第09讲 图形的旋转（4个知识清单+16类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第09讲 图形的旋转 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01判断生活中的旋转现象...................................................................................................................................................3 题型02判断由一个图形旋转而成的图案...................................................................................................................................4 题型03找旋转中心、旋转角、对应点.......................................................................................................................................5 题型04旋转中的规律性问题.......................................................................................................................................................8 题型05根据旋转的性质求解......................................................................................................................................................11 题型06根据旋转的性质说明线段或角相等..............................................................................................................................15 题型07旋转的性质及辨析..........................................................................................................................................................19 题型08画旋转图形......................................................................................................................................................................23 题型09求旋转对称图形的旋转角度..........................................................................................................................................25 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标....................................................................................................................................26 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标................................................................................................................29 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标..............................................................................................................................32 题型13坐标与旋转规律问题......................................................................................................................................................36 题型14线段问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................37 题型15角度问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................45 题型16其他问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................50 分层练习........................................................................................................................................................................................56 夯实基础........................................................................................................................................................................................56 能力提升........................................................................................................................................................................................73 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等．　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等． （2） 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型01判断生活中的旋转现象 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 2．（八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 题型02判断由一个图形旋转而成的图案 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型03找旋转中心、旋转角、对应点 5．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 6．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了，小明的位置也从点A运动到了点，则旋转中心是点 ，旋转角是∠ = °．    7．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，是等边三角形，D是上的一点，按逆时针方向旋转后到的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述旋转后点M转到了什么位置？ (4)图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？ 题型04旋转中的规律性问题 8．（八年级下·广东佛山·期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 题型05根据旋转的性质求解 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 11．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ． 12．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长． 题型06根据旋转的性质说明线段或角相等 13．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 15．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 题型07旋转的性质及辨析 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 17．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 题型08画旋转图形 18．（2023八年级下·全国·专题练习）将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出，并写出点的坐标_______； (2)画出绕点A按顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标_______． 题型09求旋转对称图形的旋转角度 20．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 22．（22-23八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将绕原点O逆时针旋转得到点N，则N的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是 ． 24．（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到，请在图中画出； (2)将绕点A顺时针旋转得到，请在图中画出并连接，直接写出的长． 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 25．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，已知，，将线段绕点按顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标是 ． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标 28．（2023·四川绵阳·一模）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将等边放在平面直角坐标系中，A点坐标，将绕点A顺时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标为 ．    30．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 题型13坐标与旋转规律问题 31．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 题型14线段问题(旋转综合题) 33．（八年级下·陕西榆林·期末）如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    35．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 题型15角度问题(旋转综合题) 36．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 37．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 题型16其他问题(旋转综合题) 38．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 39．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 夯实基础 一、单选题 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ）        A． B． C． D． 3．如图是几种马车轮毂（毂：指车轮中心的圆木）的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（    ） A．  B．   C．   D． 4．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．65° 7．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）    A．10° B．20° C．50° D．70° 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 10．如图所示，△ABC与△A′B′C′是全等三角形，那么△A′B′C′可以看作是由△ABC以O为旋转中心，旋转 度形成的． 11．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 度． 12．如图，在四边形中，，将绕点逆时针旋转至，连接，若，，则的面积是 ．    13．如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是 ． 14．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，当时， ． 三、解答题 15．把一个三角形进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果； （2）改变三角形的形状，看看旋转的效果． 16．请利用图中的基本图案,通过平移、旋转、轴对称,在方格纸中设计一个美丽的图案. 17．如图所示，绕点B旋转得到，，，求的度数． 18．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求： （1）旋转中心； （2）旋转角度数； （3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？ （4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度； （5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度． 19．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上． （1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图； （2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图． 20．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；    线段的对应线段是线段_________，所以_________； 线段的对应线段是线段_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 旋转中心是点_________； 旋转的方向是_________； 旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________； 的中点的对应点是_________的中点； 与的关系是_________． 能力提升 一、单选题 21．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（　　）    A． B． C． D． 22．如图所示，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数是（    ） A．46° B．48° C．50° D．52° 二、填空题 23．如图，在中，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 24．如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 三、解答题 25．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：PB＝QC； （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 26．如图（1），点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C． （1）在图（1）中画出旋转后的图形． （2）小明是这样做的：如图（2），过点C画的平行线l，在l上取，连接，则即为旋转后的图形．你能说说小明这样做的道理吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 图形的旋转 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01判断生活中的旋转现象...................................................................................................................................................3 题型02判断由一个图形旋转而成的图案...................................................................................................................................4 题型03找旋转中心、旋转角、对应点.......................................................................................................................................5 题型04旋转中的规律性问题.......................................................................................................................................................8 题型05根据旋转的性质求解......................................................................................................................................................11 题型06根据旋转的性质说明线段或角相等..............................................................................................................................15 题型07旋转的性质及辨析..........................................................................................................................................................19 题型08画旋转图形......................................................................................................................................................................23 题型09求旋转对称图形的旋转角度..........................................................................................................................................25 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标....................................................................................................................................26 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标................................................................................................................29 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标..............................................................................................................................32 题型13坐标与旋转规律问题......................................................................................................................................................36 题型14线段问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................37 题型15角度问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................45 题型16其他问题(旋转综合题)...................................................................................................................................................50 分层练习........................................................................................................................................................................................56 夯实基础........................................................................................................................................................................................56 能力提升........................................................................................................................................................................................73 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： ①对应点到旋转中心的距离相等．　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等． （2） 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 题型01判断生活中的旋转现象 1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意； B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意； C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意； D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意； 故选：C． 2．（八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【答案】不一样 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】根据平移和旋转的性质判断即可； 【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键． 题型02判断由一个图形旋转而成的图案 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【知识点】图形的全等、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】图形的平移、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 题型03找旋转中心、旋转角、对应点 5．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，      即旋转中心为M点． 故选：A． 6．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了，小明的位置也从点A运动到了点，则旋转中心是点 ，旋转角是∠ = °．    【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． 由题意得到点和点是对应点，旋转中心是点，根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：∵小明的位置也从点运动到了点， ∴点和点是对应点， ∴旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，是等边三角形，D是上的一点，按逆时针方向旋转后到的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述旋转后点M转到了什么位置？ (4)图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？ 【答案】(1)旋转中心是点 (2) (3)点转到了的中点 (4)详见解析 【知识点】等边三角形的性质、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质—不变性质，等边三角形的性质，关键在于明确旋转中心、旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是，就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后、是对应边，故的中点，旋转后就是的中点了； （4）根据等边三角形的性质，旋转的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）线段旋转后，对应边是，就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴旋转了； （3）旋转前后，是对应边，故的中点，旋转后就是的中点了， ∴点转到了的中点． （4）相等的线段：，，，， 相等的角：，，． 题型04旋转中的规律性问题 8．（八年级下·广东佛山·期末）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】旋转中的规律性问题 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期． 9．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【知识点】平移(作图)、旋转中的规律性问题、根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 题型05根据旋转的性质求解 10．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．当、、、四点在同一直线上时，最小．即可求解； 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小． ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 中，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 11．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则的度数是 ． 【答案】/40度 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，由题意得：，推出，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： 12．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】二次根式的除法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴在中，． 题型06根据旋转的性质说明线段或角相等 13．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是正三角形内的一点，且，，．若将绕点A逆时针旋转后，得到，则点P与之间的距离为 ， ． 【答案】 6 /150度 【知识点】等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】连接，得出为等边三角形，进而可求出点P与之间的距离；根据，，，判定为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵绕点A逆时针旋转后，得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：6；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理，作辅助线构造三角形是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型07旋转的性质及辨析 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、旋转的性质及辨析 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 17．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．    (1)求点D的坐标； (2)点E是线段上一动点，直线与x轴交于点F． （i）若的面积为8，求点F的坐标； （ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、旋转的性质及辨析 【分析】（1）将，代入求出解析式即可； （2）（i）设点，分类讨论当点在x轴的正半轴和负半轴的情况，根据即可求解；（ii）作轴，交轴于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得： ∴ 当时， ∴ （2）解：设点 （i）①当点在x轴的正半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ ②当点在x轴的负半轴时，如图所示：   ， ∴， 解得： ∴ 综上所述：或 （ii）作轴，交轴于点，如图所示：    ∵轴 ∴ ， ∵将直线绕点B逆时针旋转后的直线与线段交于点M， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题．正确作出辅助线，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 题型08画旋转图形 18．（2023八年级下·全国·专题练习）将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画旋转图形 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的图形如图， 故选:B． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转不改变图形的大小与形状，对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角是解题关键． 19．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出，并写出点的坐标_______； (2)画出绕点A按顺时针方向旋转后的，并写出点的坐标_______． 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移规律找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答． （2）根据旋转性质找到点，再依次连接，得出，读取点的坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ∴点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示： 点的坐标为． 故答案为：． 题型09求旋转对称图形的旋转角度 20．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题中确定旋转角的方法是需要掌握的内容．观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度． 【详解】解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度． 故选：C． 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 题型10求绕原点旋转90度的点的坐标 22．（22-23八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将绕原点O逆时针旋转得到点N，则N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标．如图，根据旋转的性质把线段绕点O逆时针旋转到位置，然后根据y轴上点的坐标特征确定N点的坐标即可． 【详解】解：如图，点绕原点O逆时针旋转，得到的N点的坐标为， 故选：B． 23．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变换－旋转．根据旋转的性质，画出图形，数形结合即可解答． 【详解】解：如图，， 点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标是， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到，请在图中画出； (2)将绕点A顺时针旋转得到，请在图中画出并连接，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，3 【知识点】用勾股定理解三角形、平移(作图)、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换与旋转变换、勾股定理． （1）根据题意，找到点的位置，再连线即可； （2）根据旋转的性质作图，利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． 题型11求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 25．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 26．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，已知，，将线段绕点按顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了点坐标的旋转变换、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．如图（见解析），证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，． 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 题型12求绕原点旋转一定角度的点的坐标 28．（2023·四川绵阳·一模）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 29．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将等边放在平面直角坐标系中，A点坐标，将绕点A顺时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】如图所示，过点B作于H，先由等边三角形的性质得到，，再由旋转的性质得到，进而证明，再求出的长即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作于H．    ∵，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 30．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接、、C即可； （2）先根据平移后的坐标为，确定平移的方式，再找出平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵平移，A的对应点的坐标为，， ∴向右平移3个单位，向下平移6个单位， ∵，， ∴，， ∴如图所示； （3）解：如图，连接、交于点P，点P即为所求 题型13坐标与旋转规律问题 31．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到，进而利用勾股定理得到，再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为， ∵． ∴三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合． ∵， ∴三角形(2020)的直角顶点的坐标是， 故答案为：． 题型14线段问题(旋转综合题) 33．（八年级下·陕西榆林·期末）如图，点到等边三角形的顶点，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质 【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值． 【详解】解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD， 则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图， ∵△ABC为等边三角形ABC， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△DAC和△PAB中， ， ∴△DAC≌△PAB（SAS）， ∴DC＝PB， ∵DA＝PA，, ∴为等边三角形， ∴, 而PB＝2，PA＝1， ∴DC＝2， ∵PC≤DP＋DC， ∴PC≤3， 所以PC所能达到的最大值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． 34．（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 35．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2)，仍然成立，理由见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、线段问题(旋转综合题) 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． (1)证明，，，则可得出结论； (2) 延长至点G，使，连接，如图，证明，得出，，证明得到，，则可得出结论； (3)分两种情况，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ． ∵点F是线段中点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：，； （2），仍然成立． 理由：延长至点G，使，连接，如图， ∴F是的中点， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ∵将图1中的绕点C逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 仍然成立． ，， ， ， ． （3）如图，当点E在的延长线上时，延长，使，连接， 由可知，，, ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； 当点E在线段上时，延长，使,连接， 同理可得出四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与、之间的数量关系是或． 题型15角度问题(旋转综合题) 36．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度问题(旋转综合题) 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 37．（22-23八年级下·四川成都·期末）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【知识点】角度问题(旋转综合题)、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以； （2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以； （3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即． 【详解】（1）解：时，点P落在上， 等腰直角中，， ∴ ∴ （2）解：如图，延长到点F，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ ∴    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ （3）解：分两种情况：①当点P在内部 如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，    ∵ ∴， 中， ∴ 由（2）推证知 ∴ 又， ∴ ∴ 又 ∴中 ， ∴ ②当点P在外部 如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H    ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 综上，或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊直角三角形，勾股定理，注意动态问题的分类讨论，添加辅助线构造全等三角形，寻求线段之间的关系是解题的关键． 题型16其他问题(旋转综合题) 38．（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】其他问题(旋转综合题)、等边对等角 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 39．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、其他问题(旋转综合题) 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 2．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据，可以求出的度数． 【详解】∵绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵ ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键． 3．如图是几种马车轮毂（毂：指车轮中心的圆木）的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（    ） A．  B．   C．   D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，求出旋转角的判断求解，掌握旋转的有关知识点是解题的关键． 【详解】解：、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； 、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意； 、此图案绕中心旋转的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意； 、此图案不是旋转对称图形，此选项不符合题意； 故选：． 4．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知，， ∴正方形的面积＝四边形的面积， ∴，， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 5．如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长． 【详解】解：∵旋转性质可知，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．65° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC′=AC，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答． 【详解】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°－2∠ACC′=180°－2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50° 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 7．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）    A．10° B．20° C．50° D．70° 【答案】B 【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数. 【详解】解：∵要使木条a与b平行， ∴∠1=∠2， ∴当∠1需变为50 º， ∴木条a至少旋转：70º-50º=20º. 故选B. 【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角. 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据60°的菱形的性质得到OB长，再根据旋转的性质和解直角三角形得到OP，P，OP长，结合图形从而得到点的坐标； 【详解】如图1，连接OA，∵，点O为菱形ABCD中BC边的中点，∴，，∴，∴，由旋转的性质可知，，在中，，，∴，∴点的坐标为，故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标由图形的性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键 二、填空题 9．与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 10．如图所示，△ABC与△A′B′C′是全等三角形，那么△A′B′C′可以看作是由△ABC以O为旋转中心，旋转 度形成的． 【答案】180 【详解】根据全等三角形的对应关系，可知A与A′是一对对应点，则可知旋转了180°． 故答案为180． 【点睛】此题主要考查了旋转变化的辨别，解题关键是根据全等三角形确定对应点，从而知与旋转中心构成的角度即可求解，比较简单． 11．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 度． 【答案】15 【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数． 【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD， ∴△CBD是等腰三角形， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°， ∴∠BDC＝（180°﹣∠CBD）÷2＝15°． 故答案为15． 【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可． 12．如图，在四边形中，，将绕点逆时针旋转至，连接，若，，则的面积是 ．    【答案】12 【分析】过点D作，过点E作交的延长线于点F，根据条件即可求出，根据旋转性质可得，即可求出． 【详解】解：过点D作，过点E作交的延长线于点F，如图，    则， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线和掌握旋转图形是全等图形是解题的关键． 13．如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，，然后由三角形的内角和可求出，进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴，， 在 中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，当时， ． 【答案】 【分析】设CD=x， 由B'C'∥/AB， 可推得∠BAD=∠B'， 由旋转的性质得：∠B=∠B'， 于是得到∠ BAD=∠B，AC=AC'=3，AD=BD=4-x，在直角△ADC中，由勾股定理可求得结论. 【详解】设CD=x， ∵B'C'/AB， ∴∠BAD=∠B'， 由旋转的性质得：∠B=∠B'，AC=AC'=3， ∴∠BAD=∠B， ∴AD=BD=4-x， ∴(4-x)2=x2+32， 解得：x=， 故答案为：x= 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，能够证得∠BAD=∠B， AD=BD，构造直角三角形是解题的关键. 三、解答题 15．把一个三角形进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，看看旋转的效果； （2）改变三角形的形状，看看旋转的效果． 【答案】见解析. 【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可． 【详解】解：（1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，会出现不同的效果.如图1，以B点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转，得到，以点C为旋转中心，把△ABC顺时针旋转，得到. （2）改变三角形的形状，会出现不同的旋转效果.如图2，以点O为旋转中心，分别把△AOB和△AOC逆时针旋转，将得到△EOA和△EOD. 【点睛】本题考查的是旋转的定义，掌握旋转中心、旋转角、旋转方向对旋转图形的影响是解题关键. 16．请利用图中的基本图案,通过平移、旋转、轴对称,在方格纸中设计一个美丽的图案. 【答案】答案不唯一 【分析】根据平移，旋转，轴对称的作图要求设计一个图案即可，答案不唯一. 【详解】 【点睛】此题重点考查学生对图形变化的理解，掌握图形的对称，平移，旋转是解题的关键. 17．如图所示，绕点B旋转得到，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，先由旋转的性质得到，则由全等三角形的性质得到，．再证明，利用平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求出即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ，． ，即． ， ． 在中，， ， ． ． 18．如图：若∠AOD=∠BOC=60°，A、O、C三点在同一条线上，△AOB与△COD是能够重合的图形．求： （1）旋转中心； （2）旋转角度数； （3）图中经过旋转后能重合的三角形共有几对？若A、O、C三点不共线，结论还成立吗？为什么？ （4）求当△BOC为等腰直角三角形时的旋转角度； （5）若∠A=15°，则求当A、C、B在同一条线上时的旋转角度． 【答案】（1）旋转中心是点O； （2旋转角度数是60°； （3）△BOE与△COF不一定重合，结论不一定成立，理由见解析； （4）旋转角度为：90°， （5）旋转角度为120°． 【详解】试题分析:(1) △AOB与△COD是能够重合的图形,根据旋转的性质,即可求解, (2)根据旋转的性质,得出旋转角的度数, (3)根据旋转的性质得出能够重合的三角形, (4)当△BOC为等腰三角形时,所以∠BOC=∠AOD=90°,根据旋转的性质,即可解答, (5)根据旋转的性质即可解答. 试题解析: （1）∵△AOB与△COD是能够重合的图形, ∴旋转中心是点O, （2）根据题意得:旋转角是∠AOD或∠BOC, ∴旋转角度数是60°, （3）经过旋转后能重合的三角形有△AOB与△DOC,△AOE与△DOF,△BOE与△COF共三对, 若A,O,C三点不共线,△AOE与△DOF,△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立, ∵若A,O,C三点不共线,∠DOB≠60°, ∴∠AOD=∠BOC=60°≠∠DOB, ∴△BOE与△COF不一定重合,结论不一定成立, （4）∵△BOC为等腰直角三角形, ∴∠BOC=∠AOD=90°, ∴旋转角度为:90°, （5）∵180°﹣∠BOC=180°﹣60°=120°, ∴旋转角度为120°. 19．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上． （1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图； （2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】根据题意作图，答案不唯一． 【详解】解：（1）作图如下： （2）作图如下： 20．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；    线段的对应线段是线段_________，所以_________； 线段的对应线段是线段_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 旋转中心是点_________； 旋转的方向是_________； 旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________； 的中点的对应点是_________的中点； 与的关系是_________． 【答案】见解析 【分析】根据题意旋转性质点的对应点是点，线段的对应线段是线段；线段的对应线段是线段；的对应角是；的对应角是；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，与的关系是全等． 【详解】解：是由绕点按逆时针方向旋转得到的，点的对应点是点， 线段的对应线段是线段，所以；线段的对应线段是线段，所以；的对应角是，所以；的对应角是，所以；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，写出一个等于此角度的角：；的中点的对应点是的中点；与的关系是全等． 故答案为：，，，，，，，，，，逆时针，  ，（或），，全等． 【点睛】本题考查了旋转的基本概念，注意旋转前后的图形全等是解答本题的关键． 能力提升 一、单选题 21．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， ，， ∴，即旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键． 22．如图所示，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数是（    ） A．46° B．48° C．50° D．52° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数． 【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上， ∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′， ∴∠C＝∠AC′C， ∵∠C＝65°， ∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°， ∴∠B′C′B＝180°−∠AC′B′−∠AC′C＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 二、填空题 23．如图，在中，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：设，则，当时，如图①，由题意得，在中，，即，解得，即；当时，如图②，作交延长线于点，由旋转的性质知，又，，，，，在中，，即，整理得，解得，则．综上所述，的长为或． 解题通法 图形形状不确定时，需分类讨论 （1）遇“等腰三角形的底边和腰不确定时”，要分类讨论：①，②，③． （2）遇“的直角顶点不确定时”，要分类讨论：①点为直角顶点，②点为直角顶点，③点为直角顶点． （3）遇“以为顶点的四边形为平行四边形”时，要分类讨论：①为对角线，②为对角线，③为对角线． 24．如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合等腰三角形的性质和平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， 当点在点的左侧时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当时，的度数为或． 三、解答题 25．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：PB＝QC； （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案； （2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC， ∴∠BAP=∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中 ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴PB=QC； （2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°， ∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC， ∴QC=4， ∴△PQC是直角三角形， ∴PC==5． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理 .证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键 . 26．如图（1），点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C． （1）在图（1）中画出旋转后的图形． （2）小明是这样做的：如图（2），过点C画的平行线l，在l上取，连接，则即为旋转后的图形．你能说说小明这样做的道理吗？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）证明即可证明； 【详解】（1）如图，为所作； ； （2）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴即为旋转后的图形． 【点睛】本题主要考查了作图旋转变换和三角形全等的判定与性质，准确分析证明是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$