所以，根据平面数量积的定义算出，再利用余弦定理算出，进而化简得到，然后利用基本不等式算出，再根据换元法与二次函数的性质，求出的取值范围.. 【详解】（1）若向量的“伴随函数”为 则， 所以，可得， 所以 （2）由于函数的“源向量”为， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得：，整理得 即， 可得， 根据，解得，结合，得， 设，则， 可得， 相应的二次函数在区间上为减函数， 可知的最大值小于， 的最小值等于， 即的取值范围是. 6．（23-24高一下·山东日照·期中）如图，已知是的外心，，，，，． (1)判断的形状，且求时的值； (2)当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 【答案】(1)为等边三角形； (2)①② 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得的中点为，即可结合向量的线性运算得解； （2）①由题意可得、、分别为，，的等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的单调性逐步计算即可得. 【详解】（1），， 则，即，故为等边三角形， 由题意知的中点为，且， ，， 故； （2）①由为等边三角形，为外接圆的圆心， 故，，，， ，，， ，， 又，故、、分别为，，的等分点， ； 同理， 故； ②令， 由，故， 可以看为自变量为的一次函数， 在时取得最小值， 同理，由，在时取得最小值，， 在时取得最小值，， 故的最小值为， 即集合中的最小元素为. 压轴五、三角形周长（边长代数和）问题（共5小题） 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到的大小，然后利用正弦定理将用角的表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值. 【详解】因为， 所以， 所以，又， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，又， 所以，又， 所以， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 由得， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含cosx的二次式的最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．    (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解； （2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解. 【详解】（1）连结，则 四边形的面积为    （2）由题意，在中，，由正弦定理 同理在中，，由正弦定理 令 时，即，的最大值为5 4．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 5．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在中，三内角对应的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、诱导公式二、三、四 【分析】（1）根据正弦定理可得，则或，即可求解； （2）由题意得，即，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）由得， 又，所以. 因为， 得或，解得或（不合题意，舍去）， 故. （2）因为是锐角三角形，所以， 即且，解得. 因此，即， 所以. 即的取值范围是. 压轴六、三角形面积问题（共7小题） 1．（22-23高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，又，所以 ， 所以当即时，面积的最大值为. 故选：B 2．（22-23高一下·河南·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据三角恒等变换求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求得面积的最大值． 【详解】因为， 所以， 即， 即， 即， 所以，解得， 因为，所以， 又因为，， ，解得， 因为，，都为正数，所以，即， 解得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 故选：A． 3．（24-25高三上·广东·期中）设正三角形的三边分别经过点，，，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离 【分析】根据正弦定理表示出，再结合三角恒等变换及辅助角公式即可求解. 【详解】如图所示，设， ，，分别在正的边上， 设， 在中，由正弦定理得，可得 . 在中，由正弦定理得，可得 ，    由， 且， 可得，所以， 可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时达到最大值． 因此，正的面积， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理及三角恒等变换表示出. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）在等腰中，角所对的边分别为，其中为钝角，. (1)求; (2)如图，点与点在直线的两侧，且，设，求的面积的最大值和此时的值. 【答案】(1) (2)，的面积的最大值为 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由结合正弦定理得，进而根据已知即可求角B. （2）先在中由正弦定理得，设，接着在根据正弦定理和余弦定理得和，再根据面积公式进行运算推导即可得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 故，又由题意可知， 所以，故，又为钝角， 所以. （2）由（1）可得，则由正弦定理即得， 在中，设，则根据正弦定理和余弦定理得： 即，即， 故，， 所以 ， 因为，所以， 所以当即即时，的面积取得最大值为. 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是． (1)求的解析式； (2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据三角函数性质可确定解析式； （2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值． 【详解】（1）设的最小正周期为， ∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是， ∴， ∴，解得， ∵，则， ∵图象的一条对称轴为， ∴， ∵，∴， 又∵的最大值是4， ∴，则． （2）∵，∴， 又，∴，即， 在中，， 当且仅当时取等号，则， 则的面积为， 所以的面积的最大值为． 6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）定义向量的“亲密函数”为.设向量的“亲密函数”为. (1)求的单调递增区间； (2)若方程有三个连续的实数根，，，且，，求实数的值； (3)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、正弦定理及辨析 【分析】（1）根据条件及辅助角公式得，再利用的图象与性质，即可求解； （2）利用的图象与性质，结合条件得到，代入，再分为奇偶，即可求解； （3）根据利用正弦定理得，从而有，结合条件得，即可求解. 【详解】（1）由题知， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为. （2）因为，故， 根据正弦函数图象， 且可知，，且，， 得到，且， 又，故，故， 则，所以， 当时，，解得， 当时，即，解得， 所以实数的值为或. （3）由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，内角的对边分别为，若 (1)求的大小； (2)若是线段上一点，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理计算； （2）借助向量分点的向量性质，结合基本不等式和面积公式计算即可， 【详解】（1）由题意， 根据正弦定理得，即， 根据余弦定理可知. （2）由题意在边上一点，且，可得， ， 故，， 故，当且仅当时取到等号， 故， 即的最大值为，当且仅当时取到等号 压轴七、复数模的最值（范围）问题（共7小题） 1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 2．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由复数满足可知，在以为圆心的单位圆上，由此求的最值. 【详解】设，复数满足， 所以，表示到点的距离为1， 所以到原点的距离的最小值为，即的最小值是4. 故选：B 3．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可. 【详解】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为： 6．（23-24高一下·重庆·期中）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 . 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据题意可得点的轨迹方程是为为圆心，1为半径的圆，则将问题转化为与圆上的点的最小值，从而可求得结果. 【详解】设，则由，得 ， 所以， 所以对应的点为点的轨迹方程为， 即为为圆心，1为半径的圆， 因为对应的点为点， 所以点与点之间距离的最小值为 . 故答案为： 7．（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1， 所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图， 表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为. 故答案为： 压轴八、空间几何体表面积和体积（共10小题） 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得， 取中点，连接，则，， ，，解得， 则，所以该圆锥的体积. 故选：B    2．（多选）（23-24高一下·山东·期中）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有（    ）    A．此半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式 B．过A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为 C．若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 D．若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 【答案】ABD 【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出计算判断A；利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置判断BC；求出该半正多面体的外接球的外切正四面体有体积判断D. 【详解】对于A，在此半正多面体中，顶点数，面数，棱数，则，A正确； 对于B，过A，B，C三点的平面截该半正多面体所得截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，B正确；    对于C，由该半正多面体的对称性知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形的中心，该球半径为，表面积，C错误； 对于D，该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动， 则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，正四面体的体积最小， 设此时正四面体的棱长为，高为， 于是，解得， 又正四面体底面正三角形半径为，则有，解得， 因此正四面体的体积，D正确. 故选：ABD 3．（多选）（23-24高一下·山西太原·期中）如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的体积是6 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直三棱柱的外接球表面积是 【答案】ABD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】A选项，求出，从而根据柱体体积公式得到答案；B选项，为定值，点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，由勾股定理求出最小值；D选项，将直三棱柱补形为长方体，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】A选项，直三棱柱中，， 所以，直三棱柱的体积是，A正确； B选项，矩形的面积为， 当是侧棱上运动时，为定值， 又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示， 连接，与相交于点， 故的长即为的最小值，故最小值为， 的最小值为5，C错误； D选项，将直三棱柱补形为长方体， 则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 故外接球的半径为， 表面积为，D正确, 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 4．（23-24高一下·云南曲靖·期中）祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【知识点】求旋转体的体积 【分析】由题意，从而得到椭球的体积为，再代入数据求解即可. 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 5．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【知识点】基本不等式求和的最小值、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设，先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的面积取最小值，以及此时的值.根据三棱锥外接球表面积的求法求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求解三角形面积的最值问题，可以先将面积的表达式求出，然后根据表达式的结构，利用基本不等式、函数的最值等知识来求得面积的最值.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出外接球的球心和半径. 7．（23-24高一下·山东济南·期中）如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则 . 【答案】或 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】若为重合的底面连接、交于点，连接，设正四棱锥底面边长为，根据锥体的体积公式求出，再由勾股定理计算可得，若为重合的底面，类似计算可得. 【详解】依题意为正四棱锥的侧棱或底面上的棱， 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 所以， 所以. 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 即， 综上可得：或. 故答案为：或 8．（24-25高一上·四川·期中）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为 .    【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，进而结合球的面积公式求解即可. 【详解】由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，如图： 正外接圆半径， 正四面体的高， 令正四面体的外接球半径为， 在中，，解得， 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为，连接..交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径，因为点..均在以点B为球心的球面上， 所以， 设勒洛四面体内切球半径为，则由图得， 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为， 则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为. 故答案为：. 思路点睛：本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解. 9．（23-24高一下·天津河北·期中）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 ；四棱锥的表面积是 .    【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】第一空：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 第二空：如图所示：    设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出所求四棱锥的特征，进一步结合对称性，求出表面积、体积公式中相应的长度或者面积，由此即可顺利得解. 10．（24-25高一上·河南南阳·期中）平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. (1)请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； (2)请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②； 【知识点】基本不等式求和的最小值、柱体体积的有关计算 【分析】（1）列出满足的基本不等式相加即可； （2）①配凑再利用结论求解即可； ②设（），由圆柱体积公式得表达式，再配凑根据求解即可. 【详解】（1）因为，，，所以由基本不等式，得 ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 以上三式相加，得， 即，当且仅当时，等号成立. （2）① 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为6． ②设（），则，由圆柱体积公式得： 当且仅当，即时等号成立， 即V的最大值为. 压轴九、外接球与内切球（共6小题） 1．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后利用球的体积公式求结论. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）四面体ABCD中，，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，由外接球的定义结合勾股定理代入计算，即可得到外接球的半径，再由等体积法代入计算，即可得到内切球的半径，从而得到结果. 【详解】 由题意可知，底面为等边三角形，设点在底面的投影为， 则, 设外接球的球心为，则在上，设外接球的半径为， 在中，， 设，则，解得， 所以，所以， 又，则， 设内切球的半径为，四面体的表面积为， 且是全等的等腰三角形， 腰长为，底边长为，则高为， 所以， 则，即，解得， 则. 故选：B 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球， 设球心为，球的半径为， 圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：    则，，所以， 所以为等边三角形，. 由等面积法可得，解得， 即四面体的外接球的半径为． 另正四面体可以从正方体中截得，如图：    从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以，所以．即的最大值为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】根据面面垂直可得平面，结合等腰直角三角形的性质可得外接球的球心在上，即可利用勾股定理求解半径，进而由表面积公式求解. 【详解】取中点，连接 ，故， 由于平面平面，且交线为，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上， 设球半径为，则， 解得， 故表面积为， 故选：A 5．（24-25高一上·四川·期中）如图，棱长为2的正方体的内切球为球，，分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列命题正确的是（    ） A．存在点，使垂直于平面 B．对于任意点，平行于平面 C．到直线的距离为 D．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】ACD 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】当点为中点时，证明平面判断A，当点与重合时，在平面上，在平面外，说明不成立判断B， 点是线段的中点，利用勾股定理求判断C， 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，利用C的结果求圆的面积判断D. 【详解】当为中点时，， ，， 平面，平面， 平面平面，平面， ，同理，，平面, 所以平面，即平面，故A正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故B不正确; 如图， 点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知， 球心到距离为，故C正确; 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小， 由C知，被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，C选项的关键是利用的长度，计算，再利用球的弦长公式计算弦长. 6．（24-25高三上·河南·期中）从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】据题意分析可知为直角三角形，进而可知点在平面内的投影为的外心，则必在的延长线上，结合切线性质可得球的半径，进而可得表面积. 【详解】由圆的切线长定理得，， 因为，，，则，， 即，可知， 所以为直角三角形，其外心为的中点， 又因为，可知点在平面内的投影为的外心， 即平面，所以必在的延长线上， 且A为切点，则，由射影定理得， 且，即，可得， 则，所以球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线性质分析可知为直角三角形，进而可知点在平面内的投影为的外心，进而确定球心的位置，即可运算求解. 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断面面是否垂直 【分析】先利用判断体积最大时（需要体积最大，只需要底面积和高同时最大即可）该三棱锥的结构特征，再确定外接球的球心及半径，然后计算表面积即可. 【详解】如图，作的中点，连接， 由，，则， 该三棱锥以为底，点到底面的距离为高， 要使体积最大，则棱锥的高最大为，故， 此时面，面，则面面， 设，，，则底面积， 又，当且仅当时等号成立， 所以最大值为，此时， 所以，当四面体的底面为等边三角形，，面面时，体积最大， 此时底面的外接圆圆心为，连接， 由正弦定理有，显然， 所以，则，故， 故为该三棱锥外接球的球心，且球体半径为，则其表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设确定体积最大时，四面体的底面为等边三角形，，面面，再结合已知确定球体的球心和半径为关键. 8．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】确定出球心的位置在中位线上，根据球的性质建立方程，求出半径即可得解. 【详解】设交于点，取的中点，连接， 取的中点，连接，如图， 因为是正三角形，所以， 又因为侧面底面，为交线，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又为的外心，所以三棱锥外接球的球心在上， 设外接球球心为，半径为，连接， 因为底面是边长为2，所以,, 在中，则, 即，可得， 所以，解得, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题确定外接球球心的位置及如何建立关于外接球半径的方程不容易想到，要求有一定空间想象力及思维的灵活性，具有一定难度. $$