重难点17 菱形的性质与判定的综合八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点06 菱形的性质与判定的综合运用 ▲知识点一：菱形的定义 ●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. ★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. ▲知识点二：菱形的性质 ★1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ★2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； ▲知识点三：菱形的判定 ●菱形的判定方法： ★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ★3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 【题型一 利用菱形的性质求角度】 【例题1】（2024•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【变式1-1】（2024秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-2】（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【变式1-3】（2024秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　． 【变式1-4】（2024秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 　 　． 【变式1-5】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 【例题2】（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2-1】（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 【变式2-2】（2024秋•神木市期中）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，点E是BC上一点，连接AE，DE，BD，AE与BD交于点O，四边形ABED是菱形，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式2-3】（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为 　 　． 【变式2-4】（2024秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 ． 【变式2-5】（2024秋•渝中区校级期末）如图，已知四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点E． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD＝30°，求CE的长． 【题型三 利用菱形的性质求周长或面积】 【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【变式3-1】（2024秋•长春期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 【变式3-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 【变式3-3】（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【变式3-4】（2024秋•龙岗区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．72 C．96 D．108 【变式3-5】（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【变式3-6】（2024•德城区校级开学）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积． 【题型四 利用菱形的性质进行证明】 【例题4】（2024秋•富平县期中）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，连接BE，BF，BD．求证：∠DBF＝∠DBE． 【变式4-1】（2024秋•三元区期中）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，AE＝CF． 求证：∠DEF＝∠DFE． 【变式4-2】（2024秋•楚雄州期末）如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE． 【变式4-3】（2024秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF． 【变式4-4】（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 【变式4-5】（2024•邗江区校级三模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连结AF，CE，AC． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由． 【变式4-6】（2024春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长； （2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH． 【题型五 菱形判定的条件】 【例题5】（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【变式5-1】（2024秋•芗城区校级期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【变式5-2】（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【变式5-3】（2024•邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【变式5-4】（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以 是 　 　（写出一个即可）． 【变式5-5】（2024春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 【变式5-6】如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【题型六 菱形的判定的证明】 【例题6】（2024秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 【变式6-1】（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形． 【变式6-2】（2024秋•新城区期末）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，连接AC并延长交FE的延长线于点D，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 【变式6-3】（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【变式6-4】（2024•东莞市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明． 【变式6-5】（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 【变式6-6】（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 【题型七 菱形的性质与判定的综合应用】 【例题7】（2024春•龙沙区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】（2024春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（　　） A．4 B．8 C．4 D． 【变式7-2】（2024•邯山区校级一模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【变式7-3】（2024春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系： ①AD＝AB； ②AD＝BC； ③∠DAC＝∠ACD； ④AO＝BO， 其中一定成立的是 　 　.（只填序号） 【变式7-4】（2024秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 【变式7-5】（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【变式7-6】（2024春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长． 【题型八 菱形与矩形的综合应用】 【例题8】（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 【变式8-1】（2024•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（　　） A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形 【变式8-2】（2024春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）当∠ABD＝60°，AD＝4时，求ED的长． 【变式8-3】（2024秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 【变式8-4】（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 【变式8-5】（2022春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 【变式8-6】（2024春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）①对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是矩形； ②对角线AC，BD满足　 时，四边形DEBF是菱形． 1．（2024秋•法库县期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若∠ABC＝50°，则∠DAC的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 2．（2024秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． B． 3．（2025•汕头模拟）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 5．（2024春•东昌府区校级期末）如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 6．（2024秋•钢城区期末）如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　 　． 7．（2024春•船营区校级月考）如图，菱形ABCD的面积是10，▱AEFC的面积是 　 　． 8．（2025•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD为菱形，点E为CD边上一点，连接BE，点F为AD延长线上一点，连接CF，若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 9．（2024秋•西安期末）如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形． 10．（2023秋•枣庄期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长． 11．（2024春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB． （1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形； （2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 12．（2024春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 菱形的性质与判定的综合运用 ▲知识点一：菱形的定义 ●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可. ★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法. ▲知识点二：菱形的性质 ★1、菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质. ②菱形的四条边都相等. ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. ⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等. 性质定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD； AC平分∠BAD，AC平分∠BCD； BD平分∠ABC，BD平分∠ADC； ★2、菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） ③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； ▲知识点三：菱形的判定 ●菱形的判定方法： ★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. ★2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理1应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形. ★3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形. 定理2应用格式： ∵ AB=BC=CD=AD, ∴ 四边形ABCD是菱形. 【要点解析】 （1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的； （2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等. ②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直. （3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等. 【题型一 利用菱形的性质求角度】 【例题1】（2024•自贡一模）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论． 【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°， ∵AE＝1，AE⊥BC， ∴AEAB， ∴∠B＝30°， ∴∠DAB＝150°， ∴∠DAB：∠B＝5：1； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键． 【变式1-1】（2024秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， 在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用互余解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAO∠BAD， ∴∠DFO+∠FDO＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠FDO+∠ABO＝90°， ∴∠DFO＝∠ABO， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°， 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答． 【变式1-3】（2024秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　． 【分析】根据菱形的性质即可解答． 【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2， ∴∠DAB＝40°， ∵DC∥AB， ∴∠ADC＝140°， ∴∠2＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【变式1-4】（2024秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 　 　． 【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD10（cm），AB∥CD， ∴∠D+∠BAD＝180°， 又∵AC＝10cm， ∴AD＝CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠DAB＝120°， 故答案为：60°，120°． 【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，证明△ACD为等边三角形是解题的关键． 【变式1-5】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数． 【分析】先连接AC，证明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出∠CEF的度数． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝∠EAF＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°， ∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC， ∴∠BAE＝∠FAC， 在△ABE与△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝∠D＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， 又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°， ∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°． 【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 【例题2】（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【分析】由菱形的性质可得AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD，由勾股定理可求BO的长，即可求解． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD， ∴BO4， ∴BD＝8 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式2-1】（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　） A． B．8 C．4 D． 【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD， ∴AC＝16， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴， ∵菱形ABCD的面积， ∴BD＝8， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得． 【变式2-2】（2024秋•神木市期中）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，点E是BC上一点，连接AE，DE，BD，AE与BD交于点O，四边形ABED是菱形，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】求解DE5，可得DE＝BE＝AB＝AD＝5，再求解BD4，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD中，∠C＝90°， ∴△CDE是直角三角形， 在Rt△CDE中，EC＝3，CD＝4， 由勾股定理得：DE5． ∵四边形ABED是菱形， ∴DE＝BE＝AB＝AD＝5，OB＝OD， ∴BC＝BE+EC＝8， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：BD， ∴BOBD＝2， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，菱形的性质，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 【变式2-3】（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为 　 　． 【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC是等边三角形，从而得出AC＝AB＝3． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△ABC是等边三角形是解题的关键． 【变式2-4】（2024秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 ． 【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD， ∴BO＝2， ∴AOBO＝2， ∴AB＝2AO＝4， ∵E为AD的中点，∠AOD＝90°， ∴OEAD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式2-5】（2024秋•渝中区校级期末）如图，已知四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点E． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD＝30°，求CE的长． 【分析】（1）由菱形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，推出∠OCF＝∠OAE，再利用“ASA”即可证明△AOE≌△COF； （2）根据菱形的性质得出，AC⊥BD，AD＝4，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，，求出∠AEO＝90°，从而得出，AE＝3，再由全等三角形的性质得出CF＝AE＝3，，∠CFO＝∠AEO＝90°，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴∠OCF＝∠OAE， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）解：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°， ∴，AC⊥BD，AD＝4， ∴， ∴， ∵∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝90°﹣∠DOE＝60°， ∴∠AEO＝180°﹣∠OAE﹣∠AOE＝90°， ∴， ∴， ∵△AOE≌△COF， ∴CF＝AE＝3，，∠CFO＝∠AEO＝90°， ∴， ∴． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型三 利用菱形的性质求周长或面积】 【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C． D． 【分析】先根据菱形的性质证明AB＝BC＝CD＝AD，在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出AB＝BC＝AC＝6，从而求出菱形周长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长为： AB+BC+CD+AD ＝6+6+6+6 ＝24， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质． 【变式3-1】（2024秋•长春期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理求边长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵AC＝24，BD＝10， ∴AOAC＝12，BOBD＝5， 在Rt△AOB中， AB13， ∴菱形的周长＝13×4＝52． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．8 B． C．6 D．4 【分析】根据菱形的性质得到，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， ∴AD＝2OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2， ∴， ∴AD＝2， ∴菱形ABCD的周长为4AD＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．48 B．32 C．24 D．16 【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△COD为直角三角形． ∵OE＝4，点E为线段CD的中点， ∴CD＝2OE＝8． ∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝8． 【变式3-4】（2024秋•龙岗区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝3，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．72 C．96 D．108 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，由DH⊥AB于点H，得∠BHD＝90°，因为OA＝8，OH＝3，所以AC＝2OA＝16，BD＝2OH＝6，则S菱形ABCDAC•BD＝48，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵DH⊥AB于点H， ∴∠BHD＝90°， ∵OA＝8，OH＝3， ∴AC＝2OA＝16，BD＝2OH＝6， ∴S菱形ABCDAC•BD16×6＝48， 故选：A． 【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出AC的长及BD的长是解题的关键． 【变式3-5】（2024秋•达州期末）如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得BD与AC互相垂直平分，再根据AC平分∠DAB，BF平分∠CBE，可以证明AC∥FB，根据平行线间的距离处处相等可得S△CBG＝S△ABG，进而可得S△ACG＝S△ABC． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴OA＝OC＝24， ∴OB＝OD10， ∵DA∥CB， ∴∠DAB＝∠CBE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CABDAB， ∵BF平分∠CBE， ∴∠FBECBE， ∴∠CAB＝∠FBE， ∴AC∥FB， ∴S△CBG＝S△ABG， ∴S△ACG＝S△ABCAC•OB48×10＝240， 则△ACG的面积为240． 故答案为：240． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【变式3-6】（2024•德城区校级开学）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）通过证明四边形OCEB是矩形来推知OE＝CB； （2）利用（1）中的AC⊥BD、OE＝CB，结合已知条件，在Rt△BOC中，由勾股定理求得，．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∵CE∥BD，EB∥AC， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴四边形OCEB是矩形， ∴OE＝CB； （2）解：由（1）知，AC⊥BD，BC＝OE＝2， ∵OC：OB＝1：2， ∴设OC＝x，则OB＝2x， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，即4＝x2+4x2， 解得（负值已舍）， ∴，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴菱形ABCD的面积是：． 【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理矩形的判定与性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 【题型四 利用菱形的性质进行证明】 【例题4】（2024秋•富平县期中）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，连接BE，BF，BD．求证：∠DBF＝∠DBE． 【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质即可求证． 【解答】证明：点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF， ∴AB＝BC，∠A＝∠C，∠DBA＝∠DBC， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠DBF＝∠DBE． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等． 【变式4-1】（2024秋•三元区期中）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，AE＝CF． 求证：∠DEF＝∠DFE． 【分析】先证明△DAE≌△DCF，根据性质得出DE＝DF即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C， 在△DAE和△DCF中， ， ∴△DAE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 【变式4-2】（2024秋•楚雄州期末）如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定即可证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， ∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠BCA＝∠DCA， ∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE， ∴△CDE≌△CBE（SAS）， ∴DE＝BE， 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是关键． 【变式4-3】（2024秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF． 【分析】由菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∵BF＝DE， ∴BF﹣OB＝DE﹣OD， ∴OF＝OE， ∴AE＝AF． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【变式4-4】（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB， ∵BE＝BF， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAM＝∠DCN， ∵∠ADM＝∠CDN， ∴∠DMA＝∠DNC， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DM＝DN． 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式4-5】（2024•邗江区校级三模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连结AF，CE，AC． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若四边形AFCE是菱形，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD、BC的中点，得出AE＝CF，AE∥CF，从而判断即可； （2）根据菱形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝DEAD，CF＝BFBC， ∵AD＝BC， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， 又∵CF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA＝180°， ∴∠FAB+∠FAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质．菱形的性质以及直角三角形的判定，熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质是解题的关键． 【变式4-6】（2024春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长； （2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH． 【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得出答案； （2）由菱形的性质及三角形内角和定理可得出答案． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴OA4cm，OBBD＝3cm， ∴AB5（cm）， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH（cm）； （2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD， ∴OH＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， ∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAH＝2∠OAB， ∵∠OAB＝90°﹣∠OBH， ∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH， ∴∠BOH＝∠DAH． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【题型五 菱形判定的条件】 【例题5】（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、C、B不正确；即可得出结果． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝∠ADC， 不能得出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【变式5-1】（2024秋•芗城区校级期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（　　） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可得答案． 【解答】解：由“甲测量出两组对边分别相等”推知该地板砖是平行四边形， 则当一组邻边相等时，该平行四边形的地板砖是菱形， 则根据菱形的性质知：乙测量出一组邻边相等， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握判定定理即可． 【变式5-2】（2024秋•温县期中）如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【分析】根据∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出∠AOB＝90°，得出AC⊥BD，即可判断B不符合同意；根据∠BAO＝∠DCO无法判断四边形ABCD为菱形，即可判断C符合题意；根据∠ABO＝∠CBO，证明∠ABO＝∠ADB，得出AB＝AD，即可判断D不符合同意． 【解答】解：A．由∠ABD＝∠ADB得出AB＝AD，四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故不符合题意； B．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵OA2+OB2＝CD2， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C．由∠BAO＝∠DCO不能证明▱ABCD是菱形，故符合题意； D．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠ABO＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键． 【变式5-3】（2024•邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 【变式5-4】（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以 是 　 　（写出一个即可）． 【分析】先证四边形AEFB是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 【变式5-5】（2024春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 　 　，使四边形AEDF是菱形． 【分析】根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【解答】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用菱形的判定解答． 【变式5-6】如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下： 由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED是菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键． 【题型六 菱形的判定的证明】 【例题6】（2024秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形． 【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论． 【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴． ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC＝CD， ∴四边形BCDE是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键． 【变式6-1】（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DC， ∴∠DCA＝∠OAB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【变式6-2】（2024秋•新城区期末）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，连接AC并延长交FE的延长线于点D，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 【分析】由平行四边形的性质得EF∥AB，则∠D＝∠CAB，由点C为BE的中点，得CE＝CB，EB＝2CE，而∠DCE＝∠ACB，即可根据“AAS”证明△DCE≌△ACB，得DE＝AB，因为DE＝2CE，所以AB＝2CE，推导出AB＝EB，则四边形ABEF为菱形． 【解答】证明：∵四边形ABEF是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴∠D＝∠CAB， ∵点C为BE的中点， ∴CE＝CB，EB＝2CE， 在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（AAS）， ∴DE＝AB， ∵DE＝2CE， ∴AB＝2CE， ∴AB＝EB， ∴四边形ABEF为菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明△DCE≌△ACB是解题的关键． 【变式6-3】（2024秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形． 【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DMAC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵MN⊥BD， ∴∠BMN＝∠DMN， ∵BN∥DM， ∴∠BNM＝∠DMN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∴BM＝BN， ∴BN＝DM＝BM＝DN， ∴四边形BNDM是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式6-4】（2024•东莞市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明． 【分析】（1）由平行四边形的性质知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS证得△ADF≌△CBE； （2）平行四边形的性质知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根据平行四边形的判定得到四边形AECF是平行四边形，由AC⊥EF可得平行四边形AECF是菱形． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CBE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）解：补充的条件是：AC⊥BD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键． 【变式6-5】（2024•市南区校级开学）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBD， ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 【变式6-6】（2024•市南区校级一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由． 【分析】（1）证∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，再证FH是△ADE的中位线，得FG是线段ED的垂直平分线，则GE＝GD，∠CGE＝∠GDE，然后由AAS证△ECG≌△GHD即可； （2）由含30°角的直角三角形的性质得AEAD，则AE＝AF＝FG，得四边形AEGF是平行四边形，然后由AE＝AF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AF＝FG， ∴∠FAG＝∠FGA， ∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG＝∠FAG， ∴∠CAG＝∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED， ∴∠C＝90°， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴FH是△ADE的中位线， ∴H是ED的中点 ∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE＝GD，∠DHG＝90°， ∴∠GDE＝∠GED， ∴∠CGE＝∠GDE， 在△ECG和△GHD中， ， ∴△ECG≌△GHD（AAS）； （2）解：当∠B为30°，四边形AEGF为菱形，理由如下： 由（1）得：DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝30°， ∴AEAD， ∴AE＝AF＝FG， 由（1）得：AE∥FG， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AEGF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质，证明DE∥BC是解题的关键． 【题型七 菱形的性质与判定的综合应用】 【例题7】（2024春•龙沙区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由“AAS”可证△ABG≌△DEG，可得AG＝DG，由三角形中位线定理可得OGCDAB，OG∥CD，可得∠FOG＝∠BAC＝30°，故①和②正确；由菱形的判定可证四边形ABDE是菱形，故④正确；由面积和差关系可证③正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，OG∥CD， ∴OG∥AB， ∴∠FOG＝∠BAC＝30°， ∴①和②正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形， ∴④正确； ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABD＝S△BDES菱形ABDE， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△ODG， ∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ∴③正确； 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式7-1】（2024春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（　　） A．4 B．8 C．4 D． 【分析】根据作图可得：OA＝AC＝BC＝OB，从而可得四边形OACB是菱形，然后利用菱形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： OA＝AC＝BC＝OB， ∴四边形OACB是菱形， ∵AB＝2，OC＝4， ∴菱形OACB的面积OC•AB 4×2 ＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】（2024•邯山区校级一模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，然后根据给出的方案进行判定即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∵BM＝DN， ∴OM＝ON， ∵OA＝OC，MN⊥AC， ∴四边形AMCN是菱形， 故方案甲正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC， ∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线， ∴∠MAC＝∠NAC， ∵∠AOM＝∠AON＝90°， 在△AOM和△AON中， ， ∴△AOM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON， ∵OA＝OC， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵AC⊥MN， ∴四边形AMCN是菱形． 故方案乙正确． 故选：C． 【点评】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形． 【变式7-3】（2024春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系： ①AD＝AB； ②AD＝BC； ③∠DAC＝∠ACD； ④AO＝BO， 其中一定成立的是 　 　.（只填序号） 【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，得到AD＝BC，即可得出结论． 【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC， 故答案为：②． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． 【变式7-4】（2024秋•渝中区校级期末）如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数． 【分析】（1）证△AOB≌△OCD（ASA），则OB＝OD，再证四边形ABCD是平行四边形，然后证∠BAC＝∠BCA，得AB＝CB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠ACB＝∠ACD＝27°，则∠ECF＝36°，再由直角三角形斜边上的中线性质得OEAC＝OC，则∠OEC＝∠OCE＝63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠OAB＝∠OCD， ∵O为AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOB和△OCD中， ， ∴△AOB≌△OCD（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°， ∴∠DCE+∠AEC＝180°， ∴∠DCE＝90°， ∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°， 由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°， ∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°， ∵∠AEC＝90°，OA＝OC， ∴OEAC＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE＝63°， ∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°， 即∠CFO的度数为99°． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-5】（2024秋•遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形内部框架AECF为菱形． （2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长． 【分析】（1）通过ABCD为菱形得到OB＝OD，OA＝OC，又BE＝DF，所以可知OE＝OF，从而得到AECF为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知△ADE是直角三角形，F为斜边的中点，得到AE＝EF＝AF，进而可得到△AEF是等边三角形，再通过角度计算出∠ADE＝30°，再通过勾股定理求出AE，进而可得到四边形AECF的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：∵AE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形， ∵F为DE的中点， ∴AF＝EF＝DF． ∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°， 又∵AE⊥AD． ∴∠EAD＝90°． ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2AE． ∵四边形ABCD为菱形． ∴． 在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2， ∴ ∴AE＝6（负值舍去）． ∵四边形AECF为菱形， ∴菱形AECF的周长为4×6＝24． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 【变式7-6】（2024春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证四边形ABEF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得AB+BC＝10，再证AB＝BE＝4，然后证△ABE是等边三角形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CE＝DF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AB＝BE， ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长为20， ∴AB+BC＝10， 即AB+BE+CE＝10， ∵AB＝BE，CE＝2， ∴AB＝BE＝4， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝4， 即AE的长为4． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【题型八 菱形与矩形的综合应用】 【例题8】（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 【分析】（1）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵CE＝CD，CF＝BC， ∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线， ∴OC∥BE， ∴BE⊥BD， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形BEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OAAC， 由（2）可知，OC是△BDE的中位线， ∴BE＝2OC＝AC， ∵四边形BEFD是矩形， ∴EF＝BD＝1，BE＝DF， ∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-1】（2024•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（　　） A．MP∥AC B．AM＝AN C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形 【分析】由线段垂直平分线的性质得AM＝PM，AN＝PN，则∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再证∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，则AM∥PN，MP∥AC，得四边形AMPN是平行四边形，然后证平行四边形AMPN是菱形，即可得出结论． 【解答】解：∵MN垂直平分AP， ∴AM＝PM，AN＝PN， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA， ∵AP是△ABC的角平分线， ∴∠MAP＝∠NAP， ∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA， ∴AM∥PN，MP∥AC， ∴四边形AMPN是平行四边形， 又∵AM＝PM， ∴平行四边形AMPN是菱形， ∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分线， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）当∠ABD＝60°，AD＝4时，求ED的长． 【分析】（1）先由平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再由菱形的性质得到∠COB＝90°，故四边形OBEC是矩形； （2）证出△ABD为等边三角形，得BD＝AD＝AB＝2，则OD＝OB，由勾股定理求出OA，进而得出答案． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD， ∴BE∥OC，CE∥OB， ∴四边形OBEC为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC是矩形； （2）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD＝AD＝AB＝4， ∴OD＝OB＝2， 在Rt△AOD中，AO2， ∴OC＝OA＝2， ∵四边形OBEC是矩形， ∴BE＝OC＝2， ∴ED2． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-3】（2024秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F． （1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由； （2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长． 【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下： ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠BFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠DEB+∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°， ∴四边形DEBF是矩形； （2）解：连接PB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB＝PD， 由（1）知，四边形DEBF是矩形， ∴DE＝FB＝6， 设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x， 在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2， 解得：x， ∴PD． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答． 【变式8-4】（2024秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC． （1）求证：四边形BEFD是矩形； （2）求四边形BEFD的周长为多少． 【分析】（1）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵CE＝CD，CF＝BC， ∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线， ∴OC∥BE， ∴BE⊥BD， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形BEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OAAC， 由（2）可知，OC是△BDE的中位线， ∴BE＝2OC＝AC， ∵四边形BEFD是矩形， ∴EF＝BD＝1，BE＝DF， ∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-5】（2022春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）判断四边形OEFG的形状，并证明． （2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解； （2）由菱形的面积公式可求面积，利用面积法可求OG，即可求EF． 【解答】解：（1）四边形OEFG是矩形． 在菱形ABCD中，DO＝BO， 又∵E是AD的中点， ∴AE＝DE，OE∥AB， ∴OE∥FG， 又∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∵四边形OEFG是矩形． （2）菱形的面积． ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴AB＝5． 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴EF＝OG，OG⊥AB． ∴， ∴， ∴OEAB5， 四边形OEFG的面积＝OE×OG6． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式8-6】（2024春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）①对角线AC，BD满足　 　时，四边形DEBF是矩形； ②对角线AC，BD满足　 时，四边形DEBF是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出OE＝OF，那么两组对角线互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形； （2）①由平行四边形对角线相等即可证明四边形ABCD是矩形；②由对角线互相垂直且平分即可证明． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵点E、F分别为OA、OC的中点， ∴，， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：①当AC＝2BD时，平行四边形DEBF是矩形；理由如下： ∵AC＝2BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴平行四边形DEBF是矩形； 故答案为：AC＝2BD． ②当AC⊥BD时，平行四边形DEBF是菱形；理由如下： ∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴BD⊥EF， ∴平行四边形DEBF是菱形， 故答案为：AC⊥BD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定；解题的关键是注意掌握两组对角线互相平分的四边形是平行四边形． 1．（2024秋•法库县期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若∠ABC＝50°，则∠DAC的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【分析】根据题意得出四边形ABCD为菱形，由菱形的性质可得∠ABC+∠DAB＝180°，得到∠DAB的度数，再由，即可得到∠DAC的度数，从而得到答案． 【解答】解：由题可得：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠ABC+∠DAB＝180°，， ∵∠ABC＝50°， ∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 2．（2024秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 【分析】过A作AH⊥BC于H，由四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC＝a，又∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，求出AHa，即可求出菱形ABCD的面积． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 故选：B． 【点评】本题考查菱形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，关键是由菱形的性质，推出△ABC是等边三角形． 3．（2025•汕头模拟）如图，AC为菱形ABCD的对角线，∠ACD＝30°，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据含30°直角三角形性质求得，由菱形的性质得出CD＝AD即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝CB，且AC平分∠BCD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， 在Rt△CDE中，∠CDE＝30°， ∴， 即， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 4．（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程： ∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵____， ∴四边形ABCD是菱形； 为使推理成立，横线上可以添加的条件是（　　） A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断即可． 【解答】解：∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 故选：D． 【点评】本题主要考查菱形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5．（2024春•东昌府区校级期末）如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB＝AC B．AE＝CE C．CD⊥AB D．CD平分∠ACB 【分析】当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形，可知先证明四边形DECF是平行四边形，再证明ED＝EC即可解决问题． 【解答】解：当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE＝EC， ∴四边形DECF是菱形． 其余选项均无法判断四边形DECF是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2024秋•钢城区期末）如图，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点B的坐标为　 　． 【分析】过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 【解答】解：过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E， ∴AD∥BE，∠ADO＝90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB，AB∥OC， ∴四边形ADEB是矩形， ∴AD＝BE，AB＝DE， ∵点A的坐标为（﹣3，4）， ∴AD＝4，OD＝3， ∴， ∴BE＝4，AB＝DE＝5， ∴OE＝DE﹣OD＝2， ∴点B（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7．（2024春•船营区校级月考）如图，菱形ABCD的面积是10，▱AEFC的面积是 　 　． 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质得到A C⊥B D，B O＝D O，，得到AC•BO＝10，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝DO，， ∴AC•BD＝AC•2BO＝10×2＝20， ∴AC•BO＝10， ∴S▱AEFC＝AC•BO＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8．（2025•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD为菱形，点E为CD边上一点，连接BE，点F为AD延长线上一点，连接CF，若∠DEB＝∠FCB，求证：BE＝CF． 【分析】由菱形的性质得BC＝CD，AF∥BC，再证∠BEC＝∠F，∠CBE＝∠DCF，然后由AAS证得△CBE≌△DCF，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，AF∥BC， ∴∠F+∠FCB＝180°， ∵∠DEB+∠BEC＝180°，∠DEB＝∠FCB， ∴∠BEC＝∠F， ∵∠DEB＝∠CBE+∠BCD，∠FCB＝∠DCF+∠BCD， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CF． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2024秋•西安期末）如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】由平行四边形的性质得∠A＝∠C，而∠ABE＝∠CBF，AE＝CF，即可根据“AAS”证明△ABE≌△CBF，得AB＝CB，则四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AB＝CB， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△CBF是解题的关键． 10．（2023秋•枣庄期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长． 【分析】（1）先证AO⊥OB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝2OA＝6，由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， ∵∠ABO＝∠ACE， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AO⊥OB， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4， ∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝2， ∴∠AOB＝90°， ∴OA6， ∴AC＝2OA＝12， ∵CE⊥AB， ∴OEAC＝6． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 11．（2024春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB． （1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形； （2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，再证∠DBE＝90°，根据矩形的判定得出即可． （2）根据平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，求出BF＝DG，根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形，求出DF＝BF，根据菱形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝CB， ∴AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， 又∵DB⊥CB， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）解：四边形DFBG是菱形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∵点F，G分别是AB，CD的中点， ∴BF，DG， ∴BF＝DG， ∴四边形DFBG是平行四边形， 由（1）可知，四边形AEBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， ∵F是AB的中点， ∴DFAB＝BF， ∴平行四边形DFBG是菱形． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 12．（2024春•嘉鱼县期末）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠2＝∠ACB，证出∠1＝∠ACB，得AB＝CB，即可得出▱ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，再证∠CBE＝∠CEB，得CE＝BC＝5，则AC＝AE+CE＝8，然后由勾股定理求出BO＝3，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠ACB， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠ACB， ∴AB＝CB， ∴▱ABCD是菱形． （2）解：由（1）可知，▱ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5，AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE， ∵AE＝AF＝3， ∴∠AFE＝∠AEF， 又∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝BC＝5， ∴AC＝AE+CE＝3+5＝8， ∴AOAC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO3， ∴BD＝2BO＝6， 即BD的长为6． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$