课时梯级训练(25) 实际问题中导数的意义（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(25)　实际问题中导数的意义 1．在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示(　　) A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量 C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度 A　解析：f′(t)表示t时刻的降雨强度． 2．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么当x＝1时原油温度的瞬时变化率是(　　) A．8 B． C．－1 D．－8 C　解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率为－1. 3．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 C　解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 4．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径(　　) A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C D　解析：根据题意知，V＝πR3(t)， S＝4πR2(t)， 球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)＝C， 球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)＝， ∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C. 5．某汽车行驶的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2. 答案：14　解析：∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2). 6．如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________． 答案：25 000π　解析：∵面积S＝πr2，半径r＝50t，∴S＝2 500πt2. 令r＝50t＝250，∴t＝5，又S′＝5 000πt，∴当t＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π. 7．工厂需要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y(单位：m)是利用原有墙壁长度x(单位：m)的函数． (1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)堆料场的长、宽之比为多少时，砌起的新墙需要用的材料最省？ 解：(1)由题意知，矩形堆料场利用原有的墙壁的边长为x m，另一边为 m， 则砌起的总长度y＝x＋2×＝x＋，x>0. (2)y′＝1－，令y′＝0，得x＝32(x＝－32舍去)， 当0<x<32时，y′<0，当x>32时，y′>0. 故当0<x<32时，y随着x的增大而减小，当x>32时，y随着x的增大而增大． 由以上可知，当长x＝32 m，宽＝16 m时，y有最小值， 所以堆料场的长与宽的比为2∶1时，需要砌的墙所用材料最省． 8．航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？ (2)求航天飞机升空后在第2 s内的平均速度； (3)求航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度． 解：(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度； h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度； h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度． (2)航天飞机升空后2 s内的平均速度 v＝＝ ＝170(m/s). (3)由h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，∴h′(t)＝15t2＋60t＋45， ∴h′(2)＝60＋120＋45＝225(m/s). 因此，航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度为225 m/s. 9．某港口一天24 h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin ，则下列说法正确的是(　　) A．S(t)在[0，2]上的平均变化率为 m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．当t＝4时潮水起落的高度为 m/h A　解析：对于A，S(t)在[0，2]上的平均变化率为＝＝(m/h)，故A正确； 对于B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为1个周期T＝＝12 h，故B错误； 对于C，∵S(6)＝3sin ＝，没有达到最低，故C错误； 对于D，S′(t)＝×3cos ，则S′(4)＝×3cos ＝，故D错误． 10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的解析式可以表示为y＝x3－x＋9(0<x≤120).若甲、乙两地相距200 km，当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速度是(　　) A．70 km/h B．80 km/h C．90 km/h D．100 km/h C　解析：当速度为x km/h，汽车从甲地到乙地需行驶 h， 设耗油量为f(x) L，依题意得 f(x)＝×＝x2＋－8(0<x≤120)， 则f′(x)＝x－(0<x≤120). 令f′(x)＝0，得x＝90， 当x∈(0，90)时，f′(x)<0，f(x)是减函数； 当x∈(90，120)时，f′(x)>0，f(x)是增函数． 所以当x＝90时，函数f(x)取最小值， 即汽车匀速行驶的速度是90 km/h时，从甲地到乙地耗油最少． 11．某银行贷款年利率为r，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算(即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息)，设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额(本金、利息之和)分别为a，b，则a，b的大小关系是________． 答案：a<b　解析：由题可得，按年计息：a＝p(1＋r)，按月计息：b＝p12，则a－b＝p(1＋r)－p12＝p. 令f(r)＝p(r>0)， ∴f′(r)＝p<0， ∴f(r)<f(0)＝0， 故a<b. 12．水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，则当水深10 m时，水面上升的速度为________． 答案： m/min　解析：设容器中水的体积在t min时为V，水深为h， 则V＝20t，V＝πr2h(r如图所示). 由图知＝，∴r＝h，∴V＝π··h3＝h3， ∴20t＝h3，∴h＝，于是h′＝··t－， 当h＝10时，t＝，此时h′＝，∴当水深10 m时，水面上升的速度为 m/min. 13．一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t. (1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(参考数值：ln 2≈0.69，保留两位小数) (2)求Q′(2)，并解释它的实际意义． 解：(1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)， 此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为 ＝≈8.31， 它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A. (2)Q′(t)＝6t－，Q′(2)＝11.5， 它的实际意义是在t＝2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A． 14．某型号汽车的刹车距离s(单位：m)与刹车时间t(单位：s)的关系为s＝5t3－kt2＋t＋10(t>0)，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．(注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离) (1)某人在行驶途中发现前方大约10 m处有一障碍物，若此时k＝8，紧急刹车的时间少于1 s，试问此人是否要紧急避让？ (2)要使汽车的刹车时间不小于1 s，且不超过2 s，求k的取值范围． 解：(1)当k＝8时，s＝5t3－8t2＋t＋10， 这时汽车的瞬时速度为v＝s′＝15t2－16t＋1， 令s′＝0，解得t＝1(舍去)或t＝， 当t＝时，s＝10>10， 故有撞击障碍物的危险，应紧急避让． (2)汽车的瞬时速度为v＝s′，∴v＝15t2－2kt＋1，汽车静止时，v＝0， 故问题转化为15t2－2kt＋1＝0在t∈[1，2]内有解， 即2k＝＝15t＋在t∈[1，2]内有解． 记f(t)＝15t＋，则f′(t)＝15－. ∵t∈[1，2]，∴f′(t)＝15－>0，∴f(t)在[1，2]上单调递增， ∴f(t)在区间[1，2]上的取值范围为， ∴16≤2k≤，即8≤k≤，故k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$