课时梯级训练(18) 导数的四则运算法则（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(18)　导数的四则运算法则 1．已知函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f′＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D． C　解析：由已知可得，f′(x)＝－sin x＋2f′， 所以，f′＝－sin ＋2f′＝－1＋2f′，所以，f′＝1. 2．已知f(x)＝ln x＋1，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x C．y＝x＋1 D．y＝x－ A　解析：因为f(x)＝ln x＋1，则f′(x)＝，所以，f(e)＝2，f′(e)＝， 因此，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－2＝(x－e)，即y＝x＋1. 3．已知函数f(x)＝＋alog2 x，若f′(1)＝0，则实数a的值为(　　) A．ln 4 B．ln 2 C．－ln 4 D．－ln 2 A　解析：因为f′(x)＝－＋，所以f′(1)＝－2＋＝0，解得a＝ln 4. 4．(多选)下列导数运算正确的是(　　) A．′＝0 B．′＝x＋1 C．′＝1＋ D．(x3－2x)′＝3x2＋2x ln 2 AC　解析：对于A选项：因为cos ＋1是常数，所以′＝0，故A选项正确． 对于B选项：由于(＋x)′＝′＋x′＝x－＋1，故B选项错误． 对于C选项：由于′＝x′－′＝1＋，故C选项正确． 对于D选项：由于(x3－2x)′＝(x3)′－(2x)′＝3x2－2x ln 2，故D选项错误． 5．已知曲线f(x)＝(x＋a)ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　) A． B．1 C．－ D．－1 C　解析：由题设f′(x)＝ln x＋1＋，则f′(1)＝1＋a，又f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝1＋a＝－，所以a＝－. 6．已知函数f(x)＝x3－x－1，其导函数记为f′(x)，则f(2 025)＋f′(2 025)＋f(－2 025)－f′(－2 025)＝________． 答案：－2　解析：f′(x)＝3x2－1，则f(2 025)＋f′(2 025)＋f(－2 025)－f′(－2 025) ＝2 0253－2 025－1＋3×2 0252－1－2 0253＋2 025－1－3×2 0252＋1＝－2. 7．设某质点的位移x(m)与时间t(s)的关系是x＝t2－2cos t，则质点在第 s时的瞬时速度为________m/s. 答案：π＋2　解析：x＝t2－2cos t，则x′＝2t＋2sin t，则当t＝时，x′＝π＋2. 8．求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x－sin x；(4)y＝. 解：(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (2)y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′·(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3. (3)y′＝′＝x′－′＝1－cos x. (4)y′＝′＝＝－. 9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(1，2)，且f′(2)＝4. (1)求a，b的值． (2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解：(1)因为函数f(x)＝x3－ax2＋b的图象过点(1，2)，所以1－a＋b＝2　①. 又f′(x)＝3x2－2ax，f′(2)＝4，所以f′(2)＝3×22－2×2a＝12－4a＝4　②， 由①②解得：a＝2，b＝3. (2)由(1)知f(x)＝x3－2x2＋3，又因为f(1)＝2，f′(1)＝3－4＝－1， 所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 10．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新不动点”，有下列函数： ①g(x)＝x·2x；②g(x)＝－ex－2x； ③g(x)＝ln x；④g(x)＝sin x＋2cos x. 其中只有一个“新不动点”的函数有(　　) A．① B．② C．③ D．④ ABC　解析：对于①，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由g(x)＝g′(x)，得x·2x＝2x＋x·2x·ln 2， 解得x＝，∴g(x)只有一个“新不动点”； 对于②，g′(x)＝－ex－2，由g(x)＝g′(x)，得－ex－2x＝－ex－2，解得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”； 对于③，g′(x)＝，得ln x＝，易知y＝ln x和y＝的图象在第一象限内只有一个交点，∴g(x)只有一个“新不动点”； 对于④，g′(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，即tan x＝－，易知方程tan x＝－有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”． 11．(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是(　　) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝ AD　解析：对于A，由题知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确； 对于B，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误； 对于C，f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误； 对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确． 12．点P是曲线f(x)＝2x2－3ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为________． 答案：　解析：f′(x)＝4x－(x>0)，令f′(x)＝4x－＝1，解得x＝1(x＝－舍去)， 又f(1)＝2，可得与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为(1，2)， 所以点P到直线y＝x－4的最短距离为＝. 13．曲线y＝logax(a>1)与y＝在公共点处有相同的切线，则a＝________． 答案：e 　解析：设y＝f(x)＝logax(a>1)，y＝g(x)＝，则f′(x)＝，g′(x)＝x－， 设f(x)与g(x)的公共点为(x0，y0)，∵f(x)与g(x)在公共点处有相同的切线， ∴即则则ln x0＝2，∴x0＝e2， ∴ln a＝，∴a＝e . 14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3， 所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0. 15．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)由题意得 f′(x)＝ ＝＝， 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，所以 解得则f(x)＝. (2)由(1)可得，f′(x)＝， 所以直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4. 令t＝，则t∈(0，1]，所以k＝4(2t2－t)＝8－， 则k在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$