专题02 第六章 解三角形及其应用（2考点清单，知识导图+7个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单02 第六章 解三角形及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01解三角形 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 清单02 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【考点题型一】解三角形（） 【例1-1】（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 【例1-2】（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、余弦定理解三角形 【详解】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【分析】因为，所以， 由余弦定理得， ，，， 则. 故答案为：. 【变式1-1】.（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理得出，再根据大边对大角求解即可． 【详解】设，则， 由正弦定理得，，解得， 因为，所以，则或， 故选：C． 【变式1-2】.（多选）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理可得.结合，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 【变式1-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 【答案】3 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】由余弦定理知， 即， 整理得，解得.（负值舍去） 故答案为：3 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2-1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、垂直关系的向量表示 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 【例2-2】（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 【答案】AD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 【变式2-1】.（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 【变式2-2】.（23-24高二下·河南新乡·期末）已知的内角的对边分别为，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理可得，消去，可得，结合，可知为中最大的内角，最后利用余弦定理求得，可知为钝角，即得解. 【详解】由正弦定理得，，，为的外接圆半径， 因为， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，即， 所以为中最大的内角， 则， 所以为钝角三角形. 故选：C. 【变式2-3】.（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【答案】AC 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确； 对于B,由正弦定理得,又, 所以,所以或者,则或者, 则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误； 对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立, 所以,又,所以,即, 此时,是等腰直角三角形,故C正确； 对于D,因为, 所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误． 故选:AC． 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 【答案】/0.125 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可得，根据题意设三边长，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为，可得， 可设，则， 所以. 故答案为：. 【变式3-1】.（2025高三·全国·专题练习）已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据已知条件得，利用余弦定理得，判断出，将的值最大转化为最小，由基本不等式求解即可. 【详解】设的三个内角、、的对边分别为、、， ， 由余弦定理知， 因为，所以，所以， 由正、余弦函数在上的单调性可知要使最大，则最大，最小， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时． 故答案为：. 【变式3-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足．若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦定理将边化成角，化简计算得到角B，再根据正弦定理结合辅助角公式将化成关于的三角函数，根据函数性质可求解. 另还有一解法，可设，利用余弦定理得到关于的一元二次方程，根据根的判别式可得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理可得， 即． 在中，由，得， 所以，又，， 所以，所以． 解法①： 由，结合正弦定理知，所以， 所以 ， 其中，当时取等号，所以的最大值为． 解法②： 设，则， 根据余弦定理得，即， 因为关于的方程有正实数解，所以，解得， 所以的最大值为． 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为， 所以 因为，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-4】.（2025·河南·二模）的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化为角，再根据三角形内角和定理以及三角函数公式化简等式，最后求出角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得：，得到. 因为，所以，那么. 根据诱导公式，可得. 所以. 可得. 因为，所以，得到. 即，可得. 又因为，所以. 故答案为：. 【考点题型四】三角形周长（） 【例4-1】（2025·山西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）16 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式，即可证明. （2）（i）结合（1）中的结论，结合正弦定理可得，再用余弦定理可求角. （ii）利用三角形的面积公式，可得，再结合余弦定理，可求，进而可求的周长. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以原式左边右边，得证. （2）（i）由（1）可得. 又由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，得. （ii）由题知，由，得. 又由余弦定理，可得， 即，所以. 所以，故的周长为16. 【例4-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，函数取到最小值为 (2) 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果. （2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以， 由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时． （2）因为，由（1）得到， ， 即，又在中，则， 所以，即， 又，由余弦定理，得到， 又由基本不等式知，，当且仅当取等号， 所以，则， 又因为，所以， 所以周长的取值范围为． 【变式4-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，面积为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理与辅助角公式，可得答案； （2）由正切的和角公式，利用直角三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）由，则， 由余弦定理可得， 则，解得或（舍去），所以. （2）由，则， 整理可得，则， 由，解得，则， 由，则， 由正弦定理可得，则，， 所以的周长. 【变式4-2】.（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由余弦定理即可求； （2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案. 【详解】（1）由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. （2）由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 【变式4-3】.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）将条件用正弦定理角化边，再结合余弦定理求得答案； （2）根据题意，可判断是锐角三角形，由正弦定理可得，，利用三角恒等变换求出的范围，进而得解. 【详解】（1）由， 可得，，即， 由余弦定理得：， 因为，所以. （2）由，则，，， 所以均为锐角， 在锐角中，，， 由正弦定理得：， 故，， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则，， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【考点题型五】三角形面积（） 【例5-1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，则的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理计算出边，再由面积公式计算即可得. 【详解】， ， 即， 解得或（舍）， ， ， . 故选：C 【例5-2】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知. (1)求的单调区间和值域； (2)在中，的对边分别为，，求的面积. 【答案】(1)增区间为及，减区间为，值域为 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用整体代入法求解即可； （2）利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1） ， 令，得， 又，所以的增区间为及，减区间为， 因为，所以，， 故的值域为. （2）， 或，又，所以或， 结合得，由， 所以，故. 【例5-3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)或 (2)3 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由，及正弦定理得， 因为为三角形内角，故，故得， 又为三角形内角，或. （2）由 得， 又，所以. 由（1）得，故， 而为三角形内角，. 由正弦定理，得， 故的面积. 【变式5-1】.（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理可得，再根据面积公式求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得， 所以，所以的面积为. 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由已知结合正弦定理可求，由余弦定理可求，然后代入三角形的面积公式即可求解． 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 且，则， 可得，即， 又因为，由余弦定理可得，则， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式5-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）对给定式子合理变形，结合余弦定理求解角度即可. （2）利用三角形面积公式求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，则， 由余弦定理得. 又，解得. （2）由的面积为，得， 即，解得， 由余弦定理得， 因为，，所以， 即，而，解得. 【变式5-4】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可得解； （2）先由求得角，再利用余弦定理与正弦定理的边角变换得到关于的方程组，进而利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为 ， 令，得， 所以的单递增区间为. （2）因为，即， 又，所以， 所以，故， 因为，所以，即①， 又，由正弦定理得②， 由①②可得， 所以. 【考点题型六】正余弦定理的应用（） 【例6-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是 （答案用，表示） 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、高度测量问题 【分析】根据直角三角形的边角关系求边长即可. 【详解】首先：. 在中，. 在中，. 又，所以. 所以. 故答案为： 【例6-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】(1)该人工圆形湖泊的直径为米 (2)四边形ABCD面积的取值范围为（平方米） 【知识点】正弦定理求外接圆半径、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 【变式6-1】.（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【答案】(1)300米； (2)为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【知识点】距离测量问题、高度测量问题、用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据已知有，即可求的高度； （2）由，根据已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，确定取值条件即可得结论. 【详解】（1）由题设， 所以米； （2）设米，则，， 由，则 ， 当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【变式6-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】(1)的长为米. (2)的长为米，. 【知识点】高度测量问题、角度测量问题 【分析】（1）设的长为米，利用三角函数的关系式建立等式关系，求解即可得到结论； （2）利用正弦定理和余弦定理，建立方程关系，即可得到结论. 【详解】（1）设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. （2）由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 【变式6-3】.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． (1)求函数的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、对勾函数求最值 【分析】（1）求出的最小正周期为，得到，结合时，小球位于最高点，得到方程，求出，又，得到解析式； （2）由得到，根据三角形为锐角三角形得到，，由正弦定理，化简得到，换元后，由对勾函数单调性求出取值范围，得到答案. 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意，， ， 又，， 当时，小球位于最高点，则， ， 又由题意，解得， ； （2）由题意，，故， 即， 为锐角三角形， 故或， 当时，解得， 当时，解得，舍去， 故，则， 又，， 解得， ， ， 又， 令，则， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递增， 所以， 所以则的取值范围为． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知若存在整数x，使满足，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)，其中 (3)不存在，理由见解析 【知识点】由条件等式求正、余弦、正弦定理解三角形、特殊角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【详解】（1）因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得; （2）对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”， 则对，，有， 时，，则. 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数. 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. （3）不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均为正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 【变式7-1】.（2024·贵州铜仁·模拟预测）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可； （3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【详解】（1）由， 得， 得， 得， 得，即， 所以为直角三角形，. （2）由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点， 所以，设，    在中，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 由， 得 . （3）由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得， 解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 【点睛】思路点睛：在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题. 【变式7-2】.（23-24高一下·安徽·期末）如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求三角形中的边长或周长的最值或范围、已知数量积求模 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到； ②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到； （2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案. 【详解】（1）①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； （2）依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键. 【变式7-3】.（23-24高一下·湖南邵阳·期中）定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】三角形面积公式及其应用、向量在几何中的其他应用、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可； （2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比； ②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出. 【详解】（1），则，即， ∴，即， 同理可得，， 则成立， 取，则为等腰直角三角形的三边， 但，，不能为三角形的三边， 故推不出， ∴“”是“”的充分不必要条件． （2）①，则， ∴， 又因为，∴， 而均为三角形内角，∴， 记， ∴； ②由， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 同理得，， ∴x，y，z可组成三角形，∴. 提升训练 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】根据求出，令，求出的表达式，在中使用余弦定理求出. 【详解】因为， 所以，令， 则， 即，在中，由余弦定理得，即，解得或. 故选：A. 2．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先根据正弦定理和三角函数的性质求出角，再利用三角形面积公式和角平分线性质建立关于边的方程，进而求出的值. 【详解】依题意，， 由正弦定理得. 移项可得. 所以. 所以，因为，所以， 两边同时除以，可得，即，所以. 由三角形面积公式可得，即，化简可得①. 因为，所以. 又因为平分，根据角平分线定理得， 即，所以②. 由①②解得. 故选：B 3．（2024·陕西渭南·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 4．（2025·山东枣庄·二模）已知中，，若的平分线交于点，则的长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解出再利用角平分线定理结合斯台沃特定理求解即可. 【详解】 因为 所以 即又所以 则，又所以， 又因为为的平分线，所以 又因为，在中， 由余弦定理知： 所以，由角平分线定理知：， 所以 使用斯台沃特定理求BD的长度： 代入数值： 化简得到： 解得： 故选：C. 5．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】在中，利用余弦定理可得，，再结合几何性质运算求解即可. 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：，即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边长分别为，且的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D. 【详解】已知，则， 由余弦定理可知，所以， 变形得，两边平方得， 整理可得，解得或， 因为，所以，则 对于A，，故A正确； 对于B，， 因为点为的外心，所以， 因此，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 由正弦定理得，则，故C错误； 对于D，因为，则， 因为， 所以，即①， 同理可得， 因为， 即，所以②， 联立①②，解得，故D正确． 故选：C． 8．（24-25高三下·河南驻马店·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解. 【详解】由可得, 由于， 故， 故， 由于中，，故， ，故， 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高一下·宁夏·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 11．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形ABCD的面积为 C．外接圆的周长为 D． 【答案】BC 【知识点】正弦定理求外接圆半径、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 【详解】由题意可得， 所以，故A错误； 过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F， ， 则四边形的面积为 =，故B正确； 因， 在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因，， ，故D错误. 故选：BC． 三、填空题 12．（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得的关系，结合锐角三角形条件可求的范围，然后结合二倍角及和差公式对进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求. 【详解】因为， 由正弦定理可得, 即， 所以，而三角形为锐角三角形， 所以或(舍去)， 所以， 由题意得， 所以，， 令，， 则， 易得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得最大值， 又，， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 14．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅. (1)设，将四边形的面积表示成的函数； (2)如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个最大值. 【答案】(1)，； (2)当时，四边形的面积最大为平方米. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由题意利用三角形面积公式得，再结合三角恒等变换可得四边形的面积； （2）由（1）得四边形的面积，，利用正弦函数的性质即可求其最大值. 【详解】（1）由题意，要得到四边形，则， 利用直角三角形面积公式得到： ，. （2）由（1）知：，，所以， 所以当时，即时，四边形的面积最大， 即平方米. 16．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若点D在线段AB上，，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、图形的性质 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而求得，本题得证； （2）利用反证法证明即可； （3）由条件可得，得到，再结合条件及即可求得a的值. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 得， 又，故． （2）证明：若，则是等边三角形，则， 而由可知，矛盾，故，得证． （3）因为，， 所以， 由相似可知， 又， 故， 又，代入得， 解得（负值舍去）， 即a的值为． 17．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 【答案】(1)nmile；nmile2. (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）在和中利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式四边形的面积； （2）在和中利用余弦定理可得，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正弦公式计算. 【详解】（1）为钝角，且得， 因，则，, 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 将代入得或（舍）， 或（舍）， 则小岛A与小岛D之间的距离为nmile，四个小岛所围成的四边形的面积为nmile2 （2）在中利用余弦定理得， ，因， 则， 则，， 则. 18．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【详解】（1）由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； （2）由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及已知，即可确定角的大小； （2）由（1）为等边三角形，令，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设，即， 所以，而，故， 又，则，故. （2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系， 则，，，故， 所以 ，当时取最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第六章 解三角形及其应用 （2个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01解三角形 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 清单02 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 【考点题型一】解三角形（） 【例1-1】（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 . 【变式1-1】.（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】.（多选）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2-1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2-2】（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 【变式2-1】.（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【变式2-2】.（23-24高二下·河南新乡·期末）已知的内角的对边分别为，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2-3】.（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ． 【变式3-1】.（2025高三·全国·专题练习）已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ． 【变式3-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足．若，则的最大值为 ． 【变式3-3】.（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【变式3-4】.（2025·河南·二模）的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【考点题型四】三角形周长（） 【例4-1】（2025·山西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)若. （i）求； （ii）若，且的面积为，求的周长. 【例4-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 【变式4-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，面积为，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求的周长. 【变式4-2】.（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【变式4-3】.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围. 【考点题型五】三角形面积（） 【例5-1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，则的面积等于（    ） A． B．2 C． D． 【例5-2】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知. (1)求的单调区间和值域； (2)在中，的对边分别为，，求的面积. 【例5-3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式5-1】.（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为 ． 【变式5-2】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是 ． 【变式5-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 【变式5-4】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 【考点题型六】正余弦定理的应用（） 【例6-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是 （答案用，表示） 【例6-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【变式6-1】.（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）    (1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 【变式6-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【变式6-3】.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． (1)求函数的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知若存在整数x，使满足，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【变式7-1】.（2024·贵州铜仁·模拟预测）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求实数的最小值. 【变式7-2】.（23-24高一下·安徽·期末）如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【变式7-3】.（23-24高一下·湖南邵阳·期中）定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 提升训练 一、单选题 1．（2025·辽宁·模拟预测）在中，，为的中点，为上一点，且，，则（   ） A．0或 B． C． D．0或 2．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（   ） A． B．2 C． D．4 3．（2024·陕西渭南·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．3 4．（2025·山东枣庄·二模）已知中，，若的平分线交于点，则的长为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 7．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边长分别为，且的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·河南驻马店·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 10．（23-24高一下·宁夏·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 11．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．四边形ABCD的面积为 C．外接圆的周长为 D． 三、填空题 12．（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 ． 13．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 14．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅. (1)设，将四边形的面积表示成的函数； (2)如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个最大值. 16．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若点D在线段AB上，，，求a的值． 17．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 18．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，的面积为，求边上的高． 19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$