专题01 数列（11大经典基础题型+4大优选提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题一 数列 题型1 数列的定义 1、（2024下·海南州·高二期中）下列说法正确的是（ ） A. 数列与是相同的 B. 数列可以表示为 C. 数列与是相同的数列 D. 数列的第项为 题型2 数列的通项公式 2、（2024下·海西州·高二期中）已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 题型3 等差数列的定义 3、（2024下·海南州·高二期中）下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 题型4 等差数列的性质 4、（2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 题型5 等差数列的通项公式 6、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列中，，公差，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7、（2024下·海西州·高二期中）在等差数列中，，公差，则______． 题型6 等差数列的前n项和公式 8、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 180 9、（2024下·海南州·高二期中）设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 10、（多选题）（2024下·海西州·高二期中）设等差数列的前项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 11、（2024下·海西州·高二期中）在等差数列中，已知公差，． （1）判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． （2）求数列的前项和． 题型7 等比数列的通项公式 12、（2024下·海南州·高二期中）已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. 4 D. 13、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，则的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 题型8 等比数列的性质 14、（2024下·海南州·高二期中）在正项等比数列中，，则______． 15、（2024下·海南州·高二期中）设是等比数列，且，，则的值是___________. 16、（2024下·海南州·高二期中）在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 题型9 等比数列的前n项和公式 17、（2024下·海南州·高二期中）等比数列的前n项和，则（ ） A -2 B. C. 0 D. 18、（多选题） （2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 题型10 数列前n项和的性质 19、（2024下·海南州·高二期中）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 20、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 题型11 数列求和 分组求和 21、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 22、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列，是等比数列，且 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 错位相减法 23、（2024下·海南州·高二期中）已知数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 裂项相消法 24、（2024下·海西州·高二期中）若数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 25、（2024下·海南州·高二期中）已知数列是公比为2的等比数列，且. （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和. 题型1 数列的单调性 26、（2024下·海西州·高二期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 27、（2024下·海南州·高二期中）已知单调递减的等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的所有正整数的值. 题型2 数列的最值 28、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 题型3 数列的综合问题 29、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 题型4 数列新文化题 30、（2024下·海南州·高二期中）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “徵､商､羽”的频率成等比数列 B. “宫､徵､商”的频率成等比数列 C. “商､羽､角”的频率成等比数列 D. “宫､商､角”的频率成等比数列 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 数列 题型1 数列的定义 1、（2024下·海南州·高二期中）下列说法正确的是（ ） A. 数列与是相同的 B. 数列可以表示为 C. 数列与是相同的数列 D. 数列的第项为 【答案】D 【解析】 【分析】运用数列的定义、数列及项的表示方法、由通项写出数列的项可判断各个选项. 【详解】对于A项，数列与是不同的，表示数列，而表示数列中的第项，故A项错误； 对于B项，是一个集合，故B项错误； 对于C项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：D. 题型2 数列的通项公式 2、（2024下·海西州·高二期中）已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 题型3 等差数列的定义 3、（2024下·海南州·高二期中）下列数列中成等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C 题型4 等差数列的性质 4、（2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 5、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得到答案. 【详解】由题意得，，可知选项A正确； 又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误． 故选：AC． 题型5 等差数列的通项公式 6、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列中，，公差，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列通项公式计算即得. 【详解】依题意，等差数列通项， 所以. 故选：A. 7、（2024下·海西州·高二期中）在等差数列中，，公差，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式代入计算的答案； 【详解】． 故答案为：. 题型6 等差数列的前n项和公式 8、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得，再利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由，解得， 所以， 故选：C. 9、（2024下·海南州·高二期中）设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1-2（11-1）=0，解得a1=20．故选B 考点：等差数列的性质 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题 10、（多选题）（2024下·海西州·高二期中）设等差数列的前项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n项和公式即可. 【详解】由题意，，解得， 所以，. 故选：BD 11、（2024下·海西州·高二期中）在等差数列中，已知公差，． （1）判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． （2）求数列的前项和． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可． （2）利用等差数列的前项和公式求解即可． 【小问1详解】 等差数列中，公差，， ，， ， 令，，不是数列中的项， 令，，是数列中的项，是第21项 【小问2详解】 题型7 等比数列的通项公式 12、（2024下·海南州·高二期中）已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：D 13、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，则的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和已知条件可得答案. 【详解】设的公比为，所以， 解得或或． 故选：ABC． 题型8 等比数列的性质 14、（2024下·海南州·高二期中）在正项等比数列中，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由正项等比数列性质，有，则. 【详解】正项等比数列中，，则. 故答案为：2 15、（2024下·海南州·高二期中）设是等比数列，且，，则的值是___________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案. 【详解】由是等比数列，设公比为q，且，， 则可得，故 ， 所以， 故答案为：32. 16、（2024下·海南州·高二期中）在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 题型9 等比数列的前n项和公式 17、（2024下·海南州·高二期中）等比数列的前n项和，则（ ） A -2 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由计算出，，，从而根据等比中项列出方程，求出，得到答案. 【详解】，当时，， 当时，，故， 当时，， 从而， 由于是等比数列，故，解得， 故． 故选：C． 18、（多选题） （2024下·海南州·高二期中）在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，列出方程求解即得. 【详解】等比数列中，，前三项和，则，于， 解得或， 所以公比q的值为或1. 故选：AB 题型10 数列前n项和的性质 19、（2024下·海南州·高二期中）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 20、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由于等差数列的前项和为,所以,,成等差数列，代入数据即可求得. 【详解】因为等差数列的前项和为,所以,,,成等差数列, 所以，即 解得，所以，所以， 解得， 故答案为：16 题型11 数列求和 分组求和 21、（2024下·海南州·高二期中）已知等差数列的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解； (2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【小问1详解】 设公差为d，由得， 解得 故； 【小问2详解】 因，由（1）可得：， 故． 22、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列，是等比数列，且 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出等比数列的公比，再求出的值，根据等差数列的通项公式求解； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和. 【小问1详解】 等比数列的公比， 所以，， 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，. 因此， 从而数列的前项和 . 错位相减法 23、（2024下·海南州·高二期中）已知数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式证明出是首项为2，公比为2的等比数列即可求出； （2）用错位相减法求和. 【小问1详解】 ∵，等式两边同时加1整理得 又∵，∴ ∴是首项为2，公比为2的等比数列． ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴. 记的前n项和为 则 所以 相减得 整理得. 所以 裂项相消法 24、（2024下·海西州·高二期中）若数列的前项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案． 【小问1详解】 在数列中，， 当时，， 两式相减得， 时，符合此式， ； 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 则 ， ． 25、（2024下·海南州·高二期中）已知数列是公比为2的等比数列，且. （1）求的通项公式及前项和； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）只需求得，结合即可得出的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得； （2）化简得到，再通过裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设数列是公比为，因为，，所以解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 .即数列的前项和. 题型1 数列的单调性 26、（2024下·海西州·高二期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数对称性求解） 故选：D. 27、（2024下·海南州·高二期中）已知单调递减的等比数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的所有正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量法列方程组求得首项和公比，得通项公式； （2）求出前项和，得其单调性，再通过估值得，从而确定满足题意的值． 【小问1详解】 （1）设公比为，因为等比数列单调递减，所以， 解得， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 ， 由单调递增，， 故满足的所有正整数的值为. 题型2 数列的最值 28、（2024下·海南州·高二期中）已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键. 题型3 数列的综合问题 29、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可. 【详解】，则是公差为1，首项为1的等差数列，，则．故B，C正确，A错误； ，， 两式相减得，故D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点睛：本题的关键是把递推公式变形为. 题型4 数列新文化题 30、（2024下·海南州·高二期中）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “徵､商､羽”的频率成等比数列 B. “宫､徵､商”的频率成等比数列 C. “商､羽､角”的频率成等比数列 D. “宫､商､角”的频率成等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案. 【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为， 所以“宫､商､角”的频率成等比数列,公比为. 故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $$