课时梯级训练(12) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(12)　数列求和 1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，数列{an}的前2 024项和为(　　) A． B． C． D． B　解析：an＝＝－， 则数列{an}的前2 024项和为S2 024＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 2．已知数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A． B． C． D． C　解析：因为an＝＝1－， 所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝. 3．已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，则数列{an}的前20项和为(　　) A．100 B．105 C．110 D．115 D　解析：因为函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1， an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，① 又an＝f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(0)，② 由①＋②可得2an＝n＋1，所以an＝， 所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为＝115. 4．Sn＝＋＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由Sn＝＋＋＋…＋， 得Sn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n·()n＋1， 两式相减得Sn＝＋()2＋()3＋()4＋…＋()n－n·()n＋1＝－n()n＋1＝1－－n·()n＋1＝， 所以Sn＝. 5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 024＝________． 答案：3 036　解析：因为an＝(－1)n(3n－2)， 所以a1＋a2＝3，a3＋a4＝3，…，a2 023＋a2 024＝3， 所以a1＋a2＋…＋a2 024＝1 012×3＝3 036. 6．设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝______． 答案：44.5　解析：∵sin(90°－α)＝cos α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1. ∵S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，因此S89＝＝44.5. 7．在递增的等比数列{an}中，a1·a2＝8，a1＋a2＝6，其中n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋3，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由a1·a2＝8，a1＋a2＝6，等比数列{an}是递增数列，得a1＝2，a2＝4， 因此数列{an}的公比q＝＝2，则an＝a1qn－1＝2n， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n. (2)由(1)得，bn＝2an＋3＝2n＋1＋3， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3n＝2n＋2＋3n－4. 8．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝－3，S7＝－21. (1)求{an}的通项公式； (2)bn＝－an＋1，求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d＝－3，S7＝7a1＋21d＝－21， 由3a1＋3d＝－3， 7a1＋21d＝－21，解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－n＋1. (2)由(1)得bn＝n，所以＝＝(－)， 所以Tn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－) ＝(1＋－－) ＝－. 9. (多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，以此类推．设从上到下各层球数构成一个数列{an}，则(　　) A．a4＝10 B．an＋1－an＝n＋1 C．a10＝54 D．＝ ABD　解析：由题意得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，故an＋1－an＝n＋1，故B正确； 将以上n个式子累加可得an＝1＋2＋…＋n＝(n≥2)， 又a1＝1满足上式，所以an＝， 则a2＝3，a3＝6，a4＝10，a10＝55，故A正确，C错误； 由＝＝2(－)， 得＋＋…＋＝2[1－＋－＋…＋－]＝2(1－)＝，故D正确，故选ABD. 10．(多选)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，bn＝log2an＋1，则(　　) A．数列{an}是等比数列 B．an＝(－2)n－1 C．a＋a＋a＋…＋a＝ D．{an＋bn}的前n项和为Tn＝2n－1＋ AD　解析：对于A，由已知Sn＝2an－1，①，当n＝1时，可得a1＝1， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，②， 由①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 可得数列{an}是1为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 对于B，由选项A可得an＝a1·2n－1＝2n－1，故B错误； 对于C，因为＝()2＝4，故数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以a＋a＋a＋…＋a＝＝＝，故C错误； 对于D，因为bn＝log2an＋1＝n，所以an＋bn＝2n－1＋n， 所以Tn＝＋＝2n－1＋，故D正确． 11．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成数列的第n项，则＋＋＋…＋的值为__________. 答案：　解析：根据题意，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， 由a1＝1，an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝， 所以＝2×(－)， 则＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝. 12．今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图1所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图2所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图3所示．如此继续下去，当第n次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________. 答案：(n－1)·2n＋2　解析：由题意可得，第一次标完是两个分点标1，第二次增加2个分点标2，第三次增加4个分点标3，第四次增加8个分点标4，依次类推， 第n次标完后，圆周上所有标出的数的总和为Tn＝1＋1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1， 设S＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1， 2S＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n， 两式相减可得－S＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n×2n＝(1－n)×2n－1，S＝(n－1)×2n＋1，则Tn＝(n－1)×2n＋2. 13．已知数列{an}是等比数列，公比q>1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 由题意得解得q＝2或q＝(舍去)，所以a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝＝(2n－1)()n－1， 所以Tn＝1×()0＋3×()1＋…＋(2n－1)()n－1， Tn＝1×()1＋3×()2＋…＋(2n－1)·()n， 两式作差可得Tn＝1×()0＋2×()1＋2×()2＋…＋2×()n－1－(2n－1)()n ＝1＋2－(2n－1)()n ＝3－2×()n－1－(2n－1)()n ＝3－4×()n－(2n－1)()n ＝3－(2n＋3)·()n， 所以Tn＝6－(2n＋3)()n－1. 14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝2a3，且S7－S4＝a9＋9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N＋，Tn<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a6＝2a3，S7－S4＝a9＋9， 得a1＋5d＝2(a1＋2d)，(7a1＋21d)－(4a1＋6d)＝a1＋8d＋9，解得a1＝1，d＝1. 所以an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)因为Sn＝＝，所以＝＝2(－)， 故Tn＝2[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)， 当n∈N＋时，Tn＝2(1－)单调递增，所以Tn≥2(1－)＝1. 又>0，所以Tn<2，所以Tn∈[1，2). 因为对任意的n∈N＋，Tn<m恒成立，所以m≥2，即实数m的取值范围是[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$