专题03 计数原理（河南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分类乘法计数原理 题型03排列及排列数公式 题型04组合及组合数公式 题型05二项式定理 ( 题型 01011 01 ) 分类加法计数原理 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 【答案】B 【分析】直接由加法计数原理即可求解. 【详解】依题意，不同的选法共有种． 故选：B． ( 题型02 ) 分类乘法计数原理 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没·逆转时空》引爆了贺岁电影市场，三名同学从四部影片中各自任选一部观看，则不同选择方法的总数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分步乘法原理计算即可. 【详解】由分步乘法原理可得共有种， 故选：B. 4．（23-24高二下·河南·期中）三位同学每人从六个景点中选择一处游览，不同的选法种数是 . 【答案】216 【分析】每个同学均有六种选法，由分步乘法计数原理直接得出结论. 【详解】每个同学均有六种选法， 根据分步乘法计数原理， 不同的选法有种. 故答案为：216. 5．（23-24高二下·河南·期中）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（    ） A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 【答案】C 【分析】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，不同的投法有种. 故选：C. ( 题型03 ) 排列及排列数公式 6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 【答案】BD 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误； 对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确； 对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误； 对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确； 故选：BD 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲在乙左边的排列的排法有30种 【答案】BC 【分析】按照题目要求将各个排列的总数算出比对答案即可. 【详解】对于A，如果甲、乙必须相邻，那么将甲乙捆绑， 不同的排法有种，所以选项A错误； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法分为两类：甲排最左端：种； 乙排最左端：种， 即不同排法共有种，所以选项B正确； 对于C，甲、乙不相邻的排法种数为种，所以选项C正确； 对于D，甲在乙左边的排列的排法有种，所以选项D错误. 故选：BC. 8．（23-24高二下·信阳普通高中·期中）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 9．（23-24高二下·开封市五校·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)48 (2)72 【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可； （2）插空法结合分步计数原理即可； 【详解】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法， 将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法． （2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法， 再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法． ( 题型04 ) 组合及组合数公式 10．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【分析】根据三棱锥的性质，结合三角形中位线定理、确定平面的条件、组合的定义进行求解即可. 【详解】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为：    11．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（    ） A．14种 B．18种 C．12种 D．7种 【答案】A 【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数. 【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种）， 故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）. 故选：A. 12．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 13．（23-24高二下·河南信阳·期中）对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4.若各数互不相等的整数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 ． 【答案】13 【分析】利用组合计数问题，结合排除法求解即得. 【详解】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”，要么“逆序”（当时有），因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故答案为：13 14．（23-24高二下·河南洛阳·期中）（1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 15．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 【答案】4或16/16或4 【分析】根据组合数的性质和化简即可求值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以或. 故答案为：4或16 16．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据组合数和排列数的计算即可求解. 【详解】因为，所以， 即，又，， 所以. 故选：B. 17．（23-24高二下·河南郑州·期中）若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】分类讨论数字之和为3的情况，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知数字之和为3有：0，1，1，1或0，0，1，2或0，0，0，3， 若0，1，1，1，这样的四位数共有个； 若0，0，1，2，这样的四位数共有个； 若0，0，0，3，这样的四位数共有1个； 综上所述：共有个. 故选：A. 18．（23-24高二下·河南郑州·期中）为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者． (1)共有多少种选法？ (2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先选下午的志愿者，再选上午的志愿者，最后选晚上的志愿者，利用分布计数原理求解即可； （2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有名，求解即可. 【详解】（1）可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法； 再选上午的志愿者，有种选法； 最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法， 因此，共有种选法． （2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有名， 则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法． ( 题型0 5 )二项式定理 19．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含项为， 所以的展开式中项的系数为. 故答案为： 20．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，项的系数是（    ） A．1760 B． C．220 D． 【答案】B 【分析】应用二项式展开式求解即可. 【详解】由题意可得其展开式中项的系数为. 故选：B. 21．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知的展开式中不含常数项，则实数（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再分析常数项即可得解. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，得，由，得， 因此展开式中的常数项为，所以. 故选：A 22．（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 【答案】728 【分析】根据二项式的展开式赋值法求解即可. 【详解】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 23．（23-24高二下·河南郑州·期中）若的展开式中的系数为30，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式的展开式的通项为，结合题意，求得的系数，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 则的展开式中为， 可得，解得. 故选：A. 24．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用赋值法即可解决二项展开式的系数问题. 【详解】， 当时，； 当时，； 当时，； ，得， ； ，得， ． 故答案为：． 25．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知，． (1)若，，求的展开式中含的项． (2)令，如果的展开式中含的项的系数为12，那么当，为何值时，含的项的系数取得最小值？ 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）依题意可得，利用二项式展开式的通项计算可得； （2）依题意可得，从而表示出的系数，再转化为的二次式，即可求出，为何值时，系数取得最小值. 【详解】（1）当，时，，， ， 其中展开式的通项为，； 展开式的通项为，； 的展开式中含的项为； （2）， 的展开式中含的项的系数为， ，即， 此时的系数为 ，， 当，时，的项的系数取得最小值． 26．（23-24高二下·河南商丘·期中）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)511. 【分析】（1）利用组合数的性质求出，取求出. （2）利用赋值法，结合1的结论求出的值. 【详解】（1）由，得，取，得， 所以. （2）由（1）知，， 当时，， 当时，， 因此， 所以. 一、单选题 1．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 【答案】B 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法， 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式逆用求解即可. 【详解】因为, 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 4．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A．722 B．729 C．-7 D．-729 【答案】A 【分析】对求导，再赋值，再根据式子求出含的系数即,从而解题. 【详解】设， 则， 所以. 又因为，所以， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二下·河南·期中）王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（    ） A．120种 B．210种 C．240种 D．360种 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法； 若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法； 综上可得一共有种不同的分法. 故选：B 二、多选题 6．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法即可求解ABD，由二项式展开式的通项特征即可求解C. 【详解】， 令时，解得，故A正确； 令，解得，故，故B正确； 根据二项式的展开式的通项，， 当时，，故C错误； 令，解得，故， 故，D正确； 故选：ABD． 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项是240 B．各项系数和是64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项的二项式系数和是32 【答案】AD 【分析】根据二项式展开式的通项、对赋值进行计算即可求解. 【详解】二项式的通项为：， 当即时，该项为常数项，即，故选项A正确； 当时，各项系数和为1，故选项B错误； 因为6是偶数，所以二项式系数最大的项是， 即第4项为二项式系数最大的项，故选项C错误； 奇数项有，对应的二项式系数和为，故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 8．（23-24高二下·河南·期中）已知集合，若集合中有且仅有三个元素，，且集合中不含相邻的整数，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】56 【分析】从集合中取三个元素，计算这三个元素全相邻或仅有两个元素相邻的情况，利用间接法计算即可求解. 【详解】由题意，从集合中取三个元素： 若三个元素都相邻，则有“”，“”，“”，，“”，共8种取法； 若有且仅有两个元素 ，则在取到“”或“”的情况下，共有种取法； 在取到“”或“”或“”或“”或“”或“”或“”的情况下， 共有种取法； 所以三个元素不相邻的取法有种. 故答案为：56 9．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有包含甲在内的5名实习教师全部分配到我校高二年级的2501班、2502班、2503班3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中实习生甲不去2501班，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 【答案】60 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合知识列式计算即得. 【详解】依题意，去2501班实习的教师可以是1人或2人， 有1人去2501班时，由甲不去2501班，则从另外4人中选1人去2501甲班，有种选法， 再选2人去2502班，有种选法，剩下2人去2503班，有种方法， 这是分3步完成的，因此有种方案； 有2人去2501班时，由甲不去2501班，则从另外4人中选2人去2501班，有种选法， 再将剩余3人分配到2个班的分法有种方法， 因此这类办法有种， 所以不同的分配方案有:. 故答案为：60. 10．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由题可知可根据二项式定理求的系数，然后去括号合并同类项即可. 【详解】的展开式的通项， 又， 令， 所以的系数为， 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. (1)求展开式的通项公式和中间一项; (2)设，求. 【答案】(1)，252 (2). 【分析】（1）根据题意列出等式，解出的值，然后写出二项展开式的通项即可; （2）先将等式左边进行化简为，然后写出其二项展开式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得 所以的展开式的通项 ， 令，展开式的中间一项为. （2）因为， 所以 所以的展开式的通项， 令， 令 则. 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ (3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】(1)共有种不同的排法 (2)共有种不同的取法 (3)共有种不同的放法 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果； （3）先将这支水笔分为组，其中组有支，另一组有支，然后再将这三组水笔放入三个不同的盒子， 最后将支铅笔放入3个盒子，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔， 则铅笔得支数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种. （3）先将支水笔分为组，这三组水笔的支数分别为、、， 再将这三组水笔分配给三个盒子， 所以不同的放法种数为种， 再将3支铅笔放入3个盒子，每个盒子1支，不同的放法种数为种， 由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为种. 13．（23-24高二下·郑州市第一中学·期中）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合. (3)系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】(1) (2) (3)第项和第项 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【详解】（1），， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； （2），， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； （3）设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 14．（23-24高二下·信阳市普通高中·期中）已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，根据题意，列出方程求解，得出，再令，即可得出结果； （2）先设第项系数最大，即最大，由此列出不等式组求解，得出，即可确定结果. 【详解】（1）二项式的展开式的第项为， 因为展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， 即，则，即，解得； 则， 令，得； 所以常数项为第三项，； （2）设第项系数最大，即最大， 即，则，即，解得，   又，， 即系数最大的项为第8项，. 【点睛】本题主要考查求二项展开式的常数项，考查求系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分类乘法计数原理 题型03排列及排列数公式 题型04组合及组合数公式 题型05二项式定理 ( 题型01 ) 分类加法计数原理 1．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 ( 题型02 ) 分类乘法计数原理 3．（23-24高二下·河南郑州·期中）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没·逆转时空》引爆了贺岁电影市场，三名同学从四部影片中各自任选一部观看，则不同选择方法的总数为 （    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南·期中）三位同学每人从六个景点中选择一处游览，不同的选法种数是 . 5．（23-24高二下·河南·期中）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（    ） A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 ( 题型03 ) 排列及排列数公式 6．（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲在乙左边的排列的排法有30种 8．（23-24高二下·信阳普通高中·期中）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 9．（23-24高二下·开封市五校·期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： (1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ ( 题型04 ) 组合及组合数公式 10．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 11．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（    ） A．14种 B．18种 C．12种 D．7种 12．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 13．（23-24高二下·河南信阳·期中）对于各数互不相等的整数数组（是不小于3的正整数），若对于任意的，，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”，“4与1”，“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4.若各数互不相等的整数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 ． 14．（23-24高二下·河南洛阳·期中）（1）计算:; （2）. 15．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则 . 16．（23-24高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 17．（23-24高二下·河南郑州·期中）若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 18．（23-24高二下·河南郑州·期中）为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者． (1)共有多少种选法？ (2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？ ( 题型05 )二项式定理 19．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知的展开式中项的系数为 ． 20．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，项的系数是（    ） A．1760 B． C．220 D． 21．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知的展开式中不含常数项，则实数（    ） A．1 B． C． D． 22．（23-24高二下·河南安阳·期中）设，则 . 23．（23-24高二下·河南郑州·期中）若的展开式中的系数为30，则 （    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知，则 ． 25．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知，． (1)若，，求的展开式中含的项． (2)令，如果的展开式中含的项的系数为12，那么当，为何值时，含的项的系数取得最小值？ 26．（23-24高二下·河南商丘·期中）设，且． (1)求与的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（    ） A．90种 B．150种 C．240种 D．300种 2．（23-24高二下·河南洛阳·期中） （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 4．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A．722 B．729 C．-7 D．-729 5．（23-24高二下·河南·期中）王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（    ） A．120种 B．210种 C．240种 D．360种 二、多选题 6．（23-24高二下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南郑州·期中）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项是240 B．各项系数和是64 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项的二项式系数和是32 三、填空题 8．（23-24高二下·河南·期中）已知集合，若集合中有且仅有三个元素，，且集合中不含相邻的整数，则所有满足条件的集合的个数为 . 9．（23-24高二下·河南郑州·期中）现有包含甲在内的5名实习教师全部分配到我校高二年级的2501班、2502班、2503班3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中实习生甲不去2501班，则不同的分配方案有 种.（用数字作答） 10．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中的系数为 . 四、解答题 11．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等. (1)求展开式的通项公式和中间一项; (2)设，求. 12．（23-24高二下·河南郑州·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ (3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 13．（23-24高二下·郑州市第一中学·期中）在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合. (3)系数的绝对值最大的项是第几项； 14．（23-24高二下·信阳市普通高中·期中）已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$