2.2.1 导数的概念&2.2.2 导数的几何意义（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

导 数 及 其 应 用 §2　导数的概念及其几何意义 第二章 2.1　导数的概念 2.2　导数的几何意义 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 2. 通过图象直观地理解导数的几何意义． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 固定的值 导数 瞬时变化率 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 切线的斜率 切线的斜率 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：1　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：2x－y－4＝0 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　导数的概念 对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 1．导数的定义 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的__________． 在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的____，通常用符号f′(x0) 表示． 2．记法：f′(x0)＝ ＝ ___________________________.f′(x0)还可以写成 . _ (1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． [例1] (1)已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 (2)求函数y＝f(x)＝在x＝2处的导数． (1) 由题意， ＝－ ＝－f′(3)， 所以f′(3)＝－2. (2) ∵f(x)＝，∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝ －1＝，∴＝， ∴ ＝ ＝－1，∴f′(2)＝－1. 利用导数定义求导数的三步曲 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)取极限，得导数f′(x0)＝ . 简记为一差，二比，三趋近． [练1] (1)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 (2)函数y＝在x＝1处的导数是________． (1)因为＝＝＝ －， 所以f′(m)＝－[]＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. (2)∵Δy＝－1，∴ ＝＝＝， ∴函数y＝在x＝1处的导数是. [例2] 一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝s(t)＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义． ＝ ＝＝－2(m/s). 当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s， 导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度． 瞬时速度的理解 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；求某一时刻的瞬时速度时，Δt是时间间隔，Δt趋于0，可任意小，但Δt不等于0. [练2] 某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义． f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW. 知识点二　导数的几何意义 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的__________，函数y＝f(x)在x0处__________反映了导数的几何意义． (1)对切线的三点说明 ①与该点的位置有关． ②曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ③曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． (2)曲线上某点处的导数与切线的关系 ①函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导． [例3] (1)求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程； (2)已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． (1)∵点(－2，－1)在曲线y＝上， ∴曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于f(x)＝在x＝－2处的导数． ∴k＝f′(－2)＝ ＝ ＝ ＝－， ∴曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0. (2)对于曲线y＝x2－1，由导数的几何意义得k1＝ ＝ ＝2x0. 对于曲线y＝1－x3，由导数的几何意义得k2＝ 由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－. ＝ ＝－3x. [变式探究] 若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值． ∵k1＝2x0，k2＝－3x. 由曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直， 知2x0·(－3x)＝－1，解得x0＝. 1．求曲线在某点处的切线方程的步骤 2．根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求切线的斜率f′(x0). (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标． [练3] (1)设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　) A．1 B． C．－ D．－1 (2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，求曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S. (1) 由导数的几何意义，知曲线f(x)在点(1，a)处的切线的斜率 k＝f′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a， 所以2a＝2，所以a＝1. (2) ∵点P(－1，2)在曲线y＝f(x)上， ∴曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处切线的斜率为 k＝ ＝[(Δx)2＋(－3－2)Δx＋3＋5]＝8， 所以曲线y＝f(x)在点P(－1，2)处的切线的方程为y－2＝8(x＋1)， 即8x－y＋10＝0. 令x＝0，得y＝10；令y＝0，得x＝－. 由此知该切线与两条坐标轴的交点分别为(0，10)与， 所以所求三角形的面积S＝××10＝. ◎随堂演练 1．函数f(x)＝2在x＝1处的导数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无法确定 f′(1)＝ ＝ ＝0. 2．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(　　) A． B．3 C．4 D．5 根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，则k＝＝，所以f′(4)＝. 3．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________. Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a， ∴f′(1)＝ ＝2a，∴a＝f′(1)＝1. 4．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为________. 因为＝＝， 当Δx→0时，→2，所以f′(1)＝2，即切线的斜率k＝2， 所以切线方程为y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0. $$