专题4.1 多边形的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.1 多边形的综合 · 典例分析 【典例1】已知，正六边形，边长为6，G点以每秒为1的速度从上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从上运动，不与F点重合，连接交于点I； （1）求的度数． （2）如图1，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为J，当是的角平分线时，求证． （3）如图2，过B点作的平行线，交直线于点L，当G在运动的过程中，写出之间的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）利用多边形内角和公式和正多边形性质进行计算即可； （2）由正六边形性质可得 ，根据点的运动路径和速度可得，可证 ，再根据是的角平分线，和是的角平分线，可得，可证，运用全等三角形性质可得结论； （3）分两种情况进行讨论：当点在上运动时，可得当点在上运动时，可得，综合可得结论． 【解题过程】 （1）由多边形内角和公式得：， （2）如图1，∵正六边形，   ∵点均以每秒为1的速度同时分别沿着和上运动， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ， ； （3）①当点在上运动时， 始终有， ， ， ∴， 如图2，在上截取，使，    是等边三角形， 在和中， ， ②当点在上运动时，同样， ∴， 如图3，在射线上截取，使，    故是等边三角形， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，或． · 学霸必刷 1．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，正六边形的边长为2，点为边上一点，连接，，，则与的面积和为（   ） A．4 B． C． D．随点位置而变化 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为4的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（   ） A．8 B． C． D．4 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，直线，六边形是正六边形，顶点B，C分别在，上．若，则（ ） A． B． C． D． 6．（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 7．（2023·河北秦皇岛·三模）题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 8．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C．3 D．2 9．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，以为斜边作等腰直角，连接，交于点G，连接，交于点H，则下列两位同学的说法正确的是（   ） 嘉嘉：为直角三角形 淇淇：为等腰三角形 A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则 ․ 12．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 14．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ． 16．（2025·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，为边的中点，则的度数为 ． 17．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ． 18．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，，则 度． 19．（2025·河北保定·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则 ． 20．（2023·广西河池·二模）如图，六边形的六个内角都相等．若，则这个六边形的周长为 ． 21．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，延长交于点M． （1）判断的形状； （2）若，求的长． 22．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一个多边形的一部分如图所示，它的每个内角都相等，并且每个外角都等于它相邻内角的． （1）求这个多边形的边数及内角和； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 23．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）中，，分别以和为边作正方形和正六边形． （1）如图，当和重叠时，求n的值． （2）调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）观察、探究及应用． （1）观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； （2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； （3）结论：一个n边形有 条对角线； （4）应用：一个十二边形有多少条对角线？ 25．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 26．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． 正多边形边数 3 4 5 6 … 正多边形每个内角的度数 … （1）请根据下列图形，填写表中空格： （2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； 27．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）观察上面表格中的变化规律，与边数的关系为：____________． （3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 28．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． （1）初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． （2）模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． （3）构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． （4）模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 29．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    30．（24-25八年级上·天津和平·期中）如图1， 点分别是正五边形的边上的点，且 交于点P． （1）求 的度数； （2）将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则=   ． （3）探究： 改成正 n边形 ，其他条件不变，则 ．（用含有n的式子表示） 31．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， （1）请直接写出　　°，α6=　　°； （2）请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； （3）爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 32．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】 （1）如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】 （3）若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 33．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． （1）如图1，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 34．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 多边形的综合 · 典例分析 【典例1】已知，正六边形，边长为6，G点以每秒为1的速度从上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从上运动，不与F点重合，连接交于点I； （1）求的度数． （2）如图1，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为J，当是的角平分线时，求证． （3）如图2，过B点作的平行线，交直线于点L，当G在运动的过程中，写出之间的数量关系，并给出证明． 【思路点拨】 （1）利用多边形内角和公式和正多边形性质进行计算即可； （2）由正六边形性质可得 ，根据点的运动路径和速度可得，可证 ，再根据是的角平分线，和是的角平分线，可得，可证，运用全等三角形性质可得结论； （3）分两种情况进行讨论：当点在上运动时，可得当点在上运动时，可得，综合可得结论． 【解题过程】 （1）由多边形内角和公式得：， （2）如图1，∵正六边形，   ∵点均以每秒为1的速度同时分别沿着和上运动， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ， ； （3）①当点在上运动时， 始终有， ， ， ∴， 如图2，在上截取，使，    是等边三角形， 在和中， ， ②当点在上运动时，同样， ∴， 如图3，在射线上截取，使，    故是等边三角形， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，或． · 学霸必刷 1．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，将正五边形沿 折叠，若，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正多边形的内角和以及折叠的性质，根据多边形内角和可得，根据折叠的性质得出，进而根据四边形内角和为，即可求解． 【解题过程】 解：∵五边形是正五边形， ∴ 由折叠的性质得， ∵， ∴ 在四边形中， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，正六边形的边长为2，点为边上一点，连接，，，则与的面积和为（   ） A．4 B． C． D．随点位置而变化 【思路点拨】 本题考查了正多边形的性质，解题的关键是将求面积之和转化成求之间的距离，利用勾股定理求解． 【解题过程】 解：连接相交于，过作的垂线，交于，如下图： 正六边形的边长为2， 为等边三角形，，分别为的中点， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为4的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（   ） A．8 B． C． D．4 【思路点拨】 本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题． 【解题过程】 解：解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正六边形的边长是5，点P是上的一动点，的最小值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【思路点拨】 本题主要考查了正多边形性质及轴对称﹣最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．由正六边形的对称性质可知，点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【解题过程】 解：六边形为正六边形， 点B关于直线的对称点为点F， 如图，连接交于点P，连， ， 由“两点之间线段最短”知，此时最小， 六边形为正六边形， 和都为等边三角形， ，， ， ∴的最小值是10， 故选：A． 5．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）如图，直线，六边形是正六边形，顶点B，C分别在，上．若，则（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查平行线的性质及多边形的内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点F作交BC于点G，先求出的度数，再求出的度数，进而求出答． 【解题过程】 解：过点F作交BC于点G， ， ， ，， ， 六边形是正六边形， ， ， 在正六边形中，， ， ， ， ， 故选：B． 6．（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【思路点拨】 正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值． 【解题过程】 解：∵正六边形的一个内角为， ∴， ∵为正边形的一个内角为度数， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则的值为3或4或5或6． 故选：D． 7．（2023·河北秦皇岛·三模）题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【思路点拨】 首先根据题意表示出外面正多边形的内角，然后得到圆环里面是以为边的正多边形，然后表示出里面正多边形的边数，根据边数是正整数求解即可． 【解题过程】 解：如图所示，    ∵正n边形也能围成环状， ∴， ∴， ∴由题意可得，圆环里面是以为边的正多边形， ∴这个正多边形的外角为， ∴这个正多边形的边数为， ∴是正整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上所述，其他所有n的可能的值为6，8，12． 故选：D． 8．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C．3 D．2 【思路点拨】 取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解． 【解题过程】 解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，   ， ∵正六边形关于直线对称， ∴，也关于直线对称， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∴， 当共线时，， ∴的最小值为， ∵正六边形的边长为2， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，O为中点，Q为中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，   ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选：D． 9．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【解题过程】 解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 10．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，以为斜边作等腰直角，连接，交于点G，连接，交于点H，则下列两位同学的说法正确的是（   ） 嘉嘉：为直角三角形 淇淇：为等腰三角形 A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【思路点拨】 如图所示，连接，，首先证明出，得到，然后判断出垂直平分，即可判断嘉嘉同学的说法正确；求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理逐步求出，，得到，即可判断淇淇同学的说法正确． 【解题过程】 解：如图所示，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴ ∴ ∵以为斜边作等腰直角， ∴ ∴垂直平分 ∴ ∴为直角三角形， ∴嘉嘉同学的说法正确； ∵在正五边形中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴为等腰三角形 ∴淇淇同学的说法正确 综上所述，两人都正确． 故选：C． 11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则 ․ 【思路点拨】 本题考查了正多边形的性质、平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用正多边形性质求出，利用等腰三角形的性质求出，进而求出，利用平行线的性质求出，最后根据三角形的外角的性质求解即可． 【解题过程】 解：∵正五边形的内角度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）如图1螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交于点P，量得长为，六边形的边长为长为 ． 【思路点拨】 本题考查正多边形内角，勾股定理，等腰三角形，连接，过点作的垂线段，交于点，证明，即可利用勾股定理解答，做出正确的辅助线是正确解答的关键． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作的垂线段，交于点， 六边形是正六边形， ，， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了正多边形的内角和，平行线的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．过点作，先求出正五边形每个内角为，再利用平行线的性质求解即可 ． 【解题过程】 解：如图，过点作， 五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在正七边形中延长交于点P，那么 °． 【思路点拨】 本题考查了正多边形内角和三角形外角的性质，熟记正多边形内角和公式是解题的关键； 延长交于点H，根据正多边形内角和公式得出每个内角度数，然后得出邻补角，再根据三角形外角的性质，等量代换即可解答． 【解题过程】 解：如图延长交于点H， 正七边形的每个内角为 ， ， ，， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）在某市一个正八边形的广场上每个顶点处安装一个安全监控摄像头（俯视图如图所示），每个摄像头的视野夹角相同，点处的摄像头视野边沿恰好经过点和点，则摄像头的视野夹角的度数为 ． 【思路点拨】 本题考查正八边形性质，四边形内角和，等腰三角形性质等．根据题意先计算出正八边形各个内角度数，再计算出和，继而得到，再计算出四边形内角和度数，继而求出本题答案． 【解题过程】 解：∵正八边形各个内角度数：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：． 16．（2025·陕西·模拟预测）如图，在正五边形中，为边的中点，则的度数为 ． 【思路点拨】 此题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，如图连接，，由正五边形得到，，即可证明，从而有，，进而可得． 【解题过程】 解：如图连接，， ∵五边形是正五边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·陕西西安·一模）如图，在正五边形中，于点，连接，交于点，则的度数为 ． 【思路点拨】 连接，，先证明，得到，再利用等腰三角形的三线合一性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【解题过程】 解：连接，， ∵正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，，则 度． 【思路点拨】 此题考查了正多边形的内角及三角形的内角和，利用正多边形求出每一个内角，然后通过角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握正多边形及其应用． 【解题过程】 解：如图所示， 正方形的每个内角为：， 正五边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， 根据图形可知：，，， 得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 19．（2025·河北保定·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意延长于点，延长交于点，证明是等边三角形，将转化为，即可得到答案． 【解题过程】 解：延长于点，延长交于点， 正六边形， ， ， 则和是等边三角形， ，且， ， ， ， 故也是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（2023·广西河池·二模）如图，六边形的六个内角都相等．若，则这个六边形的周长为 ． 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解． 【解题过程】 解：如图，分别作边的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P． ∵六边形的六个角都是， ∴六边形的每一个外角的度数都是60°． ∴都是等边三角形． ∴． ∴，，． ∴六边形的周长为． 解法二：延长交于点M，延长交于点N． 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，则， ∴． ∴． ∴六边形的周长为． 故答案为：15． 21．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，延长交于点M． （1）判断的形状； （2）若，求的长． 【思路点拨】 （1）先根据多边形内角和公式和正六边形定义得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理得到，再根据角度和差证明即可； （2）根据三角形的外角定理求出，再根据30度角的直角三角形的性质求解． 【解题过程】 （1）解：∵六边形是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ 即是直角三角形； （2）解：在中， ∴， ∴ ∴． 22．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一个多边形的一部分如图所示，它的每个内角都相等，并且每个外角都等于它相邻内角的． （1）求这个多边形的边数及内角和； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）结合多边形的内角与相邻外角的关系构建方程求出每个外角，根据多边形外角和为即可得边数，利用多边形内角和公式即可求出内角和； （2）延长交的延长线于点，延长交于点，由（）得，进而利用三角形的外角性质得，从而．，即可得证． 【解题过程】 （1）解：设外角为，则内角为， ∴， 解得：， ∴边数：， 内角和：． ∴这个多边形的边数为，这个多边形的内角和为； （2）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点，延长交于点， 由（1）得， ∴， ∴． ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）中，，分别以和为边作正方形和正六边形． （1）如图，当和重叠时，求n的值． （2）调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【思路点拨】 本题考查了正多边形的内角和及周角的度数，解题的关键是能求出正方形和正六边形的内角的度数． （1）先求出和的度数，然后根据求解； （2）分两种情况画出图形求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵正方形和正六边形， ∴，， ∴ ， ∴； （2）解：如图， ∵ ， ∴； 如图， ∵ ， ∴； 综上可知，n的值为145或155． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）观察、探究及应用． （1）观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； （2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； （3）结论：一个n边形有 条对角线； （4）应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【思路点拨】 本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【解题过程】 （1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 25．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【思路点拨】 本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 26．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． 正多边形边数 3 4 5 6 … 正多边形每个内角的度数 … （1）请根据下列图形，填写表中空格： （2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； 【思路点拨】 本题主要考查了平面镶嵌、多边形的内角和等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． （1）先根据多边形内角和公式计算内角和，再运用正多边形内角度数等于内角和除以边数逐个计算即可； （2）根据镶嵌的知识可知，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，据此即可解答． 【解题过程】 （1）解：根据正多边形的内角和公式可知，正n边形的内角和， 故n边形一个内角度数为， 当正多边形有3条边时，内角度数为； 当正多边形有4条边时，内角度数为； 当正多边形有5条边时，内角度数为； 当正多边形有6条边时，内角度数为． 填表如下： 正多边形边数 3 4 5 6 … 正多边形每个内角的度数 … 故答案为：，，，． （2）解：根据镶嵌的知识可知，使得几个图形的角度之和为时，可以进行镶嵌，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除时，则可以进行镶嵌， 可知均可以整除，当正多边形的内角度数大于时，都不能整除， 故只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌． 27．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）观察上面表格中的变化规律，与边数的关系为：____________． （3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，然后求解即可； （2）根据表格中的数据总结规律即可； （3）利用（2）中总结的公式分析计算即可． 【解题过程】 （1）解：正多边形每个内角的度数为， 则当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 所以，可填写表格如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）结合（1）可知，对于边形， 可有， 所以，与边数的关系为． 故答案为：； （3）存在一个正多边形，其中的． 由（2）可知，，解得， 所以，当的值为10时，在该正多边形中，其中的． 28．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． （1）初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． （2）模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． （3）构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． （4）模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【思路点拨】 （1）根据“三角形内角和是“，进行等量代换即可求解； （2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （3）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （4）连接，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规律即可求出n角星内角和． 【解题过程】 （1）解：，，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接， 由（1）得：， 在中，， 即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示， 由（1）可得，， ∴ ； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为， 故答案为：540；． 29．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【思路点拨】 此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则 ，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则 ； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【解题过程】 解：建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示： ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 30．（24-25八年级上·天津和平·期中）如图1， 点分别是正五边形的边上的点，且 交于点P． （1）求 的度数； （2）将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则=   ． （3）探究： 改成正 n边形 ，其他条件不变，则 ．（用含有n的式子表示） 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正五边形、正六边形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）利用正五边形的性质得出，，再证明，然后全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质及等量代换即可解答； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）根据（1）的方法解答即可． 【解题过程】 （1）解：∵正五边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． （2）解：∵正六边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵正n边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， （1）请直接写出　　°，α6=　　°； （2）请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； （3）爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了正多边形、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用， （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）设与的交点为F，利用全等三角形的判定得，进而得即可得出结论． 【解题过程】 （1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 由正六边形，可得∶ ∴，， ∴， ∴； 故答案为∶108，120； （2）根据（1）中的结果发现，等于正n边形一个内角的度数， ， 故答案为∶； （3）解：同意，理由如下： 设与的交点为F， 由正五边形，可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴；                    ∴， ∴我同意小敏的观点． 32．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】 （1）如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】 （3）若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了多边形及其内角和以及角平分线，掌握多边形及其内角和是关键． （1）根据角平分线以及三角形内角和即可求解； （2）根据角平分线以及四边形内角和，类比第一问的方法即可求解； （3）根据角平分线以及六边形内角和，类比第二问的方法即可求解． 【解题过程】 （1）解：．理由如下： 、分别平分和， ， ， ， ， ， 即； （2）解：．理由如下： 、分别平分和， ， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 六边形的内角和为：， 、分别平分和， ， ， ， ， ， ， 即． 33．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． （1）如图1，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【思路点拨】 本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 34．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    【思路点拨】 （1）①根据三角形内角和定理求出，，根据四边形内角和定理求出结果即可； ②根据三角形和四边形内角和定理求出，然后根据求出结果即可； （2）延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，根据，得出延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，假设五边形为“完美五边形”，得出，根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，，求出，得出、、、不可能相等，假设不成立，即可证明结论． 【解题过程】 解：（1）①∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）五边形不是“完美五边形”；理由如下： 延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：    ∵， ∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角， ∴假设五边形为“完美五边形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中， 在中， ∴，这与矛盾， ∴、、、不可能相等，假设不成立， ∴五边形不是“完美五边形”． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$