专题02 一元函数的导数及其应用（河南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数及其几何意义 题型03导数的运算 题型04利用导数研究函数的单调性 题型05利用导数研究函数的极值 题型06利用导数研究函数的最值 题型07利用导数研究曲线上某点的切线方程 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 2．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． ( 题型02 ) 导数及其几何意义 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·期中）已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 6．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·河南·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 导数的运算 9．（23-24高二下·河南焦作·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数是，且，则 . 11．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则 . 13．（23-24高二下·河南南阳·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·河南焦作·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为:如果函数在区间[]上的图象连续不断，导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间[]上的“拉格朗日中值点”.已知函数在区间上的拉格朗日中值点为，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 15．（23-24高二下·河南焦作·期中）若直线与曲线相切，则 . 16．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·河南洛阳·期中）曲线在点处的切线方程是 . 18．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，则（    ） A．10 B． C．12 D．14. 19．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知曲线． (1)求与直线平行，且与曲线相切的直线方程； (2)设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． ( 题型04 ) 利用导数研究函数的单调性 20．（23-24高二下·河南洛阳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·河南漯河·期中）已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 22．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 23．（23-24高二下·河南郑州·期中）（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围； （2）已知函数，讨论函数的单调性． 24．（23-24高二下·河南周口·期中）已知函数. (1)求的单调区间. (2)已知直线与曲线交于，，三点，且. ①若成等差数列，求的值； ②证明：. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的极值 25．（23-24高二下·河南周口鹿邑县·期中）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 . 26．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．的单调增区间是 C．当时，直线与函数的图象有3个交点 D．若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 28．（23-24高二下·河南·期中）已知函数. (1)求的极值. (2)已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 29．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 30．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求； (2)求的单调区间和极值. ( 题型0 6 )利用导数研究函数的最值 31．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知. (1)当时，求函数的最值; (2)若，求实数的取值范围. 33．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知某物体的运动方程为（），则（    ） A．该物体在时的平均速度是32 B．该物体在时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在时的瞬时速度是80 34．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 35．（23-24高二下·河南郑州·期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)求的最小值； (2)若在区间内恒成立，求实数的值. ( 题型0 7 )利用导数研究曲线上某点的切线方程 37．（23-24高二下·郑州十校联考·期中）已知曲线． (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程． 38．（23-24高二下·河南省实验中学·期中）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 40．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知斜率为1的直线与曲线相切. (1)求直线的方程; (2)若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点） 41．（23-24高二下·河南驻马店·期中）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·河南郑州·期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解 ．    一、单选题 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的导数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）设函数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高二下·河南郑州·期中）下列求导运算正确的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知（是的导函数），则（    ） A． B． C． D．0 6．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·期中）已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时， D．当时，方程由三个实数根 9．（23-24高二下·河南南阳·期中）小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的可导函数满足，当且仅当时，等号成立，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为 ． 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）若实数分别是方程，的根，则 . 13．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14．（23-24高二下·河南南阳·期中）（1）若函数有三个零点1，2，4，求； （2）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值． 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 16．（23-24高二下·河南郑州·期中）若实数集对于，均有，则称具有“伯努利型关系”. (1)若集合，试判断是否具有“伯努利型关系”; (2)设集合，若具有“伯努利型关系”，求非负实数的取值范围； (3)当时，证明:. 17．（23-24高二下·河南·期中）设函数为定义在区间上的可导函数，记的导函数为，若对，都有或恒成立，则称为区间上的“原导同号函数”. (1)证明：为上的“原导同号函数”； (2)是否存在实数，使为上的“原导同号函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若为上的“原导同号函数”，证明：. 18．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 19．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 20．（23-24高二下·河南·期中）已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)函数，若与有相同的值域，求的值，并证明：，恒成立. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数及其几何意义 题型03导数的运算 题型04利用导数研究函数的单调性 题型05利用导数研究函数的极值 题型06利用导数研究函数的最值 题型07利用导数研究曲线上某点的切线方程 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则自变量x由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．0.21 B． C．2.1 D． 【答案】C 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：C. 2．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 3．（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【答案】(1)90m/s，70m/s； (2)80m/s； (3)10s 【分析】（1）根据平均速度代入表达式计算； （2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解； （3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值. 【详解】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系， 则火箭在这些时间段内的平均速度为； 火箭在这些时间段内的平均速度为：． （2）由函数，可得，可得， 所以火箭在时的瞬时速度为80m/s． （3）由，令，即，解得， 熄火后10s火箭上升速度为0． ( 题型02 ) 导数及其几何意义 4．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，切线的斜率，判断求解即可． 【详解】由题图知函数是单调递增的， 则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零． 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以． 如图，记，连接． 直线的斜率． 由函数图象知：， 即， 故选：B． 5．（23-24高二下·河南·期中）已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 【答案】A 【分析】利用导数的定义分析求解即可. 【详解】因为 ,又， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率， 的几何意义为在点A处切线的斜率， ，其几何意义为割线AB的斜率， 则有． 故选：C 8．（23-24高二下·河南·期中）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义结合图象判断直线斜率的大小，即可判断，，的大小. 【详解】由图象可知在上单调递增， 故，即. 故选：C ( 题型03 ) 导数的运算 9．（23-24高二下·河南焦作·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数定义计算即可. 【详解】因为, 因为. 故选：D. 10．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的导函数是，且，则 . 【答案】/ 【分析】将函数求导代值，求出，回代入导函数解析式，计算即得. 【详解】由求导得，， 故，解得0， 则有，故. 故答案为：. 11．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】对两边同时求导得，对，两边同时求导得，从而即可得，4为函数的周期，结合周期性求解即可． 【详解】因为函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数， 所以， 两边同时求导得：，即， 又因为， 两边同时求导得：， 即，， 即， 所以， 两式相减得：， 所以为周期函数，4为最小正周期， 在中， 令，得,解得， 所以． 故选：C． 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据，可以先将原函数求导，此时得到的导函数中有，故将代入可以求出，求出函数解析式后，求函数值. 【详解】，则，故， 解得，，所以. 故答案为： 13．（23-24高二下·河南南阳·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可． 【详解】A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故符合题意； 故选：ACD． 14．（23-24高二下·河南焦作·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为:如果函数在区间[]上的图象连续不断，导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间[]上的“拉格朗日中值点”.已知函数在区间上的拉格朗日中值点为，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用拉格朗日中值定理建立方程求解即得. 【详解】函数，求导得，则， 依题意，，即，整理得， 而，所以. 故选：C 15．（23-24高二下·河南焦作·期中）若直线与曲线相切，则 . 【答案】1 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组并求解即得. 【详解】设直线与曲线相切的切点坐标为， 由，求导得，于是，解得. 故答案为：1 16．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义，即可求解. 【详解】由，则，则， 所以在时的瞬时降雨强度为. 故选：A 17．（23-24高二下·河南洛阳·期中）曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案． 【详解】由， 得． ， 又， 曲线在点,处的切线方程是． 故答案为：． 18．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，则（    ） A．10 B． C．12 D．14. 【答案】B 【分析】首先利用导数公式，求，再求函数值. 【详解】由题意可知，，则， 解得：， 所以，则. 故选：B 19．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知曲线． (1)求与直线平行，且与曲线相切的直线方程； (2)设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切点坐标，结合直线点斜式可求得结果； （2）根据直线斜率和倾斜角关系直接求解即可. 【详解】（1），， 令，解得：； 当时，，切线方程为：，即； 当时，，切线方程为：，即； 综上所述：所求直线方程为或. （2）由（1）知：，， 又，. ( 题型04 ) 利用导数研究函数的单调性 20．（23-24高二下·河南洛阳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 21．（23-24高二下·河南漯河·期中）已知n个大于2的实数，对任意（），存在满足且，则使得成立的最大正整数n为（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】B 【分析】两边取对数，，令，求导得到其单调性，故，又，结合，故，则有，解得，结合，得到，求出答案. 【详解】由，且，故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 由得 ，， 又，故， 又，故， 若，则有， 即， 因为，所以， 故使得成立的最大正整数n为23. 故选：B 【点睛】关键点点睛：两边取对数，，构造，求导得到其单调性，结合，得到，结合题目条件得到，求出答案. 22．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知，则使恒成立的值可以是（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由已知结合常见不等式，，对进行不等式放缩，求解出的范围即可求解． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，即， 设， 则当时在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故当，故 因为， 所以，但显然等号无法同时取得， 所以，即， 又恒成立， 所以． 故选：ABC． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 23．（23-24高二下·河南郑州·期中）（1）已知函数，若在区间上存在减区间，求a的取值范围； （2）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【分析】（1）函数在区间上存在减区间，则在上存在有解区间，进而可得出答案； （2）求导，再根据分类讨论，由导函数的符号即可求出函数的单调区间. 【详解】（1），若函数在区间上存在减区间， 则在上存在有解区间， 即，使得成立， 记，，， 易得，故， 解得，则a的取值范围为； （2）解：因为， ，， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 24．（23-24高二下·河南周口·期中）已知函数. (1)求的单调区间. (2)已知直线与曲线交于，，三点，且. ①若成等差数列，求的值； ②证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)；证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）①令，即，故一个交点为原点，令，结合导数分析的单调性，再由成等差数列，结合等差数列的性质即可求解； ②证明：要证，即证，结合的单调性，即证，即证，构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明. 【详解】（1）， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为和， 单调递减区间为. （2）①令，即， 故一个交点为原点， 令，则， 令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 则， 由成等差数列得， 则，且，， 故有，即， 解得舍去， 则， 则. ②证明：要证，即证， 又在上单调递减， 即证， ，即证， 令， 则， 则 ， 故在上单调递增， 故， 则， 则，即， 故. 【点睛】方法点睛： 破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； ③回归双变量不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的极值 25．（23-24高二下·河南周口鹿邑县·期中）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 . 【答案】2 【分析】由函数有两个不同零点可得，再求导并判断的零点个数，进而判断极值点个数. 【详解】令，则，由题意知，即； ，令，则， 即，则有两个变号零点， 所以函数有2个极值点. 故答案为：2. 26．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并把点的坐标代入，构造函数，转化为函数有三个零点的问题求解. 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 函数，求导得， 则切线方程为，于是， 整理得，令， 过点且与曲线相切的直线有3条，当且仅当函数有3个零点， 求导得，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 函数有三个零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 27．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．的单调增区间是 C．当时，直线与函数的图象有3个交点 D．若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用导数可得函数的极值点及单调区间，从而判断AB；当时，作出函数的图象，结合图象即可判断C； 根据函数在,上的单调性，求出函数的值域为,，由求解后，即可判断D． 【详解】因为，， 所以， 令，则，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数在处取极大值，故A正确； 函数的单调递增区间为，，故B正确； 当时，作出函数的图象，如图所示： 由此可得：，， 此进与函数只有两个交点，故C错误； 因为函数在,上单调递增， 所以，， 又因为函数在区间,上是“三角形函数”， 所以，且， 解得，故D正确． 故选：ABD． 28．（23-24高二下·河南·期中）已知函数. (1)求的极值. (2)已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 【答案】(1)极小值0，极大值 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出导数，判断单调性根据极值定义求解； （2）根据，，结合函数的单调性和极值求得的取值范围；利用单调性可知，令，则，求得，利用分析法将所要证明的问题转化为，构造函数利用导数证明即可. 【详解】（1）由题意， 则当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值. （2）①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且， 又，，所以的取值范围为. ②因为，，由（1）的单调性可知， 令，则，因为，所以， 即，解得， 所以，要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以，故成立. 29．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值. (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数的最小值大于0. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，解得. 当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. （2）要证明当时，， 即证明当时，. 令函数. 则. 当时，. 设函数. 则，故在上单调递增. 又 所以存在唯一的使得. 且. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 设函数 则 即在单调递增. 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用隐零点问题求函数的最小值. 30．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)； (2)的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 函数有极大值，极小值. 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【详解】（1），则， 因为函数在点处的切线与轴垂直， 所以函数在点处的切线斜率为， 由题意可得，解得； （2）由，故， 则，， 故当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故函数有极大值， 函数有极小值. ( 题型0 6 )利用导数研究函数的最值 31．（23-24高二下·河南安阳·期中）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按分类讨论，构造函数，利用导数探讨单调性转化为恒成立的不等式求解. 【详解】由，得，当时，，当时，， 不等式恒成立，当时，令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增，而当时，， 不等式，即，于是， 因此，恒成立，令，求导得， 则函数在上单调递增，，于是，则， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 32．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知. (1)当时，求函数的最值; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为0；最小值为 (2). 【分析】（1）先求出，根据导函数的正负得到函数的单调性，进而求出函数的极值，再与端点值比较即可； （2）由题意可知，当时，恒成立，令函数，先由，可得，再证时，恒成立即可. 【详解】（1）由，得. 令，解得. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 当时，有极小值，即最小值. 又 综上，当时，有最大值，最大值为0， 当时，有最小值，最小值为. （2）当时，. 即当时，. 令函数. 则当时，. 故.即 下证时，恒成立. 设， 则， ①当时，设， ， 由知， 即在上单调递增，且，故在上, 故在上单调递减.即. ②当时，由知. 即在上单调递增，即. 此时由得. 综上，实数的取值范围是. 33．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知某物体的运动方程为（），则（    ） A．该物体在时的平均速度是32 B．该物体在时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在时的瞬时速度是80 【答案】ABD 【分析】由平均速度的定义代数计算可得A正确；由导数的意义计算可得BD正确；求导后判断单调性，再求最值可得C错误. 【详解】A：该物体在时的平均速度是，故A正确； B：，所以该物体在时的瞬时速度是，故B正确； C：因为，， 所以恒成立，故在上为增函数， 所以，故C错误； D：，所以该物体在时的瞬时速度是，故D正确； 故选：ABD. 34．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D. 【详解】因为，所以. 令，则， 所以（c为常数），所以. 因为，所以，即. 对于A，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误. 对于B,当时，，时，，时， 而，根据单调性知：，故B正确. 对于C，若，则. 当时，恒成立. 当时，等价于，即. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故C正确. 对于D，若，即. 因为在恒小于0，在上又单调递增，且， 所以，且，所以， 故D正确. 故选：BCD    【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想. 35．（23-24高二下·河南郑州·期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出在的极大值，再由即可得出最大值． 【详解】，令解得或， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以在得极大值为，又， 所以函数在区间上的最大值为， 故选：D． 36．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数. (1)求的最小值； (2)若在区间内恒成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，进而可得最值； （2）将不等式恒成立转化为求函数的最大值问题，可得参数取值范围. 【详解】（1）由，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 当时，有最小值，最小值为. （2）函数，， 则， 当时，，在上单调递减， 此时存在，使得，与题设矛盾， 当时，时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在恒成立， 则，即， 又由（1）知即，（当且仅当时，等号成立）． 令有，故且， 所以． ( 题型0 7 )利用导数研究曲线上某点的切线方程 37．（23-24高二下·郑州十校联考·期中）已知曲线． (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求过点（2，8）且与曲线相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）函数在处有极大值，令，求得极值点，经过验证即可得出结论． （2）当时，，，设切点为，可得切线方程为，将点代入，解得，即可得到切线方程． 【详解】（1）函数在处有极大值， 令， 解得或， 若，解得，则， 时，时， 可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． 函数在处有极大值，满足题意． 若，， 时，时， 可得函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增． 可得处有极小值，舍去， ． （2）当时，，， 设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为， 将点代入，化为， 因式分解为， 解得或， 故切线方程为或． 38．（23-24高二下·河南省实验中学·期中）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】求导，根据拐点的定义即可求解C，根据单调性即可确定极值点，即可判断A    ，根据极小值大于0可判断C，根据切线方程的求解可判断D. 【详解】由得，令，则，，所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确， 令，则或，故在单调递增，在单调递减，故是极小值点，是极大值点，故A正确， 由于是的极小值点，且，故只有一个零点，故B错误， 设是的切点，令，解得故和，当切点为时，则切线方程为，当切点为时，切线方程为，故不是切线，故D错误， 故选：AC 40．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知斜率为1的直线与曲线相切. (1)求直线的方程; (2)若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点） 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求导，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据面积公式，得，即可求解导数确定函数的单调性，进而求解最值. 【详解】（1）设切点为， 因为，所以切线的斜率，解得， 此时，即切点为， 所以切线的方程为，即 （2）因为分别交曲线和于点M，N， 所以. 因为，则， 所以. 此时的面积， ，令，得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减 所以当时，有最大值且. 41．（23-24高二下·河南驻马店·期中）过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】因为，故，则，即所求直线斜率为， 则过点，斜率为的直线方程为：，即. 故选：C. 42．（23-24高二下·河南郑州·期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解 ．    【答案】 【分析】由题意得出在的切线方程，令即可求解． 【详解】由题可得，，则， 所以在处的切线方程为：， 令，解得，即方程的近似解， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）函数的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的计算公式即可求得． 【详解】由函数求导得，. 故选：A． 2．（23-24高二下·河南·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 设切线的倾斜角为，其中，则，所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·河南驻马店·期中）设函数，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的导数，求解即可. 【详解】，故可得， 又 . 故选：B. 4．（23-24高二下·河南郑州·期中）下列求导运算正确的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可． 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 5．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知（是的导函数），则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】对求导，再令，可得出关于的等式，即可求出，然后将代到，即可解得. 【详解】因为，则， 所以，，解得 所以. 故选：C. 6．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，构造函数，讨论函数的单调性，将转化为，结合单调性解不等式即可求解. 【详解】由题意知，在上单调递增，则， 不等式恒成立转化为，即， 设，则， 所以在上单调递减，则， 由，得， 即，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 7．（23-24高二下·河南·期中）已知函数，若当时，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】对不等式作等价变形，构造函数，确定它们的零点，可得，再验证存在即可. 【详解】依题意，，， 设函数，， 函数在上单调递增，，则当时，； 令，则，若恒成立，则，否则， 下面验证时存在满足题意， 不妨令，则，在处的导数值为，取，此时， 设函数，要证恒成立，只需证恒成立， ，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以的最大值为e. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是等价变形不等式，构造函数，利用函数零点大小关系求解. 二、多选题 8．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在两个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．当时， D．当时，方程由三个实数根 【答案】AB 【分析】解方程判断A；利用导数探讨极值结合函数值情况判断BCD. 【详解】对于A，由，得，即，解得， 因此函数存在两个不同的零点，A正确； 对于B，求导得，当或时，， 当时，，即函数在上递减，在上递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值，B正确； 对于C，显然，C错误； 对于D，结合A分析可知，当时，方程只有两个实数根，D错误. 故选：AB 9．（23-24高二下·河南南阳·期中）小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对选项中的函数求导，再求导，由“凹函数”的定义逐项判断即可得解． 【详解】对于A，，其导数，则有，不符合“凹函数”的定义，故A错误； 对于B，，定义域为R，其导数，则，在定义域R上不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B错误； 对于C，，定义域为R，其导数，则有在R上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C正确； 对于D，，定义域为，其导数，则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D正确． 故选：CD． 【点睛】本题主要考查导数的运算，函数的新定义，属于基础题． 10．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在上的可导函数满足，当且仅当时，等号成立，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】构建，求导，结合题意分析可知在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】构建，可知的定义域为， 则， 由题意可知：，当且仅当时，等号成立， 所以在上单调递增， 则， 即， 可得，，，， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）若不等式在时恒成立，则正实数的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，则不等式转化为，结合函数的单调性进而转化为，结合导数的几何意义及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解. 【详解】由可得， 所以， 设， 则即为 因为，所以函数在上单调递减， 因为，，所以，， 从而等价于，即， 由于曲线在处的切线方程为：， 所以当且仅当时，在上恒成立，所以正实数的最大值为1； 故答案为：1 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）若实数分别是方程，的根，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，从而同构成且，，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，即可得到，从而得解. 【详解】∵分别是方程，的根， ∴，，且，， 即，变形为， 从而， 同构得：且，. 设，，∴， 所以在上单调递增， 又∵，∴， 从而. 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键将式子变形为，从而同构得到且，，利用导数说明单调性推出. 13．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数的性质求出函数的单调性，根据直线的方程确定直线必过的定点，最后通过数形结合思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体正实数， ， 设， 所以函数在时，单调递减，而， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然，当时，， 当时，， 由，因此该直线必过定点， 函数和直线的图象如下图所示： 满足点在直线上方的正整数恰有一个， 则有， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用导数的性质判断函数的单调性进而画出函数的图象，关键之二是利用数形结合思想得到不等式组. 四、解答题 14．（23-24高二下·河南南阳·期中）（1）若函数有三个零点1，2，4，求； （2）若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据零点的定义，求得函数的解析式，根据求导法则，可得答案； （2）根据求导法则求导，结合导数的几何意义以及切线的定义，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知， 所以． （2），题意知，即， 解得. 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数. (1)当时，求的单调区间; (2)讨论函数在区间内的零点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2)答案见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）首先将函数的零点个数转化为函数与直线在区间内的交点的个数，所以利用导数分析函数的单调性和最值，以及函数的趋向，再分析交点个数. 【详解】（1）当时，， 令，得或； 令，得或; 令，得或; 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减; 当时，在上单调递增. 当时，在区间内取最小值. 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点; 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点. 16．（23-24高二下·河南郑州·期中）若实数集对于，均有，则称具有“伯努利型关系”. (1)若集合，试判断是否具有“伯努利型关系”; (2)设集合，若具有“伯努利型关系”，求非负实数的取值范围； (3)当时，证明:. 【答案】(1)具有伯努利型关系 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义判断是否满足即可； （2）令，，，再对其求导，分，，三种情况分析单调性及最值，即可求解； （3）化简，可得且，根据（2）中的结论，可得，再用裂项法证明即可． 【详解】（1）依题意，是否具有“伯努利型关系”，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立： ①，②， ，， 具有伯努利型关系． （2）令，，， 则， ①当时，显然有，成立； ②当时， 若，则，即，在区间上单调递减， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递增， 的最小值为，，， 成立； ③当时， 若，则，即，在区间上单调递增， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递减， 的最大值为，， ，即 当，且时，不能恒成立， 综上所述，可知若具有伯努利型关系，则， 非负实数的取值范围为． （3）证明：， 因为，且， 由（2）中的结论：当时，，可知， 当时，， ，， 当时，显然成立； 当时， ， 综上所述，当时，． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得，并适当的放缩裂项求和. 17．（23-24高二下·河南·期中）设函数为定义在区间上的可导函数，记的导函数为，若对，都有或恒成立，则称为区间上的“原导同号函数”. (1)证明：为上的“原导同号函数”； (2)是否存在实数，使为上的“原导同号函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若为上的“原导同号函数”，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）求导可得且，结合新定义即可证明； （2）求导可得，利用导数分类讨论当、、时的单调性，结合新定义即可下结论； （3）由题意知与的零点必须完全相同，分类讨论若与都只有一个零点、都有两个零点、都无零点，根据一元二次方程的判别式，结合新定义即可证明. 【详解】（1）时，，则在上单调递增， 所以； 所以时， 因此为上的“原导同号函数”； （2）若存在，使为上的“原导同号函数”， ①当时，恒成立，在上单调递增； 所以时，，此时，成立； ②当时，恒成立，在上单调递减； 所以时，，此时，成立； ③若，由定义，令与的解相同； 令，得，所以，解得； 此时，当时，在单调递增； 所以当时，，此时，不成立； 综上，实数的范围为； （3）若为上的“原导同号函数”，； 由题意知与的零点必须完全相同，考虑以下三种情况： ①若与都只有一个零点，则它们对应的二次函数部分的判别式为零， 即，整理得，上述方程组无解，故该情况不成立； ②若与都有两个零点，不妨记它们的两个公共零点分别为， 则由韦达定理可得，上述方程组无解，故该情况同样不成立； ③若与都无零点，依据判别式，；整理得； 所以，即. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是利用导数研究函数的单调性等相关的知识点. 18．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数法求含参函数的单调性，进而得出即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立，设，由，得，再分和三种情况讨论，利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以在上单调递增，不可能存在两个零点，不符合题意； 当时，令，则，解得， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 因为存在两个零点， 所以，解得， 此时，又，当时，， 所以有两个零点，符合题意， 所以的取值范围为. （2）当时，恒成立，即恒成立， 设， 由题意知当时，恒成立，则， 即，解得， 若，则当且时，，所以，不符合题意， 若，则恒成立，符合题意， 下面证明：当时，对任意恒成立（*）， 要证，即证， 因为，所以， 只需证明即可， ， 令，则 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，，在单调递减； 当时，，，在单调递增， 所以，即命题（*）得证， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点睛：第一问直接利用导数法求含参函数的单调性，得出即可；第二问：根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立， 设，由，得，再分和三种情况讨论即可求解. 19．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当，时，求证恒成立； (2)当时，，求整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）将，代入函数，求导求最小值即可； （2）分离参变量，构造函数，研究函数的单调性及最值，最终确定的取值范围，进而得到整数的最大值. 【详解】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立. （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，， 根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是. 【点睛】方法点睛：分离参变量，构造函数，用进行代换，进而简化函数求得参数取值范围. 20．（23-24高二下·河南·期中）已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)函数，若与有相同的值域，求的值，并证明：，恒成立. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）利用为偶函数，利用导数可得时，为增函数，可得的最小值，从而可得，求解即可； （2）利用放缩法可得利用导数可证，再利用放缩法可得,进而可证结论. 【详解】（1）因为，定义域为， 又, 所以函数为偶函数， 当时，令，可得为增函数，且，所以在上的增函数，又在上的增函数， 所以在上的增函数， 所以， 要使函数有两个零点，则，所以， 所以的取值范围为. （2）因为，易得为偶函数， 当时，，易得为增函数，故， 由（1）可得又与有相同的值域， 所以所以 所以, 又当时，① 当时，令，可得， 令，解得， 当，,为增函数， 当，,为减函数， 所以，即， 又②， 由①②可得. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立，可按如下规则转化：通过证明,，可证明，放缩法证明不等式是一种常用的方法. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$