专题03 第六章 三角形中的角平分线，中线，周长，面积问题（3考点清单，知识导图+5个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单03 三角形中的角平分线，中线，周长，面积问题 （3个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 清单02 角平分线 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 清单03 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【考点题型一】三角形中线（） 【例1-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 【例1-2】（23-24高一下·辽宁铁岭·期中）在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 【变式1-1】.（23-24高三上·山东·期中）在中，边上的两条中线分别为，若，则 ． 【变式1-2】.（23-24高三上·湖北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，，，且. (1)求的正弦值； (2)，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值. 【变式1-3】.（23-24高三上·河南·阶段练习）已知的内角的对边分别为． (1)求； (2)已知为边上的中线，，求的面积． 【考点题型二】角平分线（） 【例2】（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 【变式2-1】.（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【变式2-2】.（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【变式2-3】.（22-23高一下·山西·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若AD为的角平分线，，且，求的周长． 【考点题型三】三角形边长（最值范围）问题（） 【例3-1】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 【例3-2】（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 【变式3-1】.（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. (1)若，证明：为一个定值； (2)若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【变式3-2】.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【变式3-3】.（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【考点题型四】三角形面积（最值范围）问题（） 【例4-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【例4-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）美化环境，建设美好家园，大家一直在行动．现有一个直角三角形的绿地，，计划在区域建设一个游乐场，其中米，米，．    (1)若米，求NC的长； (2)设，求游乐场区域面积的最小值，并求出此时的值． 【变式4-1】.（23-24高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【变式4-2】.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.    (1)求点到点的距离； (2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【变式4-3】.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 【考点题型五】平面向量与解三角形综合新定义题（） 【例5】（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【变式5-1】.（23-24高一下·浙江·期中）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 【变式5-2】.（23-24高一下·福建厦门·期末）已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求的坐标（用表示）； (3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数. 【变式5-3】.（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； (2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 提升训练 一、单选题 1．（2025·宁夏银川·一模）在中，已知为上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的可能取值有（    ） A．21 B．24 C．27 D．36 10．（23-24高二上·黑龙江黑河·阶段练习）在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 12．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在锐角中，角，，，所对的边分别为，，，且，则为 ；若，边的中点为，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 14．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间 (2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值. 15．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 16．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若．求的取值范围． 17．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 三角形中的角平分线，中线，周长，面积问题 （3个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 清单02 角平分线 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 清单03 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【考点题型一】三角形中线（） 【例1-1】（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律 【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明； （2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 【例1-2】（23-24高一下·辽宁铁岭·期中）在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小； （2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长. 【详解】（1）由已知， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 在中，因为， 所以； （2）由，得①， 由（1）知，即②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以③， 由①②③，得， 所以， 所以的周长. 【变式1-1】.（23-24高三上·山东·期中）在中，边上的两条中线分别为，若，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的中线公式及向量垂直化简，可得关于的方程，即可得解. 【详解】如图， 设， 则， ，， ， 化简得，即， 所以，解得或（舍）， ． 故答案为： 【变式1-2】.（23-24高三上·湖北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，，，且. (1)求的正弦值； (2)，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出角，再由正弦定理解出的正弦值； （2）运用余弦定理以及向量知识求出、、的值，根据题意得到为重心，从而得出、，进而得出的余弦值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得，， 即， 整理得. 因为，所以， 所以，即. 又因为，所以. 由正弦定理，得. （2）由余弦定理得， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 则. 在中，， 所以， 解得. 由，分别为边，上的中线可知为的重心， 可得，. 在中，由余弦定理得， 又因为，所以.        【变式1-3】.（23-24高三上·河南·阶段练习）已知的内角的对边分别为． (1)求； (2)已知为边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）根据同角关系以及和差角公式可得，即可由正弦定理边角化得，利用余弦定理即可求解边长，由面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理及，得， 化简得，所以， 由余弦定理可得，由于.所以． （2）在中，由，得， 由，得． 则， 由正弦定理得，， 设，由余弦定理得，故， 在中，由余弦定理得，， 即，解得，则， 所以的面积．    【考点题型二】角平分线（） 【例2】（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据，可得，结合角度范围即可得角的值； （2）根据余弦定理与三角形面积关系求解得长度，再由计算可得的长． 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由（1）知， 由余弦定理得， 则可得， 由，可得，所以， 因为，即， 所以. 【变式2-1】.（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且， 即，解得. 【变式2-2】.（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】(1) (2) (3)当为何值时，最短 【知识点】几何图形中的计算、数量积的运算律、三角恒等变换的化简问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解； （2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解； （3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去）， 所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知， 则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则， 且最短，即为最短， 设，则，，， 可知，可得， 由余弦定理可得， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去） 所以当为何值时，最短. 【变式2-3】.（22-23高一下·山西·期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若AD为的角平分线，，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式求解； （2）由，得到，然后由求得b，c，再利用余弦定理求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 即． 因为， 所以． 因为，所以． 又，则． （2）因为，所以． 由，得， 得．又，解得，， 则， 所以的周长为． 【考点题型三】三角形边长（最值范围）问题（） 【例3-1】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证； (2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围. 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . （2）由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. 【例3-2】（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解. （2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，，所以，所以， 因为，所以． （2）因为外接圆的半径为，所以，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即，即． 令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 在上单调递增，且，，， 所以，即， 所以，即的取值范围为. 【变式3-1】.（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）如图所示，在的边外侧作，使得四点在同一平面内. (1)若，证明：为一个定值； (2)若锐角中内角所对的边分别为，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）在、中，利用余弦定理计算化简可得，整理即可证明； （2）由题意，根据余弦定理可得，利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 所以由余弦定理得 ， 在中，， 所以由余弦定理得 ， 所以， 化简得， 所以为一个定值1. （2）由，可知， 则，又， 则， 所以， 所以， 所以 ， 又， 则，得， 所以， 故，即的取值范围为. 【变式3-2】.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 【变式3-3】.（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 【考点题型四】三角形面积（最值范围）问题（） 【例4-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． (1)求A； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）由面积公式可得外接圆半径，即可根据正弦理求解，由余弦定理以及基本不等式即可求解的最大值，由面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以， （2）设的外接圆半径为，所以所以， 由正弦定理得， 故 又即， ，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. 【例4-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）美化环境，建设美好家园，大家一直在行动．现有一个直角三角形的绿地，，计划在区域建设一个游乐场，其中米，米，．    (1)若米，求NC的长； (2)设，求游乐场区域面积的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)米； (2)，. 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形 【分析】（1）由中， 可得，在中由余弦定理可得，由正弦定理可得，进而可求 、，接着在中由正弦定理可得，由余弦定理可得，解方程组即可得NC. （2）中又正弦定理可得，，再用正弦定理表示的面积，构建关于的函数求其最值即可. 【详解】（1）中，， 即,， 中由余弦定理可得， 即， 由正弦定理可得,即， 又可得， 又即为锐角,可得为钝角， ， 在中由正弦定理可得， 即，可得， 由余弦定理可得， 即， 将代入可解得， 所以NC的长米. （2）,， 中又正弦定理可得 ,， 可得， ， ， 即 ， 当即时， 取得最小值为. 【变式4-1】.（23-24高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果； （2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：， ，即，. （2）设，则， ，，四点共圆，且为该圆的直径， ，， ，， 在中，，， .    ，，， ，当，即时，， 故与的面积和的最大值为.    【变式4-2】.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.    (1)求点到点的距离； (2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】(1) (2)当时，三角形面积最小，最小值为 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）连接，在中利用余弦定理计算可得； （2）由可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求出面积的最小值. 【详解】（1）连接，在中， 因为， 所以，又、， 由余弦定理得， 所以，即点到点的距离为.    （2）由， ， ， 化简得或（舍去），当且仅当， 即、时取等号， ， 故当时，三角形面积最小，最小值为. 【变式4-3】.（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得.根据三角形是锐角三角形求得的取值范围，利用正弦定理化简，通过的取值范围求得的取值范围. （2）利用正弦定理表示出，由此求得三角形面积的表达式，结合的取值范围求得的取值范围，对分成和两者情况，结合同角三角函数的基本关系式、函数的单调性进行分类讨论，由此求得三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： ，则， 所以或，即或， 所以， 因为为锐角三角形，可得，即， 解得：，所以，，， 故的取值范围为. （2）在中，由正弦定理可得 ，又， ， ， 因为， 当时，，         当时，， ， 又，在上单调递增， 当时，的面积最小，最小值为. 综上所述，三角形面积的最小值为. 【考点题型五】平面向量与解三角形综合新定义题（） 【例5】（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 【变式5-1】.（23-24高一下·浙江·期中）对于平面向量，定义“变换”：， (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、向量夹角的计算、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】（1）将，带入变换计算可得； （2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由面积公式即可得出结论； （3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得 【详解】（1）根据题意可得，，， 代入变换可得， 即 （2） 得，同理可得， ； 所以， 则， 得， 即； （3）易知 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即,又， 解得． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的运算规则，得出任意两向量之间的关系，再结合三角恒等变换以及向量数量积的运算规则即可求解. 【变式5-2】.（23-24高一下·福建厦门·期末）已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量. (1)若，求的坐标； (2)若，求的坐标（用表示）； (3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用坐标表示平面向量、用和、差角的余弦公式化简、求值、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据旋转角度求出向量坐标； （2）设出角度结合两角和差公式化简得出向量坐标； （3）先设点再根据角度结合抛物线求解，最后分类讨论得出根的个数的情况. 【详解】（1）设， 已知，则， 因为逆时针旋转，则， , ， 设， ， 所以. （2）设，有， 因为由绕坐标原点逆时针旋转角后所得 所以， 因为， 所以， ， 所以. （3）设时，，由（2）知逆时针旋转得：， 也在拋物线上，得， 消得：， 有， 即， 将代入，得， 由，可知确定，则与之唯一确定. 所以讨论的个数等价于讨论方程（*）中解（除去时的非零解）的个数. 令①，; 令②，. 联立方程①②得，，所以时，方程①②有相同解：. 当时，方程①②均无解，所以的个数为0； 当时，方程①无解，②仅有一个解，所以的个数为1； 当时，方程①无解，②有一个非零解：，所以的个数为1； 当或时，方程①无解，②有两个解，所以的个数为2； 当时，方程①仅有一解，②有两解或，所以的个数为2； 当时，方程①､②均有两个解，且两方程不同解，所以的个数为4. 综上所述：当时，的个数为0；当或0时，的个数为1； 当或时，的个数为2；当时，的个数为4； 【点睛】方法点睛：先设点再根据角度结合抛物线求解，最后分类讨论得出根的个数的情况. 【变式5-3】.（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； (2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】(1); (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【详解】（1）① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. （2）依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 提升训练 一、单选题 1．（2025·宁夏银川·一模）在中，已知为上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意，可得，，则，运算得解. 【详解】如图，由，，则， ，， ， 则. 故选：C.    2．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据已知及余弦定理得，进而有，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，且为三角形的最大角， 所以，则的面积为. 故选：D 3．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件利用余弦定理和三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 由，得，得， 所以，得， 所以，得， 因为，所以. 故选：C 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 5．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 6．（23-24高二下·河南开封·期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．16 D． 【答案】B 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、三角形中的三角恒等式 【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可 【详解】由，， 所以，即， 所以，因为，所以． 因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以． 故选：B． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理结合已知条件可求得，可得出，再利用等面积法可得出内切圆半径的表达式，结合基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】由及正弦定理可得， ，所以，，则，所以，， 所以，的外接圆直径为， 设内角、、的对边分别记为、、，则，所以，， 设的内切圆半径为，则，所以，， 因此，， 因为， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为. 故选：C. 8．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 又因，所以， 由，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的可能取值有（    ） A．21 B．24 C．27 D．36 【答案】CD 【知识点】基本不等式求和的最小值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，结合三角形面积列出方程，得到，再由基本不等式求出最值，验证后得到答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，而，则， 角A的内角平分线的长为3，由得, ， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值27． 若，又，联立得到， 因为，结合韦达定理，得到两根之和，两根之积均大于0， 故方程有正根，故满足要求. 故选：CD 10．（23-24高二上·黑龙江黑河·阶段练习）在中，已知是角的平分线，则的长度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】过作交延长线于，由题设可得且，进而有，令并在中应用余弦定理求x范围，即可得范围. 【详解】过作交延长线于， 又是角的平分线，得，故， 而，则， 令，则， 在中，， 可得，则，故A、B、C满足要求. 故选：ABC 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】由余弦定理可得出，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得线段长的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理可得． 由平面向量数量积的定义可得， 在锐角中，点是线段的中点，则， 所以 ． 由及正弦定理，得，， 所以 ． 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，所以， 所以，所以． 所以线段的长的取值范围为． 故答案为：． 12．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在锐角中，角，，，所对的边分别为，，，且，则为 ；若，边的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】①利用正弦定理和和差公式化简即可；②利用余弦定理得到，利用向量得到，然后利用正弦定理和三角函数的性质得到范围即可得到的取值范围. 【详解】①由得， 则， 则， 则， 因为三角形为锐角三角形，所以，则，即； ②由余弦定理得，即， ， 由正弦定理， 得 ， 因为，所以，， 则， 所以，. 故答案为：；. 四、解答题 13．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以. 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 14．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间 (2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求三角形面积的最值或范围、求sinx型三角函数的单调性、基本不等式求积的最大值、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由，求出角，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值． 【详解】（1）因为 ， 即， 令，，解得，， 所以函数的单调减区间为，． （2）由得，由，∴，∴． 又，由余弦定理得， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积的最大值为． 15．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解； （2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 16．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）将已知中的切化弦，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求出； （2）由余弦定理可得到，再利用基本不等式即可求出的范围. 【详解】（1），， ，， ，，， ； （2），， 由余弦定理得，，即， ，， ，当且仅当时等号成立， 又，， 的取值范围是. 17．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$