专题01 高一下学期期中真题精选（考题猜想，常考17大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题01高一下学期期中真题精选（常考17大题型） （人教A版2019必修第二册第六章 平面向量与解三角形+第七章 复数+第八章 立体几何（8.1-8.3）） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量的概念 · 题型二 平面向量的加减数乘运算（易错） · 题型三 平面向量的数量积（重点） · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角（易错） · 题型六 向量的平行垂直关系（高频） · 题型七 三角形个数问题 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形周长（重点） · 题型十 三角形面积问题（重点） · 题型十一 三角形的实际应用（难点） · 题型十二 复数的四则运算（高频） · 题型十三 复数的模 · 题型十四 复数的类型（高频） · 题型十五 基本立体图形 · 题型十六 立体图形直观图 · 题型十七 空间几何体表面积与体积（难点） 题型一、平面向量的概念（共6小题） 1．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 3．（多选）（23-24高一下·甘肃武威·期中）给出下列命题，正确的命题是（ ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 4．（多选）（23-24高一下·甘肃·期中）如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 5．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 6．（多选）（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 题型二、平面向量的加减数乘运算（共9小题） 1．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 6．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（多选）（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 9．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    题型三、平面向量的数量积（共9小题） 1．（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在梯形 中，满足 ，则 （    ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．（24-25高三上·广东中山·期中）对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南海口·期中）已知向量、满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·宁夏·期中）已知等边三角形的边长为4，点、满足，，与交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 9．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 题型四、向量的模（共6小题） 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量为单位向量，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 3．（24-25高二上·陕西渭南·期中）若为空间夹角是60°的两个单位向量，则= . 4．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知向量满足与的夹角为，则 . 5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知是两两垂直的单位向量，则 ． 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 题型五、向量的夹角（共7小题） 1．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北承德·期中）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（24-25高三上·河南·期中）设，为非零向量，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·期中）已知平面上的两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 . 题型六、向量的平行垂直关系（共7小题） 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知向量满足，，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（22-23高二上·湖北孝感·期中）设向量，其中O为坐标原点，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（23-24高一上·江西·期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 . 6．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，与的夹角为． (1)求； (2)若，求． 7．（22-23高一下·湖南·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，， (1)若，且方向相反，求的坐标； (2)若，与的夹角为，且向量与互相垂直，求的值. 题型七、三角形个数问题（共7小题） 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东菏泽·期中）在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 3．（多选）（23-24高一下·青海·期中）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（多选）（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 5．（多选）（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在中，内角对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二下·陕西商洛·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 7．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为 . 题型八、判断三角形形状（共6小题） 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 3．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 4．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 5．（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 6．（多选）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为钝角三角形 题型九、三角形周长（共10小题） 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 5．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知. (1)求函数图象的对称中心； (2)设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围． 6．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 8．（23-24高二下·浙江·期中）已知锐角的内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长的取值范围. 9．（23-24高二上·湖南·期中）的内角，，的对边分别为，，，为中点，设. (1)求； (2)若的面积等于，求的周长的最小值. 10．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 题型十、三角形面积问题（共9小题） 1．（24-25高二上·云南文山·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)在中，角的对边分别为，且，求的面积. 2．（24-25高三上·湖北·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)判断的形状； (2)设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 3．（24-25高三上·青海·期中）锐角的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的值. 4．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在三角形中，，，平分交于点，．    (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 5．（22-23高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 6．（24-25高三上·河北·期中）记 内角 的对边分别为 ，且 (1)求角 的大小； (2)若 为锐角三角形，，求 面积的取值范围. 7．（24-25高二上·广西南宁·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 8．（24-25高三上·福建·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 9．（24-25高二上·广西玉林·期中）在中，内角的对边分别为且的外接圆半径满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 题型十一、三角形的实际应用（共10小题） 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·青海·期中）已知测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为，与在同一水平面上，M，O，N，P四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    5．（23-24高一下·山东烟台·期中）南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为 m．    6．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，某宝塔坐落在一山坡上，若在山坡处测得，从处沿山坡直线往上前进米到达处，在山坡处测得，，则该宝塔的高约为 米（，结果取整数    7．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 8．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 10．（23-24高一下·吉林延边·期中）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 题型十二、复数的四则运算（共8小题） 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知若为纯虚数，则 . 7．（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 8．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知，则 ． 9．（23-24高一下·云南德宏·期中）复数满足，则 . 题型十三、复数的模（共9小题） 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 3．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则复数（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高一下·广西柳州·期中）记复数z，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 6．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 7．（23-24高一下·吉林长春·期中）若复数为虚数单位）为纯虚数，则 8．（23-24高一下·浙江·期中）已知为复数，且，则的最大值为 ． 9．（23-24高一下·广东茂名·期中）在复平面内，复数对应的点为，则 ． 题型十四、复数的类型（共10小题） 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 2．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北张家口·期中）若为实数，则实数（   ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高一下·广东佛山·期中）设，若复数为纯虚数，则 ． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 6．（23-24高一下·安徽·期中）若复数是纯虚数，则m的值为 . 7．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 8．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）在复数范围内解方程： （2）已知复数，若为纯虚数，求的值． 9．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中），复数 (1)若z为纯虚数，求 (2)复平面内表示复数z的点在第四象限，求m的取值范围 10．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知复数，是纯虚数 (1)求复数的共轭复数 (2)若复数所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 题型十五、基本立体图形（共8小题） 1．（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 3．（23-24高一下·山西太原·期中）下列结论不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体 4．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京·期中）正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 7．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在正方体内，正方形EFGH中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为 . 题型十六、立体图形直观图（共6小题） 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·湖南岳阳·期中）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（    ）. A． B． C． D．3 3．（24-25高二上·湖北·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（    ） A． B．1 C． D． 6．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 题型十七、空间几何体表面积与体积（共10小题） 1．（24-25高二上·北京·期中）若长方体的三条棱长分别是1，2，3，则它的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 7．（24-25高三上·四川自贡·期中）高为8的正四棱锥的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为 ． 8．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 9．（24-25高一上·浙江宁波·期中）如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 10．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. $$专题01高一下学期期中真题精选（常考17大题型） （人教A版2019必修第二册第六章 平面向量与解三角形+第七章 复数+第八章 立体几何（8.1-8.3）） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 平面向量的概念 · 题型二 平面向量的加减数乘运算（易错） · 题型三 平面向量的数量积（重点） · 题型四 向量的模 · 题型五 向量的夹角（易错） · 题型六 向量的平行垂直关系（高频） · 题型七 三角形个数问题 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形周长（重点） · 题型十 三角形面积问题（重点） · 题型十一 三角形的实际应用（难点） · 题型十二 复数的四则运算（高频） · 题型十三 复数的模 · 题型十四 复数的类型（高频） · 题型十五 基本立体图形 · 题型十六 立体图形直观图 · 题型十七 空间几何体表面积与体积（难点） 题型一、平面向量的概念（共6小题） 1．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）下列命题正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形 C．与是两平行向量 D．若，则是的相反向量 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，根据单位向量的定义分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据平行向量的定义分析判断，对于D，根据相反向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误， 对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误， 对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确， 对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误. 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·甘肃武威·期中）给出下列命题，正确的命题是（ ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反； C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； D．若向量与同向，且，则 【答案】AC 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据平面向量的定义及性质进行判断. 【详解】A选项：向量与向量互为相反向量，相反向量的方向相反大小相等，所以，所以A正确； B选项：若向量为零向量，则也满足向量与向量平行，但其方向并不是相同或相反，所以B错误； C选项：相等向量的方向相同大小相等，所以两个有共同起点并且相等的向量，其终点一定相同，所以C正确； D选项：向量的模是标量可以比较大小，向量不可以比较大小，所以D错误. 故选：AC 4．（多选）（23-24高一下·甘肃·期中）如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【答案】BC 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据平面向量的有关概念、单位向量和相等向量的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：由图可知，的起点为O，的起点为A，故A错误； B：由，知都为单位向量，故B正确； C：，故C正确； D：方向不同，，所以不为相等向量，故D错误. 故选：BC 5．（多选）（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】由平面向量共线以及共线定理可判断A错误，D正确，再由数乘运算可得B正确，因为平面向量不能比较大小，可知C错误. 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 6．（多选）（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．零向量的长度为零，方向是任意的 C．若与是平行向量，则 D．若或，则 【答案】BD 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错； 零向量的长度为零，方向任意，故B正确； 若，的模长不一定相等，故C错； 若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确. 故选：BD. 题型二、平面向量的加减数乘运算（共9小题） 1．（2024·甘肃白银·一模） （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由向量的线性运算求出即可； 【详解】. 故选：D. 2．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、向量减法的法则 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 4．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系. 【详解】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： . 故选：B. 5．（23-24高一下·天津·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再讨论的值是否满足与反向． 【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 6．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 7．（多选）（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 8．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【答案】 【知识点】向量加法的运算律、已知向量共线（平行）求参数 【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 9．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【答案】/1.25 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案. 【详解】连接，如图所示：    . 所以. 故答案为： 题型三、平面向量的数量积（共9小题） 1．（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】先求出向量在方向上的投影数量，再根据投影向量的定义得结论． 【详解】， 所以向量在方向上的投影向量为， 故选：B． 2．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在梯形 中，满足 ，则 （    ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】数量积的运算律 【分析】由向量线性运算得，然后由计算． 【详解】∵，∴， ， 故选：C． 4．（24-25高三上·广东中山·期中）对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反向量、求投影向量 【分析】利用投影向量和相反向量定义计算可得答案. 【详解】由题意得，在上的投影为， 同理，在上的投影为， 因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量， 所以在上的投影互为相反数，所以， 则． 故选：D． 5．（24-25高二上·海南海口·期中）已知向量、满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量. 【详解】因为向量、满足，，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：D. 6．（24-25高三上·宁夏·期中）已知等边三角形的边长为4，点、满足，，与交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论 【分析】对A，根据向量的线性运算判断即可；对B，先判断出，再根据向量的线性运算结合数量积公式求解即可；对C，根据向量共线的性质判断即可；对D，得出为中点，为上靠近点的四等分点即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确；    对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为上靠近点的四等分点，则，故C正确； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以， 则，故D错误. 故选：D 7．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解. 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 【答案】3 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案. 【详解】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用数量积的定义及运算律，将给定恒成立的不等式化为一元二次不等式恒成立求解. 9．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】用、作为一组基地表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则， 又，，，所以， 所以 ， 又，即，解得. 故答案为： 题型四、向量的模（共6小题） 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助向量数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知平面向量为单位向量，若，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据已知条件求出的值，再利用这个值计算. 【详解】已知，根据向量模长公式，可得. 展开得到. 因为，是单位向量，所以，即，. 代入上式可得，解得. 同样根据向量模长公式，. 将展开得到. 把，，代入可得：. 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西渭南·期中）若为空间夹角是60°的两个单位向量，则= . 【答案】1 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义得解. 【详解】由题意， , 所以， 故答案为：1 4．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）已知向量满足与的夹角为，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， ， ， 故答案为： 5．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知是两两垂直的单位向量，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】将平方即可求解. 【详解】因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以， 故答案为： 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由向量的模长公式即可求得结果. 【详解】向量，的夹角为，，， 所以； 所以， 所以. 故答案为： 题型五、向量的夹角（共7小题） 1．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 2．（24-25高三上·河北承德·期中）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据投影向量公式得到方程，求出，进而由向量夹角余弦公式求出，得到夹角. 【详解】因为在上的投影向量为，即，所以， 又， ， 所以， 且，则． 故选：B． 3．（24-25高三上·河南·期中）设，为非零向量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据题意可得，结合平面向量的数量积的运算性质可得，，进而结合夹角公式求解即可. 【详解】由，， 得，即，即， 即，即， 则. 故选：D. 4．（24-25高三上·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】先求出数量积，再利用夹角公式求出夹角. 【详解】因为，所以 所以. 因为，所以，则. 故选：C. 5．（24-25高三上·重庆·期中）已知平面上的两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】借助向量数量积公式计算可得，再利用向量夹角公式计算即可得. 【详解】由，故， 则，又，故. 故选：B. 6．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】利用投影向量的意义，结合向量的夹角公式计算即得. 【详解】依题意，在上的投影向量为，则， ，而， 所以. 故答案为： 题型六、向量的平行垂直关系（共7小题） 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知向量满足，，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直以及数量积的定义，即可求解得解. 【详解】因为，所以，即 ， 所以，得， 由于，所以的夹角为． 故选：B 2．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】利用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】由题意知， 由知. 故选：D 3．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 4．（22-23高二上·湖北孝感·期中）设向量，其中O为坐标原点，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】由坐标解决三点共线问题、基本不等式求和的最小值 【分析】 由，，的坐标，写出，的坐标，由A，B，C三点共线，得，共线，得，利用基本不等式求出的最小值. 【详解】因为，，， 所以，， 又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 得， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：D. 5．（23-24高一上·江西·期中）已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案. 【详解】由得，，解得. 故答案为：. 6．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，与的夹角为． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律 【分析】（1）结合数量积的运算律及性质，根据向量夹角余弦公式求，结合夹角范围求， （2）根据向量共线定理由条件求，根据向量垂直的向量表示列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）因为是夹角为的两个单位向量， ，故， ，故， ， 所以， 因为，所以． （2）因为， 所以，存在非零实数k满足， 即， 因为不共线，所以，且， 解得， 由已知，所以， 即， 由（1）知， 所以，得， 所以． 7．（22-23高一下·湖南·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，， (1)若，且方向相反，求的坐标； (2)若，与的夹角为，且向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】（1）根据已知可设，，然后根据已知得出，即可得出的值，代入即可得出答案； （2）求出，根据数量积的定义得出.由向量垂直，得出，根据数量积的运算律展开，得出方程，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，设，， 所以，. 又，所以，所以， 所以，. （2）由已知可得，，所以， 所以. 因为向量与互相垂直， 所以，， 即， 即，解得. 题型七、三角形个数问题（共7小题） 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦函数图象的应用 【分析】由已知条件根据正弦定理用表示出，然后由和正弦函数的性质求出的范围，从而可求出的取值范围. 【详解】由正弦定理，可得， 所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 因为，所以， 即，解得. 故选：. 2．（23-24高一下·山东菏泽·期中）在中，已知，，，则满足条件的三角形个数为（    ） A．2个 B．1个 C．0个 D．无法确定 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理求出的值，验证大边对大角原理即可. 【详解】由正弦定理可得， 所以或， 又，所以，符合大边对大角原理， 所以满足条件的三角形个数为2个. 故选：A. 3．（多选）（23-24高一下·青海·期中）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 故选：BC. 4．（多选）（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（    ） A．0 B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据三角形解的个数可得，再根据正弦定理结合三角变换可求的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为有且仅有一个解，故或， 由可得，由可得，结合为三角形内角可得， 故， 由正弦定理得 ， 而，，故， 故选：ABC. 5．（多选）（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在中，内角对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】只有已知两角及一边对角的情况才有可能有两解，根据正弦定理计算出另一个角的正弦值的大小再结合是否满足三角形内角为和大边对大角来判断。 【详解】对于A：已知两角及一边只有唯一解，故A错误； 对于B：由正弦定理得：， 因为且，所以或，有两解，故B正确； 对于C：由正弦定理得：， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故C正确； 对于D：由正弦定理得：， 因为，所以只有一解且为锐角，故D错误。 故选：BC 6．（多选）（23-24高二下·陕西商洛·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 7．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由已知结合正弦定理列不等式，即可求解. 【详解】当时，符合条件的三角形有2个， 所以，解得，则整数x构成的集合为. 故答案为：. 题型八、判断三角形形状（共6小题） 1．（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】不妨设，，，可得是最大角，根据余弦定理算出是负数，从而得到角是钝角，由此得到此三角形为钝角三角形. 【详解】三角形的三边长分别为4、6、8， 不妨设，，所对的边分别为，，，且，，， 因为是最大边，所以角是最大角， 根据余弦定理，得， 因为 所以角是钝角，可得是钝角三角形. 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理及辨析、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】将用正弦定理转化为，由的取值范围可判断的形状；由进行化简可得，由解方程，进而可判断可判断的形状. 【详解】对于AB，当时，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以，即，得， 所以，则， 于是为直角三角形或钝角三角形，故AB错误； 对于CD，当时，由， 得， 整理得， 由正弦定理，，（是外接圆的半径） 由余弦定理，，即， 解得或，即， 解得或，故为直角三角形，故C正确，D错误； 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·福建福州·期中）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理判断A；利用余弦定理将角化边，即可判断B；由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式判断C；由正弦定理判断D. 【详解】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 4．（多选）（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】AD 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可判断A正确，由只能得到为锐角，可判断B错误， 由正弦定理和两角差的正弦公式可得是等腰三角形或直角三角形，判断C， 由可判断出，判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得， 又，因此可得， 又因为，所以可得，又，可得， 所以是以为直角的直角三角形，即A正确； 对于B，若，可得，可得为锐角， 但不能确定是否为锐角，所以不一定是锐角三角形，即B错误； 对于C，若，由正弦定理可得， 即，因此可得或， 可得或，所以是等腰三角形或直角三角形，即C错误； 对于D，由根据正弦定理可得， 由可得，即，所以； 同理由可得，因此，所以是等边三角形，即D正确； 故选：AD 5．（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ABD 【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】中，由正弦定理可得，再由角的范围，可得的值，进而判断出三角形的形状，判断出的真假； 中，由余弦函数性质可得，的大小关系，由正弦定理可得，的大小关系，判断出的真假； 中，由题意只能判断出角为锐角，但不能判断出角，是否为锐角，判断出的真假； 中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得，再由角的范围，可得角为直角，进而可得三角形的形状，判断出的真假． 【详解】中，因为，由正弦定理可得， 即，在三角形中，， 所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确； 中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确； 中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确； 中，因为，即，可得， 由正弦定理可得， 所以，又因为， 所以，而， 所以，即为直角三角形，所以正确． 故选：． 6．（多选）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，，，分别为角、，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】应用正弦定理判断A选项，应用正弦定理结合同角三角函数关系判断B选项，结合余弦定理判断C选项，根据二倍角公式的余弦公式及余弦定理判断D选项. 【详解】因为，所以,,所以,A选项正确； 因为,所以同号，只能同时为正，, 因为单调递减，可得，所以,B选项正确； 因为，所以,又由正弦定理得, 又由余弦定理得,所以为钝角，所以为钝角三角形，C选项错误； 因为，所以 所以， 因为，所以， 则， 所以，故中必有一个是钝角， 所以为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD. 题型九、三角形周长（共10小题） 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用三角形面积公式及余弦定理，结合辅助角公式和三角函数性质即可求解. 【详解】在中，由，得，由余弦定理得， 则，因此， 由知的边上的高为，则点在与平行，且距离为的直线上， 如图，以为直径画半圆，则该半圆与直线相切，当为切点时，，此时角最大， 即，，因此， 的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）先根据向量垂直的坐标运算求得，再根据正弦定理化间得，进而得，即可求解； （2）根据余弦定理，三角形面积公式，建立，的方程即可整体解除，从而得的周长． 【详解】（1）因为向量，，且， 所以，由正弦定理可得， 又，所以，所以， 又为三角形的内角，所以； （2）由（1）知，所以，又， 所以，所以， 又面积为，所以， 所以，所以，解得（负根舍去）， 所以的周长为． 3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用和角公式、同角的三角函数关系式化简已知式，结合正、余弦定理计算即得； （2）由（1）已得，利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出边即得. 【详解】（1）由可得： ， 即， 化简得：， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理，可得， 又，故． （2）由（1）得，所以，则． 由余弦定理得， 则，所以的周长为． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】(1)； (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）选择条件①②，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式计算角C. （2）由（1）及三角形面积求出，利用余弦定理求出c，即可求出周长. 【详解】（1）选择条件①，，由正弦定理得， 则， 整理得，又，则，而， 所以. 选择条件②，， 由正弦定理得， 则， 整理得，而，则，而， 所以. （2）由（1）知，由的面积，得， 即， 解得，由余弦定理得， 所以的周长为 5．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知. (1)求函数图象的对称中心； (2)设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的对称中心性质进行求解即可； （2）根据特殊角的正弦函数值，结合正弦定理、正弦型函数的最值性质、辅助角公式进行求解即可. 【详解】（1）， 令， 因此函数图象的对称中心为； （2）由， 由，因此有， 由正弦定理可知：， 因此有 ， 因为，所以 ， 因此周长的取值范围为. 6．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、二倍角的正弦公式 【分析】（1）由正弦定理求解三角形即可； （2）在两个三角形中分别用正弦定理得到的表达式，作比值后化简，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理得：，所以. （2）设，则，， 在三角形中，由正弦定理得：， 所以. 在三角形中，由正弦定理得：， 所以, 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为：. 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)函数的最小值为，取最小值时的集合为 (2)周长的取值范围为. 【知识点】数量积的坐标表示、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）由于， 故 ， 由，得， 故当时，函数取最小值，最小值为； 所以函数的最小值为，取最小值时的集合为. （2）由，得， 而， 所以， 故， 由于，则， 则， 则 ， 而， 则，即， 故周长的取值范围为. 8．（23-24高二下·浙江·期中）已知锐角的内角，所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式化简，由正弦定理得到的值，结合角的范围即可求得角. （2）由正弦定理和三角恒等变换可求出周长的表达式，再根据角度的范围，利用正弦函数的性质即可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为 所以，. 即，由正弦定理得， 显然，所以，所以， 因为，所以. （2）由正弦定理得，即， 则. ，. 因为，解得，得， 所以， 得. 9．（23-24高二上·湖南·期中）的内角，，的对边分别为，，，为中点，设. (1)求； (2)若的面积等于，求的周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角差的正弦公式计算可得； （2）由面积公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为. 由正弦定理与诱导公式可得. 显然，所以，所以， ∵，所以，∴. （2）依题意，即，∴， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当时取等号， 所以的周长最小值为. 10．（23-24高三上·福建福州·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. (1)求A； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）首先根据正弦定理将角转化成边，然后再根据余弦定理求解即可； （2）首先根据已知条件结合等面积的关系求出，然后再根据均值定理进行求解即可. 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， 所以， 又因为，所以. （2）为的角平分线，. 由，得， 又，所以，故， 所以， 当且仅当，即时，的最小值为9. 题型十、三角形面积问题（共9小题） 1．（24-25高二上·云南文山·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)在中，角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】(1)单调递增区间是，， 单调递减区间是，. (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由诱导公式及两角差的正弦公式化简可得，结合正弦函数的单调性可得结果； （2）由（1）结合条件得，由余弦定理解得，进而可得的面积. 【详解】（1） ， 由得，， 由得，， 所以的单调递增区间是，， 单调递减区间是，. （2）由，得， 因为，所以， 所以，所以. 由及余弦定理得，所以， 因为，所以. 所以. 2．（24-25高三上·湖北·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)判断的形状； (2)设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 【答案】(1)等腰三角形 (2). 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用倍角公式化简后可得，故可得即三角形为等腰三角形； （2）根据余弦定理和基本不等式可得当最大时为正三角形，故可求此时三角形面积. 【详解】（1）由二倍角公式得， ∴，整理得， 即. ∵，∴，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有， ∴ ， 而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立. 即的最大值为，此时由，而，故， 故，可得为直角三角形且， 又由（1）可得为正三角形，∴的面积. 3．（24-25高三上·青海·期中）锐角的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角函数的和差公式化简得，再利用正弦定理的边角变换即可得解； （2）利用（1）中结论与三角形面积公式求得，进而求得，从而利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则， 故由正弦定理得，从而. （2）由（1）可知，， 则的面积， 又，则， 在中，由余弦定理得， 则. 4．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在三角形中，，，平分交于点，．    (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合角的取值范围，可得答案； （2）由题意，求得三角形的内角，结合等腰三角形的性质，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，结合正弦的差角公式，可得答案. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以； （2）由（1）得， 由题设，，则，即为等腰三角形， 所以． （3）， 所以的面积． 5．（22-23高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 因为、，则，所以，，故. （2）解：由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为. 6．（24-25高三上·河北·期中）记 内角 的对边分别为 ，且 (1)求角 的大小； (2)若 为锐角三角形，，求 面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正余弦定理边角互化，转化为三角函数，再由两角和正弦公式的逆用化简得解； （2）由正弦定理及三角形面积公式化简得关于的正切函数，再由锐角三角形求范围即可. 【详解】（1）由余弦定理可得, 再由正弦定理可得, 即， 因为，所以， 所以，所以. （2）由题意，， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以， 又，所以， 所以，从而， 所以 面积的取值范围 7．（24-25高二上·广西南宁·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， (1)求角的大小； (2)若为BC中点，，求的面积的最大值 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理，可化为：，结合余弦定理，可求出，从而得角A的值. （2）用向量表示，结合向量的数量积和基本（均值）不等式可求的最大值，利用三角形的面积公式可求的面积的最大值. 【详解】（1）及，，所以. 由余弦定理得：.    . （2）AD为中线，，， 两边平方，有， （当且仅当时取等号）， . 所以：. 8．（24-25高三上·福建·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）由正弦定理化简和两角和的正弦公式已知式即可得出答案； （2）由数量积的定义可得，由正弦定理化简和两角和的正弦公式可得，由三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以， 所以. （2）由可得：， 所以，由正弦定理可得：， 所以， 由正弦定理可得：，又因为， 所以， 所以面积为：， 当即时取等. 所以面积的最大值为. 9．（24-25高二上·广西玉林·期中）在中，内角的对边分别为且的外接圆半径满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再结合三角恒等变换化简整理求解. （2）由（1）结合余弦定理及基本不等式求出的最大值即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ，解得，又， 所以. （2）由（1）知，，， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此， 所以面积的最大值为. 题型十一、三角形的实际应用（共10小题） 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据正弦定理和余弦定理以及角度和距离之间的关系计算可得答案. 【详解】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 2．（23-24高一下·青海·期中）已知测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为，与在同一水平面上，M，O，N，P四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】高度测量问题 【分析】过作交MO于点，过作交PO于点，在直角三角形中由可得答案． 【详解】过作交MO于点，过作交PO于点， 则，，． 因为米，所以米， 米． 设米，则米， ，解得， 故山的高度OP为米． 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 【答案】31 【知识点】高度测量问题 【分析】根据给定条件，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】如图，，，，， 设，则，，， ∴，∴， 则． 故答案为：31. 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为 m．    【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】作于，作于E，利用正弦定理及锐角三角函数解三角形计算即可. 【详解】    作于，作于E， 由题意易知，， 易知， ， 所以， 在中，由题意可知， 根据正弦定理有， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，某宝塔坐落在一山坡上，若在山坡处测得，从处沿山坡直线往上前进米到达处，在山坡处测得，，则该宝塔的高约为 米（，结果取整数    【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果． 【详解】因为，，，所以， 所以，所以， 因为，所以， ， 在中，由正弦定理得，，所以， 所以． 故答案为：． 7．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 8．（23-24高一下·山西太原·期中）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出； （2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值. 【详解】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． （2）由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题、正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）在中，由和可得和，从而得，由正弦定理，可得AB； （2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 10．（23-24高一下·吉林延边·期中）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1)120海里 (2)，能在3小时内赶到救援，理由见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 题型十二、复数的四则运算（共8小题） 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案. 【详解】，则其共轭复数为， 则点即为点. 故选：B. 3．（23-24高一下·广西玉林·期中）复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【详解】由题设，则，所以. 故选：D 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 5．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知若为纯虚数，则 . 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，再由纯虚数的意义及复数模的意义求解即得. 【详解】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，因此， 所以. 故答案为：1 7．（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 8．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】由已知可得． 故答案为：． 9．（23-24高一下·云南德宏·期中）复数满足，则 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法及乘法计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型十三、复数的模（共9小题） 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数的除法和复数模的概念即可得到答案. 【详解】由题意得， ， 则. 故选：C. 2．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知虚数是关于的方程的一个根，且，则（    ） A．3 B．2 C．4 D．7 【答案】D 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】法一：设，代入原方程，根据复数相等和可得到答案；法二：解关于的方程求出对应的含参数的虚数根，再由，求出的值. 【详解】法一：设，由 则 则解得； 法二：由有虚数根，可知且， 又由，有，解得． 故选：D． 3．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据条件，利用复数的运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】由， 所以，则， 故选：A． 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则复数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】由复数的四则运算计算，再计算模长. 【详解】，则， 则. 故选：B 5．（23-24高一下·广西柳州·期中）记复数z，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】先运用除法规则化简计算复数，后根据模公式求解即可. 【详解】因为，所以，则. 故选：B 6．（23-24高一下·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模 【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可. 【详解】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    7．（23-24高一下·吉林长春·期中）若复数为虚数单位）为纯虚数，则 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的乘法和纯虚数的概念得到方程，解出值，再根据共轭复数的概念和复数模的计算公式运算即可. 【详解】， 则，解得. 则，， 故答案为：. 8．（23-24高一下·浙江·期中）已知为复数，且，则的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，由复数模的计算公式可解. 【详解】设，由于，所以， 则， 由于，所以的最大值为. 故答案为：2 9．（23-24高一下·广东茂名·期中）在复平面内，复数对应的点为，则 ． 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的乘法运算化简，从而求出其模. 【详解】因为复数对应的点为， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 题型十四、复数的类型（共10小题） 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 2．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法及纯虚数的意义求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，即， 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·河北张家口·期中）若为实数，则实数（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据虚部为零计算可得. 【详解】因为， 又为实数， 所以，解得. 故选：D 4．（23-24高一下·广东佛山·期中）设，若复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法运算化简，再结合复数的概念及分类即可求出a的值. 【详解】， 所以，，解得． 故答案为：． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 6．（23-24高一下·安徽·期中）若复数是纯虚数，则m的值为 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方 【分析】根据纯虚数的定义求解. 【详解】， 令且，解得. 故答案为：. 7．（23-24高一下·河北唐山·期中）已知复数满足，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限． (1)求复数； (2)若复数，且是实数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）设，由已知条件列方程求出的值，得复数； （2）由复数的乘法和复数的分类，求实数的值． 【详解】（1）设复数，由，的虚部为8，在复平面上对应的点在第一象限， 则有，解得，即. （2）, 是实数，则有，解得. 8．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）在复数范围内解方程： （2）已知复数，若为纯虚数，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用配方法得到，再根据计算可得； （2）由条件，结合纯虚数的定义列方程求. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以或，则或， 即方程的两根为，. （2）因为为纯虚数， 所以，且， 解得. 9．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中），复数 (1)若z为纯虚数，求 (2)复平面内表示复数z的点在第四象限，求m的取值范围 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、求复数的模 【分析】（1）根据复数类型为纯虚数得到方程和不等式，求出m，再结合复数的模长公式可得答案； （2）根据复数z对应的点在第四象限得到不等式组，则可直接求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为z为纯虚数，， ， ； （2）因为复数z对应的点在第四象限， 则， 解得. 10．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知复数，是纯虚数 (1)求复数的共轭复数 (2)若复数所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由复数的运算法则，求得，根据为纯虚数，求得，得到，即可求解；. （2）化简复数为，根据复数对应点在第二象限，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数， 则， 因为为纯虚数，所以且，解得， 所以，可得. （2）解：由， 因为复数对应点在第二象限，可得，所以， 所以实数的取值范围. 题型十五、基本立体图形（共8小题） 1．（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据题意，由棱锥的定义，即可得到结果. 【详解】十三棱锥的顶点的个数为. 故选：B 2．（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 3．（23-24高一下·山西太原·期中）下列结论不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体 C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体 【答案】D 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】利用四面体的定义判断A；利用平行六面体的定义判断BD；利用直四棱柱的定义判断C． 【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确； 对于B，长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，正方体是直四棱柱，故C正确； 对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形， 四棱柱不一定是平行六面体，故D错误． 故选：D． 4．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、台体体积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】由已知求得圆台的高，再由圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示：    则圆台的体积为. 故选：A. 5．（24-25高二上·北京·期中）正三棱锥中，为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内，连接，则的长即为三角形周长的最小值，由勾股定理求出答案. 【详解】如图所示，将正三棱锥的三个侧面展开到同一平面内， 对应于，点对应点，连接，分别交于点， 故， 则的长即为三角形周长的最小值， 其中，， 由勾股定理得. 故选：A 6．（24-25高二上·北京·期中）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（    ） A．16， B．16， C．8， D．8， 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】根据正四棱锥性质及其棱长等，利用侧面积公式和体积功公式计算可得结果. 【详解】如下图所示，在正四棱锥中，易知， 为的中点，所以可得，易知并利用勾股定理可得， 所以的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为； 又可知，所以正四棱锥的高， 因此其体积为. 故选：D 7．（多选）（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【知识点】判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二上·北京·期中）如图，在正方体内，正方形EFGH中心与正方体中心重合，从前面观察如图所示，若棱长，则正棱台的侧棱长为 . 【答案】 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】依题意正棱台的下底面边长为，高为，上底面边长为，从而求出上、下底面正方形的对角线长度，再由勾股定理计算可得. 【详解】依题意可得正棱台下底面边长为，高为， 在前面观察图形（如下图所示）中可知即为上底面边长，，则， 作交于点，则为的中点，所以， 则， 所以上底面边长为， 则下底面正方形的对角线为， 上底面正方形的对角线为， 所以正棱台的侧棱长为. 故答案为： 题型十六、立体图形直观图（共6小题） 1．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 2．（24-25高二上·湖南岳阳·期中）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（    ）. A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，结合斜二测法的定义得到原平面图形中的上底，下底及高的长度，利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，过作于， ， ∴， ， 故原平面图形为梯形，其上底为，下底为，高为， 所以这块菜地的面积为， 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北·期中）如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A.    4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：还原四边形，如图所示： 依题意可得：． 取的中点，连接， 则，且， 故. 故选：B. 5．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形面积是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求出的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果. 【详解】在中，，由，得， 因此的面积， 所以原三角形面积是. 故选：C 6．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D 题型十七、空间几何体表面积与体积（共10小题） 1．（24-25高二上·北京·期中）若长方体的三条棱长分别是1，2，3，则它的外接球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可球的表面积． 【详解】解：∵长方体的三条棱长分别是1，2，3， 设长方体的外接球的直径为,则即为长方体的体对角线长， ∴， ∴该长方体的外接球的表面积为. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】底面为等边三角形，，当点到平面的距离取最大值时，平面，三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，根据正三棱柱的特征结合球的表面积公式即可求解. 【详解】因为，当点到平面的距离取最大值时，则平面， 又，所以为等边三角形， 过点作与平面平行的平面，，得到正三柱， 则三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，如图：   ， 设外接球半径为， 则， 所以球的表面积. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据，且点到平面的距离取最大值，确定平面，将三棱锥的外接球转化为正三棱柱的外接球是解决本题的关键. 3．（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【答案】D 【知识点】求组合多面体的表面积 【分析】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【详解】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【点睛】 4．（24-25高二上·北京·期中）将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】设正方形的对角线交点为O，则易得D′O⊥平面ABC，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】设正方形的对角线交点为O， 则可得折叠后的二面角的平面角为， 又，， ∴，∴， ∴平面， ∴四面体的体积为. 故选：A. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是 ． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【详解】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 6．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】正棱锥的外接球球心在顶点与底面对角线交点的连线上，设外接球半径为，由正四棱锥已知底面边长求出底面面积，然后由体积求出正四棱锥的高，再由建立方程解出，即可求出外接圆表面积. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上. 设正四棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正方形的面积为3，所以，解得. 球心到平面的距离为， 于是，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 7．（24-25高三上·四川自贡·期中）高为8的正四棱锥的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为 ． 【答案】128 【知识点】多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算 【分析】设正四棱锥的顶点在底面的投影为，由题意结合勾股定理计算可得该正四棱柱底面边长与侧棱长，再计算出侧面的高后，结合表面积公式计算即可得解． 【详解】如图所示，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 因为正四棱锥的高为8，外接球的半径为5， 所以，， 所以，， 则， 故中，边的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为， 故该正四棱锥的表面积为． 故答案为：128． 8．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求组合体的体积、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    9．（24-25高一上·浙江宁波·期中）如图，设E、F、G分别是正方体的共点的三条棱、、的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体. 设正方体的棱长为1.    (1)在四面体中，求顶点到底面的距离； (2)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积. 【答案】(1) (2)12个顶点，24条棱，共14个面，表面积为，体积为 【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）利用等体积法求解； （2）利用数形结合法得到几何体，再求表面积和体积. 【详解】（1）解：设点到底面的距离为， 则， 即，得； （2）如图所示：    将正方体按照题设的方法截去八个“角”后 其有12个顶点，24条棱，共14个面， 其中6个面是以为边长的正方形，8个面是以为边长的正三角形， 故其表面积为； 体积为. 10．（23-24高一下·湖北武汉·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； (2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】(1)图形见解析，面积为18 (2)表面积为，体积为 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可． 【详解】（1）如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去一个以为底面半径的圆锥， 所以所形成的几何体的表面积为， ， 所形成的几何体的体积为. $$