课时梯级训练(17) 导数的计算（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(17)　导数的计算 1．若f(x)＝2π，则f′(x)＝(　　) A．π2π－1 B．2πln π C．1 D．0 D　解析：∵f(x)＝2π，∴函数f(x)是常函数，∴f′(x)＝0. 2．下列求导数运算中正确的是(　　) A．(4)′＝2 B．(ln x)′＝ C．(3x)′＝x·3x－1 D．(x5)′＝5x4 D　解析：对A，(4)′＝0，故A错误； 对B，(ln x)′＝，故B错误； 对C，(3x)′＝ln 3·3x，故C错误；对D，(x5)′＝5x4，故D正确．故选D. 3．函数f(x)＝sin x在点A(π，f(π))处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．150° D．135° D　解析：因为f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x，所以，f′(π)＝cos π＝－1， 设函数f(x)＝sin x在点A(π，f(π))处的切线的倾斜角为α， 则0°≤α<180°且tan α＝－1，故α＝135°. 4．已知函数f(x)＝x3，则曲线y＝f(x)的切线中斜率等于1的切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．不确定 B　解析：设切点坐标为(x0，x)，由f(x)＝x3可得f′(x)＝3x2， 由f′(x0)＝3x＝1可得x0＝±， 因此，曲线y＝f(x)的切线中斜率等于1的切线的条数为2. 5．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N＋，则f2 024(x)＝(　　) A．sin x B．cos x C．－sin x D．－cos x B　解析：∵f0(x)＝cos x，∴f1(x)＝f′0(x)＝－sin x，f2(x)＝f′1(x)＝－cos x，f3(x)＝f′2(x)＝sin x，f4(x)＝f′3(x)＝cos x＝f0(x)，∴导数的运算结果以4为周期变化，f2 024(x)＝f4(x)＝cos x． 6．已知f(x)＝cos x，则f′＝________． 答案：－1　解析：因为f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－1. 7．设f(x)＝2x，则方程f′(x)＝ln 4的解集为________. 答案：{x|x＝1}　解析：由题得2x ln 2＝ln 4， ∴2x ln 2＝2ln 2，∴2x＝2，∴x＝1. ∴方程的解集为{x|x＝1}． 8．求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝lg x； (3)y＝－2sin ； (4)y＝log2x2－log2x. 解：(1)y′＝(x－2)′＝－2x－3. (2)y′＝(lg x)′＝. (3)∵y＝－2sin ＝2sin＝2sincos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. 9．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝tan x. (1)求曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程； (2)若直线l过坐标原点且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解：(1)因为g(x)＝tan x，所以g′(x)＝，所以g′＝4， 即所求切线的斜率为4，又g＝，所以切线方程为y－＝4， 整理得4x－y＋－＝0. (2)因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，设切点坐标为(x0，ln x0)， 所以切线斜率为k＝，则切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 又因为切线过原点，所以将(0，0)代入切线方程得－ln x0＝·(－x0)，解得x0＝e， 所以切线方程为y－1＝(x－e)，整理得x－ey＝0，即为直线l的方程． 10．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线l的倾斜角的范围是(　　) A．∪ B．[0，π) C． D．∪ A　解析：易知切线的斜率存在∵y＝sin x，∴y′＝cos x．∵cos x∈[－1，1]，∴切线l的斜率的范围是[－1，1]， ∴切线l的倾斜角的范围是∪. 11．设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．下列函数中，在(0，π)上为“严格凸函数”的是(　　) A．y＝ex B．y＝x3 C．y＝cos x D．y＝sin x D　解析：对于A：y＝ex，则y′＝ex，y″＝ex>0恒成立，故A不符合题意； 对于B：y＝x3，则y′＝3x2，y″＝6x，所以当x∈(0，＋∞)时y″>0恒成立，故B不符合题意； 对于C：y＝cos x，则y′＝－sin x，则y″＝－cos x， 所以当x∈时，y″<0，当x∈时，y″>0，故C不符合题意； 对于D：y＝sin x，则y′＝cos x，y″＝－sin x， 所以当x∈(0，π)时，y″<0恒成立，故D符合题意． 12．写出一个同时具有下列性质①②的函数： ①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 则f(x)＝________． 答案：ln x(答案不唯一)　解析：由题意，可写函数f(x)＝ln x， 由f(x1x2)＝ln (x1x2)＝ln x1＋ln x2＝f(x1)＋f(x2)，即满足①； 又由f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝>0，即满足②. 13．过曲线y＝cos x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程为________． 答案：2x－y－＋＝0　解析：∵y＝cos x， ∴y′＝－sin x， 曲线在点P处的切线斜率是k＝－sin ＝－. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为， ∴所求的直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0. 14．已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0). 因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝，所以切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝，所以＝，解得m＝e， 所以k＝，所以切线方程为y＝x，即x－(eln 2)y＝0. (2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行． 设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝，得n＝. 又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<， 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 15．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率． 解：(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′ ＝2x，y2′ ＝3x2. 令2x＝3x2，解得x＝0或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0，此时C1，C2的切线方程均为y＝0； ②当x＝时，2x＝3x2＝，此时C1的切线方程为y－＝， 而C2的切线方程为y－＝，显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去． (2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别取相应的切点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y1′ ＝2x1，y2′ ＝3x. 因为AB的斜率为kAB＝，所以有2x1＝3x＝. 由2x1＝3x，得x1＝x，代入3x＝中，解得x2＝，x1＝. 此时公切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. 学科网（北京）股份有限公司 $$