专题03 第八章 立体几何初步（8.1～8.3）（考点串讲，7大考点&10大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

人教A版（2019）高一数学下学期·期中大串讲 第八章 基本立体图形，直观图，表面积和体积（7考点&10题型） 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 基本立体图形  清单02 直观图  考点透视 清单03 多面体表面积（侧面积）  清单04 多面体体积  考点透视 清单05 旋转体表面积（侧面积）  考点透视 清单06 旋转体体积  考点透视 清单07 球的表面积与体积  题型剖析 【考点题型一】基本立体图形 【答案】C 题型剖析 【考点题型一】基本立体图形 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】立体图形中的最短距离问题 【答案】BCD 题型剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题 【答案】ABD 题型剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题 题型剖析 【考点题型三】立体几何中的截面问题 【答案】D 题型剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图 【答案】ABC 题型剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图 题型剖析 【考点题型四】平面几何图形的直观图 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】多面体表面积（侧面积） 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】多面体表面积（侧面积） 题型剖析 【考点题型六】多面体的体积 【答案】C 题型剖析 【考点题型六】多面体的体积 【答案】6 题型剖析 【考点题型七】旋转体表面积（侧面积） 【答案】A 题型剖析 【考点题型七】旋转体表面积（侧面积） 【答案】C 题型剖析 【考点题型八】旋转体的体积 【答案】A 题型剖析 【考点题型八】旋转体的体积 【答案】A 题型剖析 【考点题型九】外接球 【答案】D 题型剖析 【考点题型九】外接球 【答案】B 题型剖析 【考点题型九】外接球 【答案】D 题型剖析 【考点题型十】内切球 【答案】D 题型剖析 【考点题型十】内切球 【答案】A 押题预测 【答案】D 押题预测 【答案】B 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 （2）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 计算多面体每个面的面积之和 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即. （3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 圆柱的表面积： （1）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）圆锥的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆台的表面积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）圆锥的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆台的体积： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）球的表面积： （2）球的体积: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故D正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述不正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故B正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故C错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式1-1】.（2025高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误； 斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误； 六条棱长均相等的四面体是正四面体，B正确； 截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误． 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-2】（多选）（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，分别是的中点，用一个平面截该正方体，截面面积为，则下列结论正确的是（   ） A．若经过点，则 B．若经过点，则 C．若经过点，则经过点 D．则经过点．则经过的一个三等分点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】A选项，经过点，则截面为等边三角形， 面积为，A选项正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 B选项，经过点，则截面为菱形， ，设，则， ，所以菱形的面积为，B选项正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 C选项，经过点，设分别是的中点， 则截面为正六边形，不经过，所以C选项错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 D选项，经过点， 延长，交的延长线于，交的延长线于， 连接，交于，连接，交于，则截面为， 由于是的中点，是的中点， 所以，则，所以， 所以是的三等分点，所以D选项正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确． 故选：ABC． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形；故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（2024高三·全国·专题练习）某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-1】（2025高三下·全国·专题练习）一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6-2】．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，三棱柱中，侧面的面积是4，点到侧面的距离是3，则三棱柱的体积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， ， 所以 ,设点到侧面的距离是， 由， 所以 . 故答案为：6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高三上·广东·阶段练习）一个正四面体边长为，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在正四面体中，是正的中心，则底面， 而，则正四面体的高， 体积， 设圆柱的底面圆半径为，依题意，，解得， 所以该圆柱的侧面积. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】.（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】做圆台的轴截面，如图： 由题意得圆台的上，下底面的半径分别为2，6， 设圆台的母线长为，高为，则该圆台的侧面积 ，解得， 所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面四边形中，，，，若平面四边形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，，所以， 在中，，所以， 所以，在中，，所以， 如图，作，所以平面四边形是矩形，， 平面四边形绕旋转一周得到一个几何体是圆柱去掉一个圆锥， 是圆锥的底面半径，是它的高，而和是圆柱的半径和母线，由已知， 所以 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】.（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为2的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，解得， ∴， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】.（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-2】.（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，侧面积为，体积为，则圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设圆台的上底面的半径为r，母线长为l，则圆台的高为， 由圆台的侧面积为，体积为，得， 解得，圆台的高，设圆台的外接球的半径为R， 球心到圆台两底面圆的距离分别为，因此，解得， 或，无解，所以圆台的外接球的表面积为． 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】.（2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·江西上饶·期末）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边、的中点）则图1中容器水面的高度是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设的中点分别为，如下图： 易知，则，由为的中点，则，可得， 设三棱柱与三棱柱的体积分别为，则， 设水的体积为，则， 在图1中，设水形成的三棱柱的高为，则，解得. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1）此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设米， 在中，，则，   在中，，且， 则，所以，   因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得x=30（米） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知均为直角三角形， ，所以， 所以在中，满足，所以为直角三角形； 所以，   所以平方米； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换： 所以米； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$