课时梯级训练(19) 简单复合函数的求导法则（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(19)　简单复合函数的求导法则 1．函数f(x)＝x2cos 2x的导数为(　　) A．f′(x)＝2x cos 2x－x2sin 2x B．f′(x)＝2x cos 2x－2x2sin 2x C．f′(x)＝2x cos 2x＋x2sin 2x D．f′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x B　解析：函数f(x)＝x2cos 2x，求导得f′(x)＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x. 2．一个质点的运动速度v(单位： m/s)与时间t(单位：s)满足关系式v＝t7＋(2t＋1)3－1，则当t＝1时，该质点的瞬时加速度为(　　) A．27 m/s2 B．34 m/s2 C．61 m/s2 D．49 m/s2 C　解析：v′＝7t6＋6(2t＋1)2， 当t＝1时，v′＝61，故当t＝1时，质点的瞬时加速度为61 m/s2. 3．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝(　　) A．0 B．1 C．10 D．20 D　解析：令y＝(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 则y′＝20(2x－1)9＝a1＋2a2x＋…＋10a10x9， 令x＝1，则20×(2－1)9＝20＝a1＋2a2＋…＋10a10. 4．曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则a＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由题设，知(0，1)处的切线的斜率为k＝， 又因为y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝，解得a＝. 5．(多选)下列求函数的导数正确的是(　　) A．[ln (2x＋1)]′＝ B．(e2)′＝2e C．()′＝ D．′＝－2sin ACD　解析：对于选项A，根据复合函数的求导法则知，[ln (2x＋1)]′＝，所以选项A正确； 对于选项B，e2是常数，所以(e2)′＝0，所以选项B错误； 对于选项C，根据复合函数的求导法则知，()′＝·＝，所以选项C正确； 对于选项D，根据复合函数的求导法则知，′＝－2sin ，所以选项D正确． 6．已知函数f(x)＝ln (2x)＋f′(1)，则f＝________． 答案：1　解析：已知函数f(x)＝ln (2x)＋f′(1)，则f′(x)＝·2＝，所以f′(1)＝1， 则f(x)＝ln (2x)＋1，故f＝ln 1＋1＝1. 7．已知函数f(x)＝ex－sin 2x，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为__________． 答案：x＋y－1＝0　解析：因为f(x)＝ex－sin 2x，所以f(0)＝e0－sin 0＝1，f′(x)＝ex－2cos 2x， 所以f′(0)＝e0－2cos 0＝－1，切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0. 8．已知函数f(x)＝sin (x2－x)－ln (2x－1)＋ex2－1＋x2－x－. (1)求y＝f(x)的导数； (2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解：(1)f′(x)＝[sin (x2－x)]′－[ln (2x－1)]′＋(e x2－1)′＋′－x′－′ ＝(2x－1)cos (x2－x)－＋2x e x2－1＋x－1. (2)f(1)＝sin (1－1)－ln (2－1)＋e1－1＋－1－＝0，而f′(1)＝(2－1)cos (1－1)－＋2e1－1＋1－1＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0. 9．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos (x2)； (3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2. 解：(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，所以yu′＝－4u－5＝－，ux′＝－3， 所以yx′＝yu′·ux′＝＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u，所以yu′＝－sin u，ux′＝2x， 所以yx′＝yu′·ux′＝－sin u·2x＝－2x·sin (x2). (3)令u＝2x＋1，则y＝log2u，所以yu′＝，ux′＝2， 所以yx′＝yu′·ux′＝＝. (4)令u＝3x＋2，则y＝eu，所以yu′＝eu，ux′＝3， 所以yx′＝yu′·ux′＝3eu＝3e3x＋2. 10．若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则(　　) A．m＋n为定值 B．m＋n为定值 C．m＋n为定值 D．m＋n为定值 B　解析：设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切于点(x0，ex0－2n). 因为y′＝ex－2n，所以ex0－2n＝1，x0＝2n，所以切点为(2n，1)， 代入直线方程得1＝2n＋m，即m＋n＝，故m＋n为定值． 11．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0·2－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 D　解析：∵M′(t)＝－M0·2－·ln 2， ∴M′(30)＝－×M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600. ∴M(t)＝600×2－，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克). 12．已知2f(x)＋xf′(x)＝2x cos 2x＋2(cos x＋sin x)2，且x>0，f＝5，那么f(π)＝________． 答案：2　解析：因为2f(x)＋xf′(x)＝2x cos 2x＋2(cos x＋sin x)2＝2x cos 2x＋2sin 2x＋2， 所以2xf(x)＋x2f′(x)＝2x2cos 2x＋2x·sin 2x＋2x＝(x2sin 2x＋x2＋c)′， 即[x2f(x)]′＝(x2sin 2x＋x2＋c)′，所以x2f(x)＝x2sin 2x＋x2＋c， 因为x>0，则f(x)＝sin 2x＋1＋， 所以f＝1＋＝5，解得c＝π2，所以f(x)＝sin 2x＋1＋， 因此，f(π)＝2. 13．曲线f(x)＝e1－x过原点的切线方程是__________． 答案：y＝－e2x　解析：f(x)＝e1－x，f′(x)＝－e1－x，设切点是(x0，y0)，f′(x0)＝－e1－x0，y0＝e1－x0， 故切线的斜率k＝－e1－x0，切点(x0，e1－x0)，切线方程是y－e1－x0＝－e1－x0(x－x0)， 将(0，0)代入切线方程得－e1－x0＝x0e1－x0， 解得x0＝－1，故过原点的切线方程是y＝－e2x. 14．已知函数y＝e2x＋4－ln (2x＋5). (1)求该函数的导数； (2)求该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角． 解：(1)∵y＝e2x＋4－ln (2x＋5)， ∴y′＝e2x＋4·(2x＋4)′－·(2x＋5)′＝e2x＋4×2－×2＝e2x＋4－. (2)由(1)知，y′＝e2x＋4－，设该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为α， 则tan α＝e2×(－2)＋4－＝－1. 又α∈[0，π)，所以α＝， 所以该函数的图象在x＝－2处的切线的倾斜角为. 15．已知函数y＝ln (2x－1)的图象在x＝处的切线为l. (1)求直线l的倾斜角； (2)函数图象上是否存在一点P到直线m：2x－y＋3＝0的距离最短？若存在，求出最短距离；若不存在，请说明理由． 解：(1)由y＝ln (2x－1)得y′＝， 所以函数y＝ln (2x－1)的图象在x＝处的切线l的斜率为＝1， 由于直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，所以切线l的倾斜角为. (2)存在．作出直线m：2x－y＋3＝0和曲线y＝ln (2x－1)(图略)可知它们无公共点，平移直线m，当与曲线相切时，切点到直线m的距离就是曲线上的点到直线m的最短距离． 由(1)知y′＝. 设切点为P(x0，y0)，则＝2，所以x0＝1，所以y0＝ln (2×1－1)＝0，得点P(1，0). 所以曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线m：2x－y＋3＝0的最短距离为点P(1，0)到直线m：2x－y＋3＝0的距离，最短距离d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$