专题02 第七章 复数（考点串讲，6大考点&7大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

人教A版（2019）高一数学下学期·期中大串讲 专题02 第七章 复数 （6考点&7题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 复数的有关概念  清单02 复数的分类  考点透视 清单03 复数的几何意义  清单04 复数的模  考点透视 清单05 复数的四则运算  考点透视 清单06 共轭复数  题型剖析 【考点题型一】复数的有关概念 题型剖析 【考点题型一】复数的有关概念 【答案】A 题型剖析 【考点题型二】复数的分类 题型剖析 【考点题型二】复数的分类 【答案】C 题型剖析 【考点题型三】复数的几何意义 题型剖析 【考点题型三】复数的几何意义 【答案】AB 题型剖析 【考点题型四】复数的模 【答案】A 题型剖析 【考点题型四】复数的模 题型剖析 【考点题型五】复数的四则运算 【答案】B 题型剖析 【考点题型五】复数的四则运算 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】共轭复数 【答案】B 题型剖析 【考点题型六】共轭复数 【答案】D 题型剖析 【考点题型七】新定义题 题型剖析 【考点题型七】新定义题 易错易混 易错易混 【答案】A 易错易混 押题预测 【答案】B 押题预测 【答案】D 押题预测 【答案】3 押题预测 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】  因为，所以为实数，需满足解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式1-1】.（2025·河北保定·一模）的虚部为（    ） A． B． C． D．3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 其虚部为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）若z是虚数，则，解得且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）若z是纯虚数，则解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式2-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】复数是纯虚数， 则，解得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意，，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-2】（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，因为， 所以，则， 所以复数的模的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得，即， 因此， 所以在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】.（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学（二）练习卷）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】， 则. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， 所以. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由于，故， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）记， 由棣莫弗定理得， 从而得，所以， 所以64在复数域内的6次方根为 ， ，， ， 设，其中， 代入计算可得，，即取值构成的集合为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）若，则复数的虚部为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设， 由， 则， 即， 即，解得或， 所以或. 则复数的虚部为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为复数在复平面上对应的点为， 所以， 因为， 因为为实数， 得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）已知. (1)若,求的值； (2)若,求x的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）时，由方程得，则，得； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）时，， 代入方程整理得， 则，得或， 故或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高三上·河南漯河·期末）若复数满足，则（   ） A． B． C． D．125 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，则，则，则. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（23-24高一下·湖南郴州·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，则的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 ， 因为的最小值为，所以的最大值为. 故答案为：3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得， 所以b的值为3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，， 若与互为共轭复数，则，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$