课时梯级训练(13) 数列在日常经济生活中的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(13)　数列在日常经济生活中的应用 1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的1月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 A　解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元． 2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝(　　) A．2 192 B．3 912－8n C．3 920－8n D．3 928－8n D　解析：由题意可知，每月还本金为2 000元，设张华第n个月的还款金额为an元，则 an＝2 000＋[480 000－(n－1)×2 000]×0.4%＝3 928－8n. 3．按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后可获得的利息为(　　) A．(5×0.04)3万元 B．5×(1＋0.04)3万元 C．3×(5×0.04)万元 D．[5×(1＋0.04)3－5]万元 D　解析：3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元． 4．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝ D．<b< D　解析：因为b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a(1＋0.005)12， 所以12b<a(1＋0.005)12，所以b<，显然12b>a，即<b<. 5．某人从2025年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2032年7月1日，将所有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是________________元． 答案：　解析：这是“定期自动转存模型”，从2026年(作为第一年)起，每一年存款的本利和构成首项为a(1＋r)，公比为1＋r的等比数列所以他可取回的总金额是S7＝＝. 6．某煤矿从开始建设到出煤共需5年，每年国家投资100万元，如果按年利率为10%来考虑，那么到出煤时，国家实际投资总额是________万元(精确到0.001). 答案：671.561　解析：第五年投资的本利和是100×(1＋10%)万元， 第四年投资的本利和是100×(1＋10%)2万元， … 第一年投资的本利和是100×(1＋10%)5万元， 所以数列{an}是以a1＝100×(1＋10%)为首项，q＝1＋10%为公比的等比数列， 到出煤时，国家实际投资总额是S5＝100×1.1×＝671.561(万元). 7．用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解：购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意，分20次付清，则每次交付欠款的数额依次构成数列{an}， 故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100×(n－1)]×0.01＝(121－n)(万元)(1≤n≤20，n∈N＋). 因此数列{an}是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a10＝121－10＝111(万元)， a20＝121－20＝101(万元)， 20次分期付款的总和为 S20＝＝＝2 210(万元). 实际要付300＋2 210＝2 510(万元). 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． 8．保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年6月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2025年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米． (1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2025年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？ (2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年新建住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.085≈1.469，1.086≈1.587) 解：(1)设从2025年起，每年新建的保障性租赁住房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝25，d＝5，则Sn＝25n＋×5＝(5n2＋45n). 令(5n2＋45n)≥475，即n2＋9n－190≥0，又n为正整数，解得n≥10， 故到2034年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积将首次不少于475万平方米． (2)设从2025年起，每年新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝40，公比q＝1.08，则bn＝40×1.08n－1. 由题意知，an>0.85bn，则25＋(n－1)×5>0.85×40×1.08n－1， 满足上述不等式的最小正整数n＝6， 故到2030年底，当年新建的保障性租赁住房面积占该年新建住房面积的比例首次大于85%. 9．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上．核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电．但核电造福人类时，核电站的核泄漏、核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩(参考数据：lg 0.975 3≈－0.010 86)(　　) A．% B．% C． D． B　解析：由题意，设一开始锶90质量为1，则每年的剩余量构成以1－2.47%＝97.53%为公比的等比数列，则经过800年锶90剩余质量为a＝1×(97.53%)800＝(97.53%)800，两边取常用对数可得lg a＝lg (97.53%)800＝800lg 0.975 3＝800×(－0.010 86)＝－8.688， 所以a＝10－8.688＝＝%≈%. 10．(多选)参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还款数为X万元，则(　　) A．X＝ B．小郭第3年应还款万元 C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法” D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” BD　解析：∵小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D正确，C错误； 设每年应还X万元，还款10次，则小郭10年还款的现金与利息和为X[1＋(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)9]， 银行贷款A万元10年后的本利和为A(1＋r)10， ∴X[1＋(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)9]＝A(1＋r)10， ∴X·＝A(1＋r)10，即X＝，故A错误； 设小郭第三年应还款y万元，则y·(1＋r)3＝X，所以y＝，故B正确． 11．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是________． 答案：4 039　解析：设每个30分钟进去的人数构成数列{an}， 则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－(n－1). 设数列{an}的前n项和为Sn，依题意， S11＝(2－0)＋(22－1)＋(23－2)＋…＋(211－10) ＝(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋…＋10) ＝－＝212－2－55＝212－57＝4 039. 12．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(参考数据：lg 2≈0.301) 解：(1)第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(1－)万元，…， 第n年投入为800×(1－)n－1万元， 则n年内的总投入an＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)n－1＝4 000－4 000×()n. 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1＋)万元，…， 第n年旅游业收入为400×(1＋)n－1万元， 则n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)n－1＝1 600×()n－1 600. (2)旅游业的总收入超过总投入，即bn－an>0， 即1 600×[()n－1]－4 000×[1－()n]>0， 化简得5×()n＋2×()n－7>0. 设x＝()n，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0， 解得x<或x>1(舍去)，所以()n<. 又n∈N＋，由此可得n≥5. 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． 13．某公司有两种奖励的方案，一是每年末在上一次奖励的基础上再加1 000元；二是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元．请你选择一种．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？ (2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？ 解：(1)依第一种方案，每年获得的奖励构成首项为1000，公差为1 000的等差数列，故可得第10年年末共获得奖励1 000×(1＋2＋…＋10)＝1 000×＝55 000(元). 依第二种方案，每半年获得的奖励构成首项为300，公差为300的等差数列，可得第10年年末共获得奖励300×(1＋2＋…＋20)＝300×＝63 000(元). 因为63 000－55 000＝8 000(元)，所以在该公司连续工作10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8 000元． (2)第n年年末，依第一种方案，可得 1 000×(1＋2＋…＋n)＝1 000·＝500n(n＋1). 依第二种方案，可得 a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·＝an(2n＋1). 根据题意，an(2n＋1)>500n(n＋1)对所有正整数n恒成立， 即a>＝250＋对所有正整数n恒成立， 当n＝1时，有最大值， 故只需a>250＋＝. 所以当a>时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励． 学科网（北京）股份有限公司 $$