课时梯级训练(16) 导数的概念及其几何意义（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(16)　导数的概念及其几何意义 1．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于(　　) A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0 B　解析： ＝2 ＝2f′(x0). 2．曲线y＝－2x2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是(　　) A．－4 B．4 C．0 D．不存在 C　解析：k＝ ＝ (－2Δx)＝0.故选C. 3．汽车在笔直的公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，的意义是(　　) A．表示当t＝t0时汽车的加速度 B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度 C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率 D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离 A　解析：由于v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋于0时，＝表示当t＝t0时汽车的加速度． 4．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 D　解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2. 5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 B　解析：由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB). 6．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________. 答案：3　解析：∵f′(1)＝ ＝ ＝a， 又f′(1)＝3，∴a＝3. 7．若曲线f(x)＝在点P处的切线与直线y＝x垂直，则点P的坐标为________． 答案：或　解析：易知曲线在点P处的切线的斜率为－4，设P， 则 ＝ ＝ ＝ ＝－＝－4， 所以x0＝±，则点P的坐标为或. 8．求曲线f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程． 解：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为 k＝ ＝ ＝ ＝ (Δx＋2)＝2. 故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 9．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义． 解：因为＝＝＝3，所以f′(2)＝ ＝3. f′(2)的实际意义为水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s. 10．已知函数f(x)在R上可导，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)<f′(b)<f′(c) B．f′(b)<f′(c)<f′(a) C．f′(a)<f′(c)<f′(b) D．f′(c)<f′(a)<f′(b) A　解析：如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<0<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c). 11．设函数f(x)＝，则 等于(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝－. 12．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝________． 答案：－2　解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2. 13．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为__________． 答案：　解析：设P(x，y)，则曲线C在点P处的切线的斜率 k＝ ＝ ＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2， 又曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是， 所以其斜率k≥1，即2x＋2≥1，解得x≥－. 14．在抛物线f(x)＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 解：设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0. 则f′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0＝4，解得x0＝2， 所以y0＝x＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意． 设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0， 则2x1＝－，解得x1＝－，所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意． 故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0. 15．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx)). (1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的取值范围； (2)用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋x在x＝2处的导数f′(2)，并求曲线f(x)在点A处的切线方程． 解：(1)kAB＝ ＝＝－3－Δx， 因为割线AB的斜率不大于－1，所以－3－Δx≤－1，解得Δx≥－2， 又Δx≠0，所以Δx的取值范围为[－2，0)∪(0，＋∞). (2)因为f′(2)＝ ＝ (－3－Δx)＝－3，又f(2)＝－2， 所以曲线f(x)在点A处的切线方程为y＋2＝－3(x－2)，即3x＋y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$