课时梯级训练(9) 等比数列的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(9)　等比数列的性质 1．已知等比数列{an}，a3a10a17＝8，则a10＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 A　解析：因为数列{an}是等比数列，且a3a10a17＝8，所以a·a10＝8，即a＝8，解得a10＝2. 2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2＝(　　) A．－10 B．－6 C．4 D．－4 C　解析：∵数列{an}是公差为2的等差数列， ∴a1＝a2－2，a4＝a2＋4.∵a1，a2，a4成等比数列， ∴a＝a1a4，即a＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝4.故选C. 3．在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a3a4a5＝6，则a7a8a9的值为(　　) A．48 B．72 C．216 D．192 C　解析：方法一　由a1a2a3＝1，得aq3＝1，由a3a4a5＝6，得aq9＝6， 所以＝q6＝6，所以a7a8a9＝aq21＝aq3q18＝q18＝63＝216. 方法二　由a1a2a3＝1，得a＝1，由a3a4a5＝6，得a＝6， 所以q6＝＝6，所以a7a8a9＝a1a2a3q18＝q18＝63＝216. 4．在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an.则公比q应满足(　　) A．q>1 B．0<q<1 C．<q<1 D．－1<q<0 B　解析：在等比数列{an}中，首项a1<0， 由an＋1>an，得a1qn>a1qn－1，因为a1<0，所以qn<qn－1，即qn－1(q－1)<0. 因为数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，所以q>0， 所以q－1<0，解得0<q<1. 5．(多选)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　) A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列 C．a＝ D．c＝ BD　解析：依题意a＝2b，b＝2c，所以a，b，c依次成公比为的等比数列， a＋b＋c＝50，即4c＋2c＋c＝7c＝50，c＝，a＝4c＝. 所以BD选项正确． 6．若等比数列{an}的各项均为正数，且a＋a2a6＝2e6，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a7＝________． 答案：21　解析：由等比数列的下标和性质有a＝a2a6，所以a＝e6. 因为数列{an}的各项均为正数，所以a4＝e3. 因为a1a7＝a2a6＝a3a5＝a，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a7＝ln (a1a2…a7)＝ln a＝7ln a4＝7×3＝21. 7．已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋…＋a199＝2 025，则a2＋a4＋…＋a200＝________． 答案：675　解析：∵等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋…＋a199＝2 025， ∴a2＋a4＋…＋a200＝q(a1＋a3＋…＋a199)＝×2 025＝675. 8．在数列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N＋). (1)求证：数列{an＋1－an＋3}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：令bn＝an＋1－an＋3， ∴bn＋1＝an＋2－an＋1＋3＝2an＋1＋3(n＋1)－4－2an－3n＋4＋3＝2(an＋1－an＋3)＝2bn. ∵a2＝2a1－1＝－3，∴b1＝a2－a1＋3＝1， ∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 即数列{an＋1－an＋3}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)易知bn＝2n－1，即an＋1－an＋3＝2n－1， 得2an＋3n－4－an＋3＝2n－1，即an＝2n－1－3n＋1(n∈N＋). 9．(1)设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 023和a2 024是方程4x2－8x＋3＝0的两根，求a2 033＋a2 034的值； (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，求数列{an}的通项公式． 解：(1)解方程4x2－8x＋3＝0，得x1＝，x2＝. 由q>1，得a2 023＝，a2 024＝，q＝3，所以a2 033＋a2 034＝(a2 023＋a2 024)q10＝2×310. (2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512， 又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128，a8＝－4. 因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2， 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. 10．(多选)设数列{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是(　　) A．{an＋bn} B．{anbn} C．{man}(m∈R) D． BD　解析：设等比数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，其中q1≠0，q2≠0， 对任意的n∈N＋，an≠0，bn≠0， 对于A选项，不妨取an＝(－1)n，bn＝(－1)n＋1，则数列{an}，{bn}都是等比数列， 但对任意的n∈N＋，an＋bn＝(－1)n＋(－1)n＋1＝(－1)n－(－1)n＝0， 故数列{an＋bn}不是等比数列，A不满足条件； 对于B选项，＝·＝q1q2，即数列{anbn}为等比数列，B满足条件； 对于C选项，当m＝0时，man＝0，此时，{man}不是等比数列，C不满足条件； 对于D选项，÷＝·＝，故为等比数列，D满足条件． 11．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 BD　解析：由正项等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得a＝4，a＝12，B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误；而a5＝，则a4a6＝a＝2，C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324，得a＝324，即(a2qn)3＝324，因为a＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，D正确． 12．已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，则{an}的公比为________． 答案：　解析：依题意，设公比为q，则q>1， 因为等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512， 所以a3a5a7＝512，所以a＝512，所以a5＝8. 又数列{an}的第三项、第五项、第七项分别减去1，3，9后成等差数列， 则a3－1＋a7－9＝2(a5－3)，所以a3＋a7＝20， 即＋a5q2＝20，即＋8q2＝20，解得q2＝2或q2＝. 因为q>1，所以q2＝2，得q＝. 13．在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝__________． 答案：或　解析：由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2. 若a4＝2，a14＝3，则q10＝，故＝(q10)2＝； 若a4＝3，a14＝2，则q10＝，故＝(q10)2＝. 综上，＝或＝. 14．王同学过年得到红包6 000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1 000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第n个月月底的投资市值为an元． (1)求证：数列{an－5 000}为等比数列； (2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12 899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？ (参考数据：1.211≈7.43，1.212≈8.92) (1)证明：依题意，第1个月月底的投资市值为 a1＝6 000(1＋20%)－1 000＝6 200，an＋1＝an(1＋20%)－1 000＝1.2an－1 000， 则＝＝1.2.又a1－5 000＝1 200， ∴数列{an－5 000}是首项为1 200，公比为1.2的等比数列． (2)解：由(1)知an－5 000＝1 200×1.2n－1， ∴a12－5 000＝1 200×1.211≈8 916， 即a12≈8 916＋5 000＝13 916. ∵a12≈13 916>12 899，∴王同学将一年后投资市值全部取出来是足够的． 15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1(an－4)＝an－6(n∈N＋). (1)设bn＝1－，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{}的前n项积为Tn，求Tn取得最大值时n的取值． (1)证明：由an＋1(an－4)＝an－6(n∈N＋)，得an＋1＝，故an＋1－2＝－2＝－， 整理得＝－＝－1＋，又＝1－bn，所以1－bn＋1＝－1＋2(1－bn)，即bn＋1＝2bn.又b1＝1－＝2， 所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)得bn＝2n，设cn＝＝， 则cn＋1－cn＝－＝＝， 当n＝1，2时，cn＋1－cn>0； 当n≥3时，cn＋1－cn<0，即c1<c2<c3>c4>c5>…， 又c1＝，c2＝1，c3＝，c4＝1，c5＝，故T1＝T2＝，T3＝T4＝， 当n≥5时，cn<1，Tn＋1<Tn. 综上，当n＝3或n＝4时，Tn取得最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$