2.4.1 导数的加法与减法法则&2.4.2 导数的乘法与除法法则（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

导 数 及 其 应 用 §4　　导数的四则运算法则 第二章 4.1　导数的加法与减法法则 4．2　导数的乘法与除法法则 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 理解并掌握导数的四则运算法则． 2．能利用导数公式和四则运算法则求函数的导数． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 这两个函数导数 f′(x)－g′(x) f′(x)＋g′(x) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 kf′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A －3 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：(1)(1，3)或(－1，3)　(2)－2 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　导数的加法与减法法则 设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？ 导数的加法与减法法则 两个函数和(或差)的导数等于______________的和(或差)，即 [f(x)＋g(x)]′＝________________， [f(x)－g(x)]′＝________________． [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝1＋2sin cos ； (3)y＝(x2＋2x). (1)∵y＝x＝x＋2＋， ∴y′＝1－. (2)∵y＝1＋2sin cos ＝1＋sin x，∴y′＝cos x. (3)∵y＝(x2＋2x)＝x ＋2x ，∴y′＝x ＋3x . 应用加法、减法法则求复杂函数的导数的两种技巧 (1)分拆函数，函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式． (2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导． [练1] 求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5； (2)y＝ln x－sin x； (3)y＝5x＋log2x－3. (1)y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x. (2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln 5＋. 知识点二　导数的乘法与除法法则 若函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，那么[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？′＝成立吗？ 导数的乘法与除法法则 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝_____________________， ′＝_________________________________，g(x)≠0. 特别地，[kf(x)]′＝____________，k∈R. (1)f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和． (2)的导数分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方． [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝x2(ln x＋sin x)； (3)y＝＋. (1)y′＝′ ＝＝. (2)y′＝2x(ln x＋sin x)＋x2＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x. (3)y′＝＋ ＝－－. 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪些函数组合成的，确定求导法则，基本公式． (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、 差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． [练2] 求下列函数的导数： (1)y＝4x(x－2)； (2)y＝(log3x)·sin x； (3)y＝. (1)方法一　y′＝(4x)′(x－2)＋4x(x－2)′＝4(x－2)＋4x＝8x－8. 方法二　∵y＝4x(x－2)＝4x2－8x，∴y′＝(4x2－8x)′＝8x－8. (2)y′＝(log3 x)′·sin x＋log3 x·(sin x)′＝＋(log3x)·cos x. (3)y′＝＝. [例3] (1)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A． B． C． D．－ (2)已知曲线f(x)＝aex＋sin x在点(0，f(0))处的切线与直线2x＋y－4＝0平行，则实数a的值为________. (1)f′(x)＝6x5＋3，∴f′(0)＝3，故切线方程为y＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1.故切线与坐标轴围成的面积××1＝. (2)因为f(x)＝aex＋sin x，所以f′(x)＝aex＋cos x， 则f′(0)＝a＋1，则a＋1＝－2，解得a＝－3. (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清“在某点”和“过某点”切线的不同． [练3] (1)曲线y＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________. (2)曲线y＝(－3x＋1)ex在点(0，1)处切线的斜率为__________． (1)由已知得y′＝3x2－1，令y′＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， 所以P(1，3)或P(－1，3).经检验，点P(1，3)与P(－1，3)均符合题意． (2)y′＝－3ex＋(－3x＋1)ex＝(－3x－2)ex，所以k＝y′|x＝0＝－2. ◎随堂演练 1．函数f(x)＝2x＋ln 2的导数为(　　) A．2x＋ B．2x ln 2＋ C．2x ln 2 D．2x f′(x)＝(2x)′＋(ln 2)′＝2x ln 2. 2．已知函数f(x)＝x2·sin x，则f′的值为(　　) A．0 B．π C． D．－ f′(x)＝2x·sin x＋x2cos x，所以f′＝π，故选B. 3．已知y＝，则y′＝________． 答案：－　 y′＝＝－. 4．曲线y＝－x3－2，在点处的切线的倾斜角为________． 答案： 对y＝－x3－2求导得，y′＝－x2， 当x＝－1时，y′|x＝－1＝－1， 由导数的几何意义，在点处的切线的斜率为k＝－1， 即tan α＝－1，所以α＝. $$