专题03 平行四边形（贵州专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题03 平行四边形 题型概览 题型01 利用平行四边形的性质计算线段长度 题型02 利用平行四边形的性质计算角的度数 题型03 熟悉并添加平行四边形的判定条件 题型04 平行四边形的判定证明与性质综合 题型05 三角形中位线的性质的应用 熟悉平行四边形的性质题型01 1．（2024春•遵义期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　） A．AO＝OB B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB 2．（2024春•石阡县期中）下列命题是真命题的是（　　） A．平行四边形的邻边相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形内角都相等 D．平行四边形是轴对称图形 3．（2024春•红花岗区校级期中）下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　） A．邻角互补 B．邻边相等 C．对边平行 D．对角线互相平分 利用平行四边形的性质计算线段长度题型02 1．（2024春•黔东南州期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．10 B．8 C．12 D．14 2．（2024春•西秀区期中）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 3．（2024春•从江县校级期中）已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB：BC＝2：3，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2024春•红花岗区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•从江县校级期中）如图，平行四边形ABCD的面积为10．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，图中阴影部分的面积为 　 　 ． 利用平行四边形的性质计算角的度数题型03 1．（2024春•红花岗区校级期中）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（　　） A．60° B．90° C．120° D．45° 2．（2024春•黔东南州期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，则∠C＝（　　） A．130° B．50° C．30° D．120° 3．（2024秋•兴义市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，则∠B＝　 　 ． 熟悉并添加平行四边形的判定条件题型04 1．（2024春•西秀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD 2．（2024春•绥阳县期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D 3．（2024秋•兴义市期中）下面给出了四组四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5 平行四边形的判定证明与性质综合题型05 1．（2024春•沿河县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 2．（2024春•西秀区期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 3．（2024春•黔东南州期中）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F． （1）请在图中连接AF、CE； （2）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由． 4．（2024春•沿河县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）当AB＝BC，AC＝24，BC＝15时，求四边形ABCD的面积． 5．（2024春•遵义期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 6．（2024春•印江县期中）如图，在▱ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 三角形中位线的性质的应用题型06 1．（2024春•印江县期中）如图，小红想测量池塘两端A，B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC，BC，再分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE，现测得DE＝10米，则A，B之间的距离为（　　） A．40米 B．30米 C．20米 D．15米 2．（2024春•遵义期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC＝42m，BC＝64m，DE＝26m，则AB等于（　　） A．．42m B．．52m C．．56m D．．64m 3．（2024春•西秀区期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　 ． 1．（2024春•黔东南州期中）两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（2024春•红花岗区校级期中）如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 　 ． 3．（2024春•罗甸县期中）党的十九大提出乡村振兴战略，要把我们的农村建设得更加美好．现有一个政府工作人员高叔叔居住在D地，他的服务范围是A，B，C，E四个地方，点A，D，B，C，E恰好连接成为如图的三角形．已知DE与BC平行，若D地到A，B两地的距离均为5km，E地到A，C两地的距离相等吗？请说明理由． 4．（2024春•沿河县期中）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点． （1）若DE＝6，则BC＝　 　 ；若∠ACB＝65°，则∠AED＝　 　 °； （2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 题型概览 题型01 利用平行四边形的性质计算线段长度 题型02 利用平行四边形的性质计算角的度数 题型03 熟悉并添加平行四边形的判定条件 题型04 平行四边形的判定证明与性质综合 题型05 三角形中位线的性质的应用 熟悉平行四边形的性质题型01 1．（2024春•遵义期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　） A．AO＝OB B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB 【分析】由平行四边形的性质容易得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC； 故选：C． 2．（2024春•石阡县期中）下列命题是真命题的是（　　） A．平行四边形的邻边相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形内角都相等 D．平行四边形是轴对称图形 【分析】根据平行四边形的性质可进行求解． 【解答】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的对角相等；平行四边形是中心对称图形； 故选：B． 3．（2024春•红花岗区校级期中）下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　） A．邻角互补 B．邻边相等 C．对边平行 D．对角线互相平分 【分析】根据平行四边形的性质进行分析． 【解答】解：平行四边形的邻角互补，对边平行，对角线互相平分，但是邻边不一定相等． 故选：B． 利用平行四边形的性质计算线段长度题型02 1．（2024春•黔东南州期中）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．10 B．8 C．12 D．14 【分析】利用平行四边形的性质可知AO＝3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO＝5，则BD＝2BO＝10． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2BO，AO＝OC＝3． 在Rt△ABO中，AB＝4，利用勾股定理可得BO5． ∴BD＝2BO＝10． 故选：A． 2．（2024春•西秀区期中）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB，求出∠DEA＝∠EAB，求出∠DEA＝∠DAE，即可求出DE＝AD＝3，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，AB＝5， ∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝3， ∴EC＝CD﹣DE＝5﹣3＝2， 故选：C． 3．（2024春•从江县校级期中）已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB：BC＝2：3，则CD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】设AB＝2x，则BC＝3x，根据平行四边形的对边相等即可得到CD＝AB＝2x，AD＝BC＝3x，然后根据周长即可列方程，求解即可． 【解答】解：∵AB：BC＝2：3， ∴设AB＝2x，则BC＝3x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2x，AD＝BC＝3x， 根据题意得：3x+3x+2x+2x＝20， 解得：x＝2， 则CD＝2x＝4． 故选：A． 4．（2024春•红花岗区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的对边平行得∠DAC＝∠BCA，由角平分线的性质得∠DAC＝∠BAC，即可知∠BCA＝∠BAC，从而得AB＝BC，由菱形的对角线互相垂直且平分得AO＝6、BO＝8且∠AOB＝90°，利用勾股定理得AB＝10，进而解答即可． 【解答】解：设AC，BD交点为O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； ∵四边形ABCD是菱形，且AC＝12、BD＝16， ∴AO＝6、BO＝8，且∠AOB＝90°， ∴AB10， ∴对边之间的距离， 故选：C． 5．（2024春•从江县校级期中）如图，平行四边形ABCD的面积为10．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，图中阴影部分的面积为 　5　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得到阴影部分的面积＝原平行四边形的面积的一半，据此求解即可． 【解答】解：如图，设AP交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴AE∥PF，AF∥EP， ∴四边形AEPF是平行四边形， ∴OA＝OP，OE＝OF， ∴S△AEO＝S△PFO， ∴S阴影S▱ABCD10＝5． 故答案为：5． 利用平行四边形的性质计算角的度数题型03 1．（2024春•红花岗区校级期中）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（　　） A．60° B．90° C．120° D．45° 【分析】首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x＝180，继而求得答案． 【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°， 则x+2x＝180， 解得：x＝60， ∴其中较小的内角是：60°． 故选：A． 2．（2024春•黔东南州期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，则∠C＝（　　） A．130° B．50° C．30° D．120° 【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝130°， 故选：A． 3．（2024秋•兴义市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，若∠DEA＝25°，则∠B＝　130°　 ． 【分析】由▱ABCD中，AE平分∠BAD，∠DEA＝25°，可得∠DEA＝∠BAE＝∠DAE＝25°，∠B＝∠D，则∠D＝180°﹣∠DEA﹣∠DAE，计算求解，进而可得结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∠B＝∠D， ∴∠BAE＝∠DEA＝25°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DEA＝∠BAE＝25°， ∴∠D＝180°﹣∠DEA﹣∠DAE＝130°， ∴∠B＝130°， 故答案为：130°． 熟悉并添加平行四边形的判定条件题型04 1．（2024春•西秀区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论． 【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴A正确； ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴B不正确； ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴C正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴D正确； 故选：B． 2．（2024春•绥阳县期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D 【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题． 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形． 故C不可以判断四边形ABCD是平行四边形； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A可以判断四边形ABCD是平行四边形； C、∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形． 故C不可以判断四边形ABCD是平行四边形； D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故D可以判断四边形ABCD是平行四边形； 故选：A． 3．（2024秋•兴义市期中）下面给出了四组四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5 【分析】由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C：∠D＝4：5：4：5， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：D． 平行四边形的判定证明与性质综合题型05 1．（2024春•沿河县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 2．（2024春•西秀区期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， ∴ED＝BF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BFDE是平行四边形． 3．（2024春•黔东南州期中）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F． （1）请在图中连接AF、CE； （2）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据题意连线即可． （2）根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AD∥BC，再证△AOE≌△COF，可得AE＝CF，即可证得四边形AFCE是平行四边形． 【解答】解：（1）连接AF，CE，如下图所示． （2）四边形AFCE是平行四边形． 理由：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO． 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF． 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 4．（2024春•沿河县期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）当AB＝BC，AC＝24，BC＝15时，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）先由平行线的性质得∠B+∠BCD＝180°，因为∠B＝∠D．得∠D+∠BCD＝180°，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式AH2＝AB2﹣HB2＝152﹣x2，AH2＝AC2﹣HC2＝242﹣（15+x）2，则242﹣（15+x）2＝152﹣x2，解出x＝4.2，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝∠D． ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：过点A作AH⊥BC， 设BH＝x， ∵AB＝BC，AC＝24，BC＝15， ∴在Rt△AHB，AH2＝AB2﹣HB2＝152﹣x2， 在Rt△AHC，AH2＝AC2﹣HC2＝242﹣（15+x）2， 则242﹣（15+x）2＝152﹣x2， 解得x＝4.2， ∴， 则四边形ABCD的面积． 5．（2024春•遵义期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案． 【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（ASA）， ∴OD＝OE， 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴OB⊥AC， ∴平行四边形AECD是菱形， ∵AC＝8， ∴COAC＝4， 在Rt△COD中，由勾股定理得：OD3， ∴DE＝2OD＝6， ∴菱形AECD的面积AC×DE8×6＝24． 6．（2024春•印江县期中）如图，在▱ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AC∥DF，AC＝DF，再证BC＝DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得BD∥CE，则∠DBN＝∠CNB，然后证∠CBN＝∠CNB，得CN＝CB＝6即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ACFD是平行四边形， ∴AC∥DF，AC＝DF， ∵AB＝FE， ∴AC﹣AB＝DF﹣FE， 即BC＝DE， ∴四边形BCED是平行四边形； （2）解：由（1）可知，BC＝DE＝6，四边形BCED是平行四边形， ∴BD∥CE， ∴∠DBN＝∠CNB， ∵BN平分∠DBC， ∴∠DBN＝∠CBN， ∴∠CBN＝∠CNB， ∴CN＝CB＝6， 即CN的长为6． 三角形中位线的性质的应用题型06 1．（2024春•印江县期中）如图，小红想测量池塘两端A，B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC，BC，再分别找出AC，BC的中点D，E，连接DE，现测得DE＝10米，则A，B之间的距离为（　　） A．40米 B．30米 C．20米 D．15米 【分析】由D是AC的中点，E是BC的中点，推断出DE是△ABC的中位线，结合中位线的性质，得到AB的长度． 【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵DE＝10， ∴AB＝2DE＝2×10＝20， 故选：C． 2．（2024春•遵义期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC＝42m，BC＝64m，DE＝26m，则AB等于（　　） A．．42m B．．52m C．．56m D．．64m 【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【解答】解：∵CD＝DA，CE＝EB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝26m， ∴AB＝52m， 故选：B． 3．（2024春•西秀区期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 　　 ． 【分析】延长CD，交AB于点F，证明△FAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到AF＝AC＝6，CD＝DF，进而求出FB，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，延长CD，交AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADF＝∠ADC＝90°， 在△FAD和△CAD中， ， ∴△FAD≌△CAD（ASA）， ∴AF＝AC＝3，CD＝DF， ∵AB＝6， ∴BF＝AB﹣AF＝6﹣3＝3， ∵CD＝DF，CE＝EB， ∴DE是△BFC的中位线， ∴DEFB3， 故答案为：． 1．（2024春•黔东南州期中）两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【分析】分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【解答】解：如图所示： 最多可以拼成3个， 故选：C． 2．（2024春•红花岗区校级期中）如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 　　 ． 【分析】如图，延长EF到点H，使得FH＝EF，连接AH、BH，可得∠CAD＝30°，即可证明△AHE是等边三角形，∠BAH＝45°，由中位线可得GFBH，当BH⊥AH时，BH最小，此时AH＝BH，由勾股定理可得BH＝AH＝2，再次根据勾股定理即可解答． 【解答】解：延长EF到点H，使得FH＝EF，连接AH、BH，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠D＝∠ABC， ∵∠D＝75°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝75°， ∴∠CAD＝∠ACB＝30°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝60°， ∵FH＝EF， ∴△AHE是等边三角形， ∴∠HAE＝60°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠HAE＝105°﹣60°＝45°， ∵G是中点， ∴GFBH， 当BH⊥AH时，BH最小，此时，AH＝BH， ∴（BH）2＝AB2＝42＝16， ∴BH＝AH＝2， 在Rt△AFH中，FHHEAH， ∴AF， 故答案为：． 3．（2024春•罗甸县期中）党的十九大提出乡村振兴战略，要把我们的农村建设得更加美好．现有一个政府工作人员高叔叔居住在D地，他的服务范围是A，B，C，E四个地方，点A，D，B，C，E恰好连接成为如图的三角形．已知DE与BC平行，若D地到A，B两地的距离均为5km，E地到A，C两地的距离相等吗？请说明理由． 【分析】延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF，AF，BE，证明四边形AEBF是平行四边形，得出BF∥AC，BF＝AE，证明四边形BCEF是平行四边形，BF＝CE，即可证明结论． 【解答】解：E地到A，C两地的距离相等．理由： 如图，延长ED到点F，使DF＝DE，连接BF，AF，BE，如图所示： 又∵DA＝DB， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∴BF∥AC，BF＝AE， 又∵DE∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， ∴BF＝CE， ∴AE＝EC， 即E地到A，C两地的距离相等． 4．（2024春•沿河县期中）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点． （1）若DE＝6，则BC＝　12　 ；若∠ACB＝65°，则∠AED＝　65　 °； （2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO． 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴BC＝2DE＝12，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝65°， 故答案为：12，65°； （2）取BO、CO中点G、H，分别连接DG，GH，EH， 则GH∥BC，， ∵DE∥BC，， ∴DE＝GH，DE∥GH， ∴四边形DGHE为平行四边形， ∴DO＝OH＝HC， 即CO＝2DO． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$