专题04 第七章 复数（6考点清单，知识导图+7个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单04 复数（6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，． 【变式1-1】.（2025·河北保定·一模）的虚部为（    ） A． B． C． D．3 【变式1-2】.（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（23-24高三上·江苏·期末）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-4】（23-24高一下·浙江金华·期中）设，若，其中是虚数单位，则 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【变式2-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【变式2-2】.（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题）若复数是纯虚数，则实数 ． 【变式2-3】.（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 【变式2-4】.（23-24高一·全国·随堂练习）求实数的值，使复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数； (3)零． 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【变式3-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-2】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3-3】.（多选）（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【考点题型四】复数的模（） 【例4-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是 . 【变式4-1】.（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高三上·江苏淮安·期中）若复数满足（为虚数单位），则的模（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-3】.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】.（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学（二）练习卷）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式5-3】.（2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-3】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）若复数，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D．2 【变式6-4】.（2025·河北保定·模拟预测）已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，. 【变式7-1】.（23-24高一下·江苏南京·期末）欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 【变式7-2】.（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【变式7-3】.（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 提升训练 1．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）若复数，则（   ） A． B．3 C． D． 2．（山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题）若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 5．（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．无数个 7．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 二、多选题 9．（山西省部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 11．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A． B．z的虚部为 C． D． 三、填空题 12．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 13．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 14．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 16．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 17．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 复数（6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数大于0，结合实部和虚部列不等式组求解. 【详解】  因为，所以为实数，需满足解得． 【变式1-1】.（2025·河北保定·一模）的虚部为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的周期性规律，将复数化为的形式，则复数的虚部可求. 【详解】因为，所以， 其虚部为. 故选：A. 【变式1-2】.（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】计算两复数模可得答案. 【详解】虚数不能比较大小，，，故． 故选：B 【变式1-3】.（23-24高三上·江苏·期末）已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】复数的相等、虚数单位i及其性质 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 【变式1-4】（23-24高一下·浙江金华·期中）设，若，其中是虚数单位，则 【答案】7 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【变式2-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数是纯虚数实部为0，虚部不为0，即可求得的值. 【详解】复数是纯虚数， 则，解得. 故选：C. 【变式2-2】.（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题）若复数是纯虚数，则实数 ． 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据已知复数类型列方程计算求解. 【详解】由题意得． 故答案为：2 【变式2-3】.（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由复数为实数可得， 解得或. （2）由复数为纯虚数可得， 解得. 【变式2-4】.（23-24高一·全国·随堂练习）求实数的值，使复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数； (3)零． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据虚部为得到方程，解得即可； （2）根据实部为，且虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可； （3）由实部，虚部均为得到方程组，解得即可. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 所以复数为实数， 则，解得或. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； （3）若复数为， 则，解得； 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4． (2)或． 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、复数的坐标表示 【分析】（1）根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解； （2）点在二四象限列不等式求解. 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 【变式3-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【变式3-2】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【知识点】在各象限内点对应复数的特征 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 【变式3-3】.（多选）（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设复数在复平面内对应的点为，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合复数的几何意义求的取值范围即可判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足：，即点到点的距离为2， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则，即，可知的取值范围为， 且，可知的取值范围为， 结合选项可知：ABC正确，D错误. 故选：ABC. 【考点题型四】复数的模（） 【例4-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】设，即可表示出，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 【例4-2】（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】借助复数的模的定义结合所给的范围计算即可得. 【详解】，因为， 所以，则， 所以复数的模的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】.（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 【变式4-2】.（24-25高三上·江苏淮安·期中）若复数满足（为虚数单位），则的模（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模 【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可. 【详解】由题意可知：， 故选：A. 【变式4-3】.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【详解】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B 【变式4-4】.（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】求复数的模 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 【变式5-1】.（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学（二）练习卷）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 则. 故选：B. 【变式5-2】.（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【变式5-3】.（2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题）在复平面内，复数对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法求复数，再根据复数的几何意义确定复数对应点的坐标. 【详解】因为. 所以复数对应点的坐标为：. 故选：A 【变式5-4】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算 【分析】由模长公式及复数的除法运算即可求解； 【详解】， 所以虚部为， 故选：B 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法求出，进而求出. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 【变式6-1】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的乘法和共轭复数的概念结合复平面内的点的特征判断即可. 【详解】由题意知， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【变式6-2】.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 【变式6-3】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）若复数，则的共轭复数的模为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的除法运算求出，再写出的共轭复数，然后由模的定义计算模. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 【变式6-4】.（2025·河北保定·模拟预测）已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】代入复数的运算公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，. 【答案】(1) (2)推导过程见详解 (3) 【知识点】复数的三角形式、三角表示下复数的乘方与开方、求复数的模 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）根据棣莫弗定理与1在复数域内的三次方根的求解过程，即可求出64在复数域内的6次方根，再代入计算模长即可得到结果. 【详解】（1）由于，故， 则. （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故. （3）记， 由棣莫弗定理得， 从而得，所以， 所以64在复数域内的6次方根为 ， ，， ， 设，其中， 代入计算可得，，即取值构成的集合为. 【变式7-1】.（23-24高一下·江苏南京·期末）欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 【变式7-2】.（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为3. 【知识点】复数的三角形式、三角表示下复数的几何意义、求含sinx(型)函数的值域和最值、求复数的模 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可； （2）解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可； （3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以， 因为，所以 所以； （2）法一：由题意知， 得，解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数， 即为复数.故， 故，所以. （3）解法一：设， 所表示的复数为所表示的复数为，则， ， 故， 得 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. 解法二：连接，设， 由，在中可得， 在中可得，于是， 在中可得，于是， 在中可得， 化简得. 故的最大值为3. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题. 【变式7-3】.（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②；③；④. (1)设，，求和. (2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由. (3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 【答案】(1)，； (2)①不正确，②正确，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，，，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得. 【详解】（1）由，， 得，； （2）设，，，、、、、、、， 则，，故①不成立， ，，， ， 因为，， 所以， ，故②正确； （3）设满足条件的，，， 则，， 因为为任意的复数，不妨设且， 由定义可得，即，即， 所以，则， 以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值， 不妨令，则， 则， ， 当，时，取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证； 推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键理解新定义，结合新定义以及所学习的知识解决问题. 提升训练 1．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）若复数，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算化简，根据模长公式计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故选：D. 2．（山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题）若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算法则，计算求得复数，再由复数的模的定义即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 3．（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的几何意义和复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由题意，向量对应的复数是， 则. 故选：C. 5．（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．无数个 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数z的实部与虚部互为相反数可设，利用复数的乘法运算化简即可求得a的值，则答案可求. 【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数， 可设，则， ， 解得， 所以或， 故选：B. 7．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，其中i是虚数单位，则（    ） A．20 B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算，再根据复数相等可列方程计算求得，进而利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得，， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（山西省部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】取特殊值判断A、D；应用复数乘法的几何意义及共轭复数的性质判断B、C. 【详解】对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，取，满足，但，所以，故D错误． 故选：BC 10．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的代数运算计算可判断ABC，利用赋值法计算可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 设，则 ， 所以，故B正确； 设，则，所以， 解得，所以 是纯虚数，故C正确； ， 则 但，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A． B．z的虚部为 C． D． 【答案】AD 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可. 【详解】得， 则z的虚部为，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 三、填空题 12．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到向量的模长. 【详解】, 则， 故答案为： 13．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】首先求出，进一步即可得解. 【详解】因为，所以，所以，. 故答案为：. 14．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 . 【答案】2 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求复数的模 【分析】根据新定义有，结合三角函数的性质求其最大值. 【详解】由题设， 当，即时，的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题 15．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出； （2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出； （3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果. 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得, 所以, 若复数是实数，可得， 解得； （3）易知， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得. 即实数的取值范围为. 16．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【详解】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得，              整理得，而，                 因此, 解得所以 17．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； （2）由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$