1.3.2 第3课时 数列求和（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §3　等比数列 第一章 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第3课时　数列求和 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 熟练掌握等差数列、等比数列的求和方法． 2．掌握分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：99　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：8 194 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　分组法求和 [例1] 已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝，且a1，a2， －3a3成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an－n}的前n项和Sn. (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则an＝a1qn－1，由已知a1－3a3＝2a2. 即1－3q2＝2q，解得q＝或q＝－1(舍去)， 所以an＝()n. (2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n) ＝－＝－＝－×()n－. 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式组成． (2)解题步骤 [练1] 已知等比数列{an}的各项均为正数，且a2＋a3＋a4＝39，a5＝2a4＋3a3. (1)求{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝n＋an，求{bn}的前n项和Tn. (1)∵ ∴q>0，解得 ∴an＝3n－1. (2)由题可知bn＝n＋3n－1，∴Tn＝1＋2＋…＋n＋1＋31＋…＋3n－1， ∴Tn＝＋＝. 知识点二　裂项相消法求和 [例2] 设{an}是公差不为0的等差数列，a3＝8，a1，a3，a11成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a1，a3，a11成等比数列，所以a＝a1·a11. 又a3＝8，所以82＝(8－2d)(8＋8d)，所以d2－3d＝0. 因为d≠0，所以d＝3，所以a1＋2d＝a1＋6＝8，得a1＝2， 故an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)因为bn＝＝＝－， 所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－＝. [变式探究] 本例(2)中，若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 依题意bn＝＝－， 所以Sn＝－＋－＋…＋－，即Sn＝－. 1．裂项相消法的原理与规律 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的． (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2．常见的裂项技巧 (1)＝(－). (2)＝(－). (3)＝(－). (4)＝[ －]. [练2] 在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n(n≥2). (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. (1)因为an－an－1＝n(n≥2)， 所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝， 所以an＝＋a1＝，n≥2， 当n＝1时，a1＝1满足上式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，bn＝＝＝2(－)， 所以Tn＝2(1－＋－＋…－)＝2(1－)＝. 知识点三　错位相减法求和 [例3] 已知数列{an}满足an＋1＝an＋2，且数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1－a1. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{2n·an}的前n项和Tn. (1)因为an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2， 故{an}为公差为2的等差数列， 在Sn＝n2＋1－a1中，令n＝1，得a1＝1＋1－a1，解得a1＝1， 则an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得2nan＝(2n－1)·2n， 故Tn＝2＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n，① 则2Tn＝22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n－1)·2n＋1，② 由①－②得－Tn＝2＋23＋24＋25＋…＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1 ＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝2－8＋2n＋2－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1， 故Tn＝2n＋1(2n－3)＋6. 错位相减法及其注意点 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． [练3] 数列{an}满足a1＝3，an＋1－a＝2an，2bn＝an＋1. (1)求证：{bn}是等比数列； (2)若cn＝＋1，求{cn}的前n项和Tn. (1) ∵2bn＝an＋1，∴bn＝log2(an＋1)，b1＝log2(3＋1)＝2. ∵an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2， ∴log2(an＋1＋1)＝2log2(an＋1)， ∴＝＝2， 故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2) 由(1)可得，bn＝2n，∴cn＝＋1. 设dn＝，设数列{an}前n项和为Sn， 则Sn＝＋＋＋…＋＋，① Sn＝＋＋＋…＋＋，② 由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， ∴Sn＝2－，∴Tn＝Sn＋n＝n＋2－. ◎随堂演练 1．数列1，2，3，4，…的前n项和为(　　) A．(n2＋n＋1)－ B．n(n＋1)＋1－ C．(n2＋n＋2)－ D．n(n＋1)＋2(1－) 1＋2＋3＋…＋(n＋)＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋) ＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－. 2. ＋＋＋…＋＝(　　) A．－ B． C．－ D． 原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，若Sn＝9，则n＝______． 因为an＝＝－， 所以Sn＝(－1＋－＋…＋－)＝9， 即－1＝9，即n＋1＝100，解得n＝99. 4．已知在数列{an}中，an＝n·2n，则数列{an}的前9项和为____________． 数列{an}的前9项和 S9＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋9×29， 则2S9＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋9×210， 两式相减得－S9＝21＋22＋23＋…＋29－9×210＝－9×210＝－8×210－2， S9＝8×210＋2＝8 194. $$