专题05 第八章 基本立体图形，直观图，表面积和体积（7考点清单，知识导图+10个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单05第八章 基本立体图形，直观图，表面积和体积 （7个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 基本立体图形 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 清单02 直观图 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 清单03 多面体表面积（侧面积） 计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 单04 多面体体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 清单05 旋转体表面积（侧面积） 圆柱的表面积： （1）. （2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 清单06 旋转体体积 圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 清单07 球的表面积与体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【考点题型一】基本立体图形（） 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【例1-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【变式1-2】.（多选）（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【变式1-3】.（多选）（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题（） 【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（多选）（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】.（24-25高三上·河北承德·开学考试）在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 【变式2-3】.（23-24高一下·海南海口·期中）圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 【考点题型三】立体几何中的截面问题（） 【例3】（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 【变式3-1】.（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，平面与正方体的一条体对角线垂直，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-4】.（23-24高一下·天津·期中）圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为 ． 【考点题型四】平面几何图形的直观图（） 【例4】（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【变式4-1】.（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式4-2】.（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【变式4-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    【变式4-4】.（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【考点题型五】多面体表面积（侧面积）（） 【例5】（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【变式5-2】.（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 【变式5-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【变式5-4】.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【考点题型六】多面体的体积（） 【例6-1】（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【例6-2】．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【变式6-1】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高三下·山东·开学考试）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（24-25高三上·天津·阶段练习）如图，正三棱锥 ，其体积为 分别是棱 的中点，设三棱锥 的体积为 ，则 （     ） A． B． C． D． 【考点题型七】旋转体表面积（侧面积）（） 【例7】（24-25高三上·广东·阶段练习）一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高三下·浙江·开学考试）一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】.（2024·安徽·模拟预测）动点P，Q分别位于圆柱的上下底面，且的最小值为3，最大值为5，则圆柱的表面积为 . 【考点题型八】旋转体的体积（） 【例8】（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 【考点题型九】外接球（） 【例9】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】.（24-25高三下·甘肃·开学考试）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【考点题型十】内切球（） 【例10】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【变式10-1】.（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（24-25高三下·湖南·开学考试）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】.（22-23高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 3．（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 5．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 6．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·一模）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 10．（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 11．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．棱台的所有侧棱交于同一点 D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 三、填空题 12．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为 ． 13．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是 . 14．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 16．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 17．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05第八章 基本立体图形，直观图，表面积和体积 （7个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 基本立体图形 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 清单02 直观图 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 清单03 多面体表面积（侧面积） 计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 单04 多面体体积 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 清单05 旋转体表面积（侧面积） 圆柱的表面积： （1）. （2）圆锥的表面积： （3）圆台的表面积： 清单06 旋转体体积 圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 清单07 球的表面积与体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【考点题型一】基本立体图形（） 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析 【分析】对A，根据正四棱柱和长方体的概念判断；对B，根据圆柱的母线的概念判断；对C，根据棱锥的定义判断；对D，根据棱柱的定义判断. 【详解】对于A，正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故A正确； 对于B，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故B正确． 对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故C错误； 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确． 故选：C. 【例1-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析 【分析】根据三棱锥、棱柱、圆台，正四面体的定义逐一判断即可. 【详解】底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误； 斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误； 六条棱长均相等的四面体是正四面体，B正确； 截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误． 故选：B. 【变式1-2】.（多选）（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 【变式1-3】.（多选）（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为圆台、正棱锥及其有关计算、棱台的结构特征和分类 【分析】根据圆台的定义可判定A，根据棱柱的定义判定B，根据正棱锥的定义可判定C，根据棱台的定义可判定D. 【详解】对于A，如图所示，若以腰旋转则形成的几何体不是圆台， 是圆锥与圆柱形成的组合体，故A项不正确； 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故B不正确； 对于C，如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫正棱锥，故C不正确； 对于D，由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故D正确. 故选：ABC 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题（） 【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】通过圆柱侧面展开图，确定，的位置，然后利用勾股定理求展开图中长即可. 【详解】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【例2-2】（多选）（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】BCD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案. 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 【变式2-1】.（24-25高三上·河北承德·开学考试）在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、柱、锥、台体的轴截面 【分析】根据圆锥的几何性质，确定相应长度，再将和平铺成一个平面，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图， 因为轴截面为腰长为的等腰直角三角形， 所以, 又因为为等腰三角形， 所以 所以 将和平铺成一个平面，如下图， 此时, 当三点共线时，最小， 最小值为， 故选：B. 【变式2-2】.（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 故答案为： 【变式2-3】.（23-24高一下·海南海口·期中）圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】首先根据题意将圆锥的侧面展开，得到点绕圆锥侧面移动到的最短距离为，再利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示： ，. 由图知：点绕圆锥侧面移动到的最短距离为. . 故答案为： 【考点题型三】立体几何中的截面问题（） 【例3】（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 【答案】ABD 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据正方体的截面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 解决正方体截面问题，关键是要根据已知的点的位置准确想象出截面的形状，然后利用平面几何知识（如三角形、菱形面积公式，相似三角形性质等）进行计算和推理. 对于判断点是否在截面上或点之间的位置关系，常通过延长线、连线等方法构建几何图形，利用中点、平行等条件得出结论. 【变式3-1】.（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状、棱柱及其有关计算 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【变式3-2】.（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，平面与正方体的一条体对角线垂直，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、三角形面积公式及其应用 【分析】找到截面为正六边形，算出边长，求出面积即可. 【详解】 因为在正方体中，平面与正方体的一条体对角线垂直， 则截面为正六边形时面积最大，且边长为， 此时面积为， 故选：B 【变式3-3】.（多选）（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为线段上的动点，则平面PMN截正方体形成的截面图形可能为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】利用正方体的结构特征，结合给定的位置推理说明截面不可能的图形，再作图说明可能的图形即可得解. 【详解】在正方体中，由分别为的中点， 得截面与正方体的3个面必有交线，而点在线段上， 截面与正方形或正方形有交线，即截面至少与正方体4个面有交线， 因此截面不可能是三角形，即A不可能； 取与重合，此时截面为四边形，如图，B可能； 当截面与棱的交点在线段（不含点）上时，截面与正方体 除正方形外的另5个正方形都有交线，此时截面是五边形，如图，C可能； 当点为棱的中点时，截面为六边形，如图，D可能. 故选：BCD 【变式3-4】.（23-24高一下·天津·期中）圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆锥中截面的有关计算 【分析】由题意可知任两条母线的夹角，轴截面的面积，根据的范围，求截面面积的最大值. 【详解】因为圆锥轴截面顶角为， 所以任两条母线夹角的范围是， 设母线长为，母线的夹角是， 所以圆锥顶点的轴截面面积， 因为，所以 ， 所以轴截面面积的最大值是. 故答案为：. 【考点题型四】平面几何图形的直观图（） 【例4】（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则，利用数形结合，即可求解. 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 【变式4-1】.（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 【变式4-2】.（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为. 故选：B 【变式4-3】.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    【答案】 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、由直观图还原几何图形 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到面积. 【详解】    如图1，设与交点为， 因为，，所以，. 的平面图如图2所示：    则， . 故答案为：. 【变式4-4】.（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 【考点题型五】多面体表面积（侧面积）（） 【例5】（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】设正六边形的边长，六棱锥的侧棱，由，得出棱长关系，分别求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，即可求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比. 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 【变式5-1】.（24-25高三下·广东·开学考试）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（   ） A．36 B．40 C．52 D．56 【答案】D 【知识点】由线面角的大小求长度、棱台表面积的有关计算 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 【变式5-2】.（24-25高三下·辽宁·阶段练习）如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、棱柱表面积的有关计算 【分析】由球心到各面距离为9，求出对应正棱柱的侧面积，即可得解. 【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱， 其侧面积为， 当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为， 由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为， 因此中层正六棱柱的侧面积， 所以该模型的侧面积至少为， 故答案为： 【变式5-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 【变式5-4】.（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要 铁板（精确到，）． 【答案】4.7 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】求六棱柱的表面积即可. 【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：， 棱柱的侧面积为：. 所以正六棱柱的表面积为：. 故答案为：4.7 【考点题型六】多面体的体积（） 【例6-1】（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 【例6-2】．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 【答案】6 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】观察几何体，利用切割法的思想进行解决： , ,由即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解. 【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2， 所以根据题意可得水的体积为： ， 解得：. 故选：D. 【变式6-2】.（24-25高三下·山东·开学考试）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】将三棱锥可放置在如图所示的长方体中，求出长宽高，再利用三棱锥的体积等于长方体的体积减去其余四个三棱锥的体积求出即可； 【详解】 由题意分析可得：三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设长方体的长宽高分别为， 则， 解得该长方体的长为，宽为1，高为2， 则三棱锥的体积为 故选：A. 【变式6-3】.（24-25高三上·天津·阶段练习）如图，正三棱锥 ，其体积为 分别是棱 的中点，设三棱锥 的体积为 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】如图，设到平面的距离为，到平面的距离为，根据棱锥的体积公式和等体积法计算可得，作商即可. 【详解】如图，设到平面的距离为，到平面的距离为， 因为，， 所以. 又，且到的距离为， 所以， 由为的中点，得到平面的距离为， 所以， 即，所以. 故选：B 【考点题型七】旋转体表面积（侧面积）（） 【例7】（24-25高三上·广东·阶段练习）一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆柱表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出正四面体的高和体积，再利用圆柱的体积公式及侧面积公式求解即可. 【详解】在正四面体中，是正的中心，则底面， 而，则正四面体的高， 体积， 设圆柱的底面圆半径为，依题意，，解得， 所以该圆柱的侧面积. 故选：A    【变式7-1】.（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台表面积的有关计算、柱、锥、台体的轴截面 【分析】由题意得圆台的上、下底面的半径，作出圆台的轴截面，根据圆台的侧面积公式计算出母线长，再利用勾股定理求出圆台的高即可． 【详解】做圆台的轴截面，如图：    由题意得圆台的上，下底面的半径分别为2，6， 设圆台的母线长为，高为，则该圆台的侧面积 ，解得， 所以. 故选：C. 【变式7-2】.（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，作出组合体的轴截面，求出圆柱的底面圆半径和高，计算表面积作答. 【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故选：D. 【变式7-3】.（24-25高三下·浙江·开学考试）一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由水上升的体积即为圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线，即可求侧面积． 【详解】设圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 由题意正四棱柱中水上升的体积即为圆锥的体积， 所以，所以， 则圆锥的母线长为， 故圆锥的侧面积为. 故选：A 【变式7-4】.（2024·安徽·模拟预测）动点P，Q分别位于圆柱的上下底面，且的最小值为3，最大值为5，则圆柱的表面积为 . 【答案】20π 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆柱的结构特征辨析 【分析】本题根据题意可判断出圆柱的母线长为3，由勾股定理求出圆柱底面的直径为4，从而求出圆柱的表面积. 【详解】如图所示：    由题意知，圆柱的母线长为3，底面的直径为， 因此圆柱的表面积为． 故答案为：. 【考点题型八】旋转体的体积（） 【例8】（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据题意分别求出边长并代入锥体和柱体的体积公式做差求出旋转体得体积. 【详解】 因为，，所以， 在中，，所以， 所以，在中，，所以， 如图，作，所以平面四边形是矩形，， 平面四边形绕旋转一周得到一个几何体是圆柱去掉一个圆锥， 是圆锥的底面半径，是它的高，而和是圆柱的半径和母线， 由已知， 所以 故选：A. 【变式8-1】.（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长可求出底面圆半径，进而求得圆锥的高，利用体积公式可得结果. 【详解】 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 【变式8-2】.（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】由底面面积比可得半径比，利用侧面积公式及母线、高、上下底面半径之差的关系求解半径与母线长，再由体积公式得解. 【详解】根据题意，上､下底面的面积比为，可得上､下底面的半径比为， 设该圆台上底面的半径为，下底面的半径为，母线长为， 因为圆台的侧面积为，所以，即， 又，求解可得， 所以该圆台的体积， 故选：B. 【变式8-3】.（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求组合体的体积 【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积，解得. 瓶子的体积. 故选：A 【变式8-4】.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】设该圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为l，由已知可求得，求得圆台的高，利用圆台的体积公式可求得圆台的体积. 【详解】设该圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为l，则，， 解得，，则圆台的侧面积为，解得， 则圆台的高， 圆台上、下底面面积分别为，， 由圆台的体积计算公式可得． 故答案为：. 【考点题型九】外接球（） 【例9】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、正弦定理解三角形 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 【变式9-1】.（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 【变式9-2】.（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，利用圆台侧面积、体积公式列式求出圆台的底面圆半径及高，再结合球的截面圆性质列式求出球半径即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，母线长为l，则圆台的高为， 由圆台的侧面积为，体积为，得， 解得，圆台的高，设圆台的外接球的半径为R， 球心到圆台两底面圆的距离分别为，因此，解得， 或，无解，所以圆台的外接球的表面积为． 故选：D 【变式9-3】.（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据直三棱柱的性质即可判断的中点为外接球的球心，利用勾股定理求解半径，即可利用表面积公式求解. 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 【变式9-4】.（24-25高三下·甘肃·开学考试）如图 1，在平行四边形中， . 沿将折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，如图 2，若，则三棱锥外接球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、图形的性质 【分析】通过勾股定理，可以证明和，利用直角三角形的性质“斜边上的中线长是斜边的一半”，可知的中点为外接球的球心，为半径，即可求得外接球的表面积. 【详解】 在Rt中， ，又， 所以，所以，同理可得. 取的中点，则， 所以为三棱锥 外接球的球心，为半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选: C. 【考点题型十】内切球（） 【例10】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、弧长的有关计算 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 【变式10-1】.（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 【变式10-2】.（24-25高三下·湖南·开学考试）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，作出圆台及内切球的轴截面，利用切线长定理，结合勾股定理求出球半径即可. 【详解】作出圆台及其内切球的轴截面（如图），记球的半径为，两底面圆圆心分别为， 线段的中点为，，作，由切线长定理得， 则，而，解得， 由，得， 所以球的表面积. 故选：D 【变式10-3】.（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】将三棱锥可以嵌入一个长方体内用体积转化的方法求解该三棱锥的内切球的半径. 【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示， 则，，，解得，，. 所以该三棱锥的的体积为， 而， 所以可求得，故选：C 【变式10-4】.（22-23高二下·四川南充·阶段练习）在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知，，，是半径为15的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A．384 B．1152 C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算、求球面距离、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，再利用过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心，就可以构成勾股定理求距离，从而可求得最大体积. 【详解】因为，，所以为的外接圆的直径，即半径，    由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知， 球心到平面的距离， 又直角面积， 当且仅当时取等号， 而点到平面的距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为． 故选:B． 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案. 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 3．（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 4．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 5．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 6．（2025·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 7．（2025·河南·一模）已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解. 【详解】取圆台轴截面如图所示， 外接球球心在中轴线上． 由勾股定理可知，，设，， 则, 解得． 先设的中点到的距离为， 再用等面积法可得：， 则有：， 此时， 从而可知内切球半径， 所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为， 故选：C． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱的概念判断B；根据圆台的概念判断C；根据球的概念判断D. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 10．（23-24高一下·新疆·期中）如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（    ） A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 【答案】ABD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质、线线平行传递性逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故C错误； 对于B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故B正确； 对于D，取AB中点H，连接CH，，则可得，， 因为，则F为AH中点，且E为中点，则， 所以直线直线BD，故D正确； 故选：ABD 11．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．棱台的所有侧棱交于同一点 D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 【答案】ABD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆柱、棱台、圆台的结构特点判断BCD，通过举反例说明A错误. 【详解】A选项，由如图所示多面体可知A错误； B选项，由圆柱的定义，是由一个长方形绕着它的一条边旋转得到的图形，故B错误； C选项，由棱台的结构特征值知，棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于一点，故C正确； D选项，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式计算即可． 【详解】如图所示， 圆锥SO中，底面圆半径为， 高为， 所以圆锥SO的体积为：. 故答案为：． 13．（2025·甘肃·一模）用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是 . 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、柱体体积的有关计算 【分析】画出正六边形截面，根据对称性求得体积比. 【详解】如图所示，正方体中， 分别是的中点， 连接，则六边形是正六边形， 根据对称性可知，截出的两部分几何体的体积之比是. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·期末）将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【知识点】求旋转体的体积、台体体积的有关计算 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中． (1)求平面四边形的面积； (2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为． 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、求组合旋转体的表面积、求旋转体的体积 【分析】（1）作出平面四边形，求出相应的线段长，即可求出面积； （2）分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，，分析绕旋转一周所形成的几何体组成，再求出其表面积与体积. 【详解】（1）在直观图中设交于点，则， ， 平面四边形如图所示， 则，， 所以． （2）在中，，， 所以， 所以，所以， 如图，分别过点，作及其延长线的垂线，垂足为，． 矩形绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱； 绕旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥； 绕及其延长线旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥． 所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体． 则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积， 所以旋转形成的几何体的体积． 旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和， 所以． 16．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是. (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷（接触地面的部分也要粉刷），已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元，） 【答案】(1) (2)元 【知识点】求组合体的体积、求组合多面体的表面积、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积； （2）根据石凳表面的构成，求出其表面积，进而求粉刷一个石凳的价格. 【详解】（1）正方体体积为，石凳体积为正方体体积减去8个正三棱锥体积， 其一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，则一个小正三棱锥体积为， 故石凳体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳表面积为， 则粉刷一个石登需要元. 17．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)面积为，周长为； (2)体积为，表面积为． 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算、求组合旋转体的表面积、求旋转体的体积 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可． 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积， 又， 所以四边形的周长； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则旋转体的体积为， 表面积为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$