课时梯级训练(8) 等比数列的概念及通项公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(8)　等比数列的概念及通项公式 1．在等比数列{an}中，已知a3＝2，a4＝4，则首项等于(　　) A．2 B．1 C． D． C　解析：∵＝2，∴q＝2，a3＝a1q2，∴a1＝＝. 2．在数列{an}中，“an＋1＝2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：对数列{an}，an＋1＝2an，若a1＝0，则可得a2＝a3＝…＝an＝0， 此时{an}不是公比为2的等比数列； 若{an}是公比为2的等比数列，则＝2，即an＋1＝2an， 故“an＋1＝2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选B. 3．在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 A　解析：设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＝1，所以由a2a3＝8，得a1q·a1q2＝q3＝8，解得q＝2， 因此＝＝＝q3＝23＝8.故选A. 4．若一数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2 022是这个数列的(　　) A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 D　解析：数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，记此数列为{bn}，则{bn}是首项为a－6，公比为a6的等比数列， 于是得数列{bn}的通项公式为bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，令6n－12＝2 022，得n＝339， 所以a2 022是这个数列的第339项． 5．(多选)已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　) A．akak＋1>0 B．akak＋2>0 C．akak＋1ak＋2>0 D．akak＋1ak＋2ak＋3>0 BD　解析：对于A，当q<0时，akak＋1＝aq2k－1<0，A不一定成立；对于B，akak＋2＝(ak＋1)2>0，B成立；对于C，akak＋1ak＋2＝(ak＋1)3＝aq3k，当a1<0，q>0时，akak＋1ak＋2＝(ak＋1)3＝aq3k<0，C不一定成立；对于D，akak＋1ak＋2ak＋3＝(ak＋1ak＋2)2>0，D成立．故选BD. 6．已知{an}为等比数列，且27a2＋a5＝0，则{an}的公比为____________． 答案：－3　解析：设等比数列{an}的公比为q，依题意得27a2＋a2q3＝0， 又a2≠0，解得q＝－3，所以{an}的公比为－3. 7．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，q＝3，bn＝a3n－1(n∈N＋，n≥1)，则数列{bn}的通项公式为bn＝__________． 答案：2×33n－2　解析：∵数列{an}为等比数列，且a1＝2，q＝3， ∴an＝a1qn－1＝2×3n－1，∴bn＝a3n－1＝2×33n－1－1＝2×33n－2. 8．在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝2，求a5； (2)已知a3＝10，a6＝80，求an. 解：(1)因为{an}是等比数列，且a1＝3，q＝2， 所以a5＝a1q4＝3×24＝48. (2)设等比数列{an}的公比为m， 所以a6＝a3·m3＝10m3＝80，解得m＝2， 故an＝a3·2n－3＝10×2n－3＝5×2n－2. 9．已知等比数列{an}的首项为a1＝27，公比q＝. (1)求a8； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)由等比数列的通项公式可知a8＝a1q7＝27×()7＝. (2)an＝27×()n－1＝()n－4，设18是数列中的第n项，则()n－4＝18， 化简得32－n＝2，因为这个方程无正整数解，所以18不是数列{an}中的项． 10．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为(　　) ， ，， … A. B． C． D． C　解析：第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×()2＝. 11．(多选)设数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　) A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2 B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0 C．若a2>a1，则a3>a2 D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2 AD　解析：由a5＝a1q4，得4＝1·q4，即q2＝2，所以a3＝a1q2＝1×2＝2，因此A正确；若a1＋a3>0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；若a2>a1，则a1(q－1)>0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1＋q2>2q，则a1(1＋q2)>2a1q，即a1＋a3>2a2，因此D正确． 12．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a2＝__________． 答案：2　解析：设前3项的公差为d，后7项的公比为q，且q>0， 则q4＝＝＝16，且q>0，可得q＝2， 则a3＝1＋2d＝，即1＋2d＝3，可得d＝1， 所以a2＝a1＋d＝2. 13．已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比为________． 答案：3±2或－5±2　解析：设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得所以所以＝±， 整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2或q＝－5±2. 14．依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数． 解：设四个数分别为a，b，c，d， 则a＋b＋c＋d＝13，d＝3b，b2＝ac，2c＝b＋d， 将d＝3b代入2c＝b＋d，得c＝2b， 将c＝2b，d＝3b代入a＋b＋c＋d＝13，得a＝13－6b， 将c＝2b，a＝13－6b代入b2＝ac，得b2＝2b(13－6b)， 解得b＝0或b＝2， 当b＝0时，解得c＝0，d＝0，a＝13，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去； 当b＝2时，解得a＝1，c＝4，d＝6，故满足要求， 故这四个数为1，2，4，6. 15．(结构不良问题)在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，__________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5. 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，所以2a1＋5d＝6a1d. 联立方程得解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2. 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2. 联立方程得解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9. 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d. 联立方程得解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$