八年级数学下学期期中模拟试卷02（测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷02 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，1， B．4，5，6 C．6，8，11 D．5，12，23 5．使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 9．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．当x 时，二次根式有意义． 12．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 13．平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 14．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 15．已知：如图中，，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 ． 16．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，在平行四边形中，已知M和N分别是边的中点，求证，四边形是平行四边形． 19．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 21．在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 22．如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成． (1)写出A、B、C的坐标； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为，画出，并直接写出D点的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 23．观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 24．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下学期期中模拟试卷02 满分：120分 测试范围： 二次根式、勾股定理、平行四边形 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、中，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．下列根式中属最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）被开方数不能含有分母；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、是最简二次根式，正确； B、，不是最简二次根式，错误； C、，不是最简二次根式，错误； D、，不是最简二次根式，错误； 故选A． 3．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，1， B．4，5，6 C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐项判断即可，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴1，1，能构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴4，5，6 不能构成直角三角形，不合题意； C、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意； D、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意； 故选：A． 5．使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 6．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 7．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， 故选：B． 8．如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 9．如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 10．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， , ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ，故②正确； 由②知：， ， 故③正确； ， ，故④错误； ， 为等腰三角形的角平分线， 平分，故⑤正确， 故正确的为：①②③⑤， 故选：B． 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．当x 时，二次根式有意义． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故答案是： 12．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 14．对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知：如图中，，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点关于的对称点连接，则：，当三点共线时，的值最小，过点作，垂足为，勾股定理求出，利用轴对称的性质，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点关于的对称点连接，则：，当三点共线时，的值最小，过点作，垂足为． ∵点与关于对称， ∴． ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理，轴对称—最短路径问题，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握利用轴对称的性质解决线段和最小的问题，是解题的关键． 16．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，由直角三角形的特征得 ，，，由勾股定理得，同理可求：，，，设，，，由勾股定理得，，可得，求出，由即可求解． 【详解】解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 由折叠得：， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关性质，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，进行二次根式的混合运算首先要把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； 首先把二次根式化简，可得：原式，然后再去括号、合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可； 首先根据完全平方公式展开，可得：原式，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．如图，在平行四边形中，已知M和N分别是边的中点，求证，四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，中点得到，进而得到，再根据，即可得证． 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵M和N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 21．在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．如图，直角坐标系中的网格由单位为1的正方形构成． (1)写出A、B、C的坐标； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为，画出，并直接写出D点的坐标． (3)在x轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请在图中找出这个点，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)画图见解析， (3)画图见解析，的最小值为 【分析】（1）根据A、B、C的位置可得其坐标； （2）取格点，满足，，即可得到答案； （3）如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求． 【详解】（1）解：由题意可得：，，； （2）解：如图，即为所求， 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； ∴； （3）解：如图，作关于轴对称的点，连接交轴于，则点即为所求， 理由：∵关于轴对称的点是， ∴， ∴， 此时， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是写出坐标系内点的坐标，画平行四边形，平行四边形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，熟练的作图是解本题的关键． 23．观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： (1)计算： ； (2)若n为正整数，请你猜想 ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解： 24．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒 (3)的长为 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （4）如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$