专题02 一元函数的导数及其应用（7大经典基础题型+3大优选提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题二 一元函数的导数及其应用 题型1 变化率问题 1、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 【答案】．C 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：C. 题型2 导数的定义 2、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则可得，即可根据导数的定义求解. 【详解】由题意知，所以，所以. 故选:B. 3、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 4、（2024下·海南州·高二期中）已知，则函数在处的导数为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 5、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C 题型3 导数的运算 6、（2024下·西宁市·高二期中）函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 7、（2024下·西宁市·高二期中）若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：A. 8、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 9、（2024下·海南州·高二期中）设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数值直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：A. 10、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为，可得， 所以，解得. 故选：C. 11、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案. 【详解】，则， 令得,，解得， 则，将代入上式得. 故选：C 12、（2024下·西宁市·高二期中）已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：B. 13、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】按照导数与复合函数的求导的运算法则一一判断即得. 【详解】对于A项，因，则，故A项错误； 对于B项，由求导得，， 当时，，解得，故B项正确； 对于C项，由求导得，，故C项正确； 对于D项，由，求导得，，故D项错误. 故选：BC. 14、（多选）（2024下·海南州·高二期中）下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合已知条件，结合导数的求导法则，即可求解. 【详解】若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D正确， 故选：CD． 15、（多选）（2024下·海南州·高二期中）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 16、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项，利用复合函数的求导法则可判断BD选项. 【详解】，，， ，故AD错误，BC正确. 故选：BC. 17、（2024下·西宁市·高二期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】BD 【分析】由基本函数的导数公式求出各项的导数后，再逐项代入判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，令，所以，故B正确； C：，所以，故C错误； D：，故D正确； 故选：BD. 18、（2024下·海南州·高二期中）函数的导函数满足关系式，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数两边求导，然后赋值，解得代入即可求解. 【详解】由，函数两边求导得：， 令，则，所以 代入函数得：． 故答案为： 19、（2024下·西宁市·高二期中）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（，且）； 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】直接根据导数的运算法则计算即可． 小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 ，. 【小问4详解】 ，. 【小问5详解】 ，. 题型4 曲线的切线问题 20、（2024下·西宁市·高二期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数的几何意义得，曲线在某点处的导函数值即是在该点处的切线斜率，进而可求解. 【详解】因为，所以， 将代入可得切线斜率为. 故选：D. 21、（2024下·海东市·高二期中）函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 22、（2024下·西宁市·高二期中）若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ） A. –1 B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导解方程即得解. 【详解】由题得，所以. 故选：C 23、（2024下·西宁市·高二期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． －4 B．－3 C．4 D．3 【答案】．D 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 24、（2024下·西宁市·高二期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据题意可得，从而求得. 【详解】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 25、（2024下·海南州·高二期中）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围. 【详解】， ∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 26、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】设切点为，又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 所以，整理得，解得或， 即切线方程为或． 故选：BC． 27、（2024下·海南州·高二期中）曲线在处的切线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由 则，所以，， 所以在处的切线方程为， 即. 故答案为： 28、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性求出再利用导数的几何意义求解斜率，最后点斜式写出直线方程. 【详解】由题意函数为奇函数可知 所以，所以， 则函数可化， 则， 则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1. 所以曲线在点处的切线方程为 故答案为: . 题型5 函数的单调性与极值、最值 29、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案． 【详解】解：的定义域为R， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以是的极小值点， 故选：B． 30、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 31、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 32、（2024下·海南州·高二期中）函数在时有极小值0，则（ ） A 4 B. 6 C. 11 D. 4或11 【答案】C 【解析】 【分析】求导后，由已知得到，解出，再代入导数得到单调性检验，最后得出结果. 【详解】， 因为在时有极小值0， 所以， 解得或， 当时，恒成立， 所以在上单调递增，没有极值，舍去； 当时，， 令，解得或， 所以当时，为单调递减函数； 当或时，为单调递增函数； 所以在处取得极小值，满足题意， 所以， 故选：C. 33、（多选）（2024下·海南州·高二期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极大值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案. 【详解】由的图象可知： 当时，，单调递减，故A正确； 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B错误； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，故C正确； 由于在上单调递增，所以在没有取得极大值，故D错误. 故选：AC. 34、（多选）（2024下·海东市·高二期中）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 35、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象位于轴下方 B. 有且仅有一个极值点 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可. 【详解】当时，，，所以，故A正确； 由题意知，， 令，在恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 所以，使得，即， 所以当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误； 所以，故D错误， 故选:AB. 36、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】AD 【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点. 【详解】由图可知当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，故A正确，B错误， 则在处取得极大值，处取得极小值， 即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确. 故选：AD 37、（多选）（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，，故A错误，B正确； 因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故C错误； 因，， 所以在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 38、（2024下·西宁市·高二期中）函数的极大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数求函数的极大值即可. 【详解】由，则， 令，解得或， 则当，时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 则当时，函数取得极大值， . 故答案为： 39、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的极大值为5，则实数___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导函数，然后求出函数的单调区间，根据函数的极值定义即可求得函数的极大值，从而即可得出答案. 【详解】解：由，则， 当时，，当或时，， 所以函数在上递增，在和上递减， 所以当时，函数取得极大值，为， 所以. 故答案为：1. 40、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求函数的导数，再判断给定区间函数的单调性，从而求得函数的最小值. 【详解】因为，则，， 令，解得，令，解得， 则函数上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为：． 41、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． （1）当时，求； （2）当时，求的极值． 【答案】（1）5 （2）极大值为10，极小值为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，进而求得的值； （2）根据题意，求得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 当时，； 【小问2详解】 解：当时，，可得 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以的极大值为， 极小值为． 42、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间． 【答案】(1)； (2)增区间为，减区间为. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）求出函数的导数，解导数值大于0，小于0的不等式即得. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程是. （2）由（1）知，的定义域为R，求导得， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为；单调递减区间为. 43、（2024下·海南州·高二期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 【答案】（1）单调递增区间和，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为0． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间； （2）由单调性得极值点，计算得极值． 【小问1详解】 的定义域为， ，令，解得或， 令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又，， 所以的极大值为，极小值为0． 44、（2024下·海南州·高二期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，于是，求导得， 所以，所以所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 45、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即得. （2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此，，当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以函数在区间上的最小值是. 46、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间及极值; (2)求函数在上的最大值. 【答案】．(1)时，单调递增，时，单调递减，极大值为无极小值. (2) 【分析】（1）求导，求出，的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）结合（1）的结论判断函数在上的单调性，计算极值以及端点处的函数值，可得答案. 【详解】（1）当时，.. 又 令，则，即时，单调递增. 令，则，即时，单调递减. 当时，有极大值为无极小值. （2） 当在单调递增， ， 当 在上单调递增，上单调递减， ①，即在上单调递增，， ②，即在上单调递增，上单调递减， ， 综上: . 47、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 48、（2024下·海东市·高二期中）已知函数在处取得极值7. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）的单调增区间是，，单调减区间是； （2），. 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点可得解出系数可得函数解析式，利用导数求单调区间； （2）利用函数单调性求区间上的最值. 【小问1详解】 ， 因为函数在处取得极值7，所以 解得 所以，， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间是，，单调减区间是； 【小问2详解】 由（1）得，单调递增，，单调递减，，单调递增， ，， ，， 所以，. 49、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数，求在上的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性与函数导函数正负性的关系进行求解即可； （2）利用导数的性质判断函数的单调性，根据函数的单调性进行求解即可. 小问1详解】 因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为，所以. 由，得或；由，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，，， 所以在上的值域为. 题型6 由函数性质求参数的取值范围 50、（2024下·海南州·高二期中）函数，若在是减函数，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解． 【详解】函数， 若函数在区间上是减函数，则在恒成立， 即在恒成立， 由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以. 故选：C. 51、（2024下·西宁市·高二期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 52、（2024下·海南州·高二期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参. 【详解】由，可得． ①当时，，此时函数单调递减， 所以当时，函数在区间内存在单调递减区间. ②当时，令，可得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为， 若函数在区间内存在单调递减区间， 只需，得. 综上所述，． 故选：C 53、（2024下·西宁市·高二期中）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 54、（2024下·西宁市·高二期中）设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可. 【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数， ∴恒成立； ∴，， ∵，， ，当且仅当时取等号. ∴， ∴，即：k的取值范围是． 故答案为：. 55、（2024下·西宁市·高二期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 56、（2024下·海东市·高二期中）已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围. 【详解】由题得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数． 又恒成立，所以函数在上单调递增； 不等式等价于， 所以，即，解得． 所以实数t的取值范围为． 故答案为： 57、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为； （2）. 【解析】 【分析】(1)求f(x)的定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f(x)的单调区间； (2)参变分离不等式，构造函数，利用导数求F(x)的最大值即可得a的范围. 【小问1详解】 时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 58、（2024下·海南州·高二期中）已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解； （2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立， 所以，易知在上单调递减，故， 所以. 【小问2详解】 因为，使得，所以能成立， 则能成立，又，故能成立， 令，则，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，则在单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 故，即实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别： 恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． 59、（2024下·海东市·高二期中）已知函数． （1）若，证明：： （2）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明， （2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解． 【小问1详解】 证明：若， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故； 【小问2详解】 不妨设，所以，即， 所以函数在上单调递增， 令在上恒成立， 令． 当时，在上恒成立，又，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此种情况无解， 当时，在上单调递增，， 在上恒成立， 综上所述，的取值范围为． 60、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解； （2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立， 所以，易知在上单调递减，故， 所以 【小问2详解】 因为，使得，所以能成立， 则能成立，又，故能成立， 令，则，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以， 故，即实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别： 恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． 题型7 导数的应用 61、（多选）（2024下·海南州·高二期中）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ） A. 比节能效果好 B. 的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C. 两学校节能效果一样好 D. 与自节能以来用电量总是一样大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项. 【详解】由图象可知，对任意的， 曲线在处切线比曲线在处的切线要“陡”， 所以比节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，， 则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确； 由于曲线和曲线不重合，D选项错误． 故选：AB 62、（2024下·西宁市·高二期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 【答案】(1) (2)当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）分、两段分别求出函数解析式，即可得解； （2）结合（1）中函数解析式，利用导数求出函数在上的最大值，利用基本不等式求出函数在上的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意当时，， 当时，， 综上可得. （2）①当时，， 则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以当时，取最大值，且. ②当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元. 题型1 函数零点与交点问题 63、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数图象下图所示.下列关于的命题正确的是（ ） x －1 0 2 4 5 1 2 1 2 1 A. 的极大值点为0，4 B. 当时，函数有4个零点 C. 在上是减函数 D. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4个 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合导函数的图象分析函数的单调性，结合特殊点的函数值，可画出函数草图，数形结合，可判断个选项的真假. 【详解】由的图象，可知在，上单调递增，在，上单调递减，结合特殊点的函数值，刻画出函数草图如下： 可知：函数的极大值点为0，4，故A正确； 当时，函数有4个零点，故正确； 在上是减函数，故正确； 函数的零点个数可能为0（或），2（），3（），4（），不可能只有1个根，故错误. 故选： 64、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解； （2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由已知可得，则， 因函数在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 又因为函数在上为增函数， 则，解得，故实数的最小值为. 【小问2详解】 解：，令，可得， 因为函数的图象与有且只有一个交点， 令，则函数的图象与直线只有一个公共点， 则，令，解得或，令，解得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为， 的图象如下所示：    由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 65、（2024下·西宁市·高二期中）已知为实数，时函数的1个极值点． （1）求实数的值； （2）若直线与函数的图象有三个交点，求的取值范围． 【答案】（1）16；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出，是函数一个极值点，由可得答案； （2），求出利用导数得到函数的单调区间， 转化为直线与函数的图象有且仅有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】（1）∵函数， ∴， ∵是函数的一个极值点， ∴，得，得； （2）当时，，， 当时，可得或者； 当时，可得； ∴函数的单调增区间为：，； 函数的单调减区间为：； 直线与函数的图象有且仅有3个交点， ，， 由（2）知在时取极大值，在时取极小值， 画出的图象： 直线与函数的图象有且仅有3个交点， ∴直线必须在直线和直线之间， ∴， 即． 题型2 函数中的恒成立问题 66、（2024下·海东市·高二期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 题型3 导数中的构造函数问题 67、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】不妨设，由，得， 令，所以在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即，所以， 即的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键由变形为，然后通过构造新，利用导数的性质进行求解. 68、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可. 69、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解； （2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解； ②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为， ， 当时，对任意的，在上恒成立不恒为零， 故在上单调递减； 当时，令，则，解得， 当时，； 当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上， 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①由题知，， 函数的定义域为，， 当时，对任意的，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，令，解得，，则， 当时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为． 综上，当时，有两极值点； ②由①可知，，， 所以， 设，，其中， 所以， 又因为，可知， 所以在上单调递减． ∴，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二 一元函数的导数及其应用 题型1 变化率问题 1、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 题型2 导数的定义 2、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则（ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 3、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4、（2024下·海南州·高二期中）已知，则函数在处的导数为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 题型3 导数的运算 6、（2024下·西宁市·高二期中）函数的导函数是（ ） A. B. C. D. 7、（2024下·西宁市·高二期中）若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 8、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 9、（2024下·海南州·高二期中）设，若，则（ ） A. B. C. D. 10、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 11、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 12、（2024下·西宁市·高二期中）已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 13、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14、（多选）（2024下·海南州·高二期中）下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15、（多选）（2024下·海南州·高二期中）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 16、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 17、（2024下·西宁市·高二期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 18、（2024下·海南州·高二期中）函数的导函数满足关系式，则_____________． 19、（2024下·西宁市·高二期中）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（，且）； 题型4 曲线的切线问题 20、（2024下·西宁市·高二期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．0 B． C． D． 21、（2024下·海东市·高二期中）函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 22、（2024下·西宁市·高二期中）若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ） A. –1 B. C. 0 D. 1 23、（2024下·西宁市·高二期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． －4 B．－3 C．4 D．3 24、（2024下·西宁市·高二期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 25、（2024下·海南州·高二期中）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 26、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）过点且与曲线相切的直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 27、（2024下·海南州·高二期中）曲线在处的切线方程是________. 28、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______． 题型5 函数的单调性与极值、最值 29、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的极小值点为（ ） A. B. C. D. 30、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 31、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 32、（2024下·海南州·高二期中）函数在时有极小值0，则（ ） A 4 B. 6 C. 11 D. 4或11 33、（多选）（2024下·海南州·高二期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极大值 34、（多选）（2024下·海东市·高二期中）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 35、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象位于轴下方 B. 有且仅有一个极值点 C. 有且仅有两个极值点 D. 存在，使得 36、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数在上为增函数B．函数在上为增函数 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 37、（多选）（2024下·海南州·高二期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 38、（2024下·西宁市·高二期中）函数的极大值是______． 39、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的极大值为5，则实数___________. 40、（2024下·海南州·高二期中）已知函数，，则的最小值为______. 41、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． （1）当时，求； （2）当时，求的极值． 42、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间． 43、（2024下·海南州·高二期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）求的极值． 44、（2024下·海南州·高二期中）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 45、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 46、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间及极值; (2)求函数在上的最大值. 47、（2024下·海南州·高二期中）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 48、（2024下·海东市·高二期中）已知函数在处取得极值7. （1）求的单调区间； （2）求在上的最值. 49、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数，求在上的值域. 题型6 由函数性质求参数的取值范围 50、（2024下·海南州·高二期中）函数，若在是减函数，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 51、（2024下·西宁市·高二期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 52、（2024下·海南州·高二期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 53、（2024下·西宁市·高二期中）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 54、（2024下·西宁市·高二期中）设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______． 55、（2024下·西宁市·高二期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 56、（2024下·海东市·高二期中）已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________． 57、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 58、（2024下·海南州·高二期中）已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a的取值范围. 59、（2024下·海东市·高二期中）已知函数． （1）若，证明：： （2）若，都有，求实数的取值范围． 60、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数. （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，使得，求实数a取值范围. 题型7 导数的应用 61、（多选）（2024下·海南州·高二期中）两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ） A. 比节能效果好 B. 的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小 C. 两学校节能效果一样好 D. 与自节能以来用电量总是一样大 62、（2024下·西宁市·高二期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 (1)写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少? （注：年利润年销售收入-年总成本） 题型1 函数零点与交点问题 63、（多选）（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数图象下图所示.下列关于的命题正确的是（ ） x －1 0 2 4 5 1 2 1 2 1 A. 的极大值点为0，4 B. 当时，函数有4个零点 C. 在上是减函数 D. 函数的零点个数可能为0，1，2，3，4个 64、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 65、（2024下·西宁市·高二期中）已知为实数，时函数的1个极值点． （1）求实数的值； （2）若直线与函数的图象有三个交点，求的取值范围． 题型2 函数中的恒成立问题 66、（2024下·海东市·高二期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型3 导数中的构造函数问题 67、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 68、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______. 69、（2024下·西宁市·高二期中）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$