1.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §3　等比数列 第一章 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列前n项和的性质 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 了解等比数列前n项和公式的函数特征． 2．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A(qn－1) na1 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 qnSm S3n－S2n 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 q 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：12　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：12　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征 我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ 等比数列前n项和公式的函数特征 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝____________.即Sn是n的指数型函数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝_________，Sn是n的正比例函数． 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． [例1] 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1； 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式， ∴an＝ 方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． [变式探究] 若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝__________． 答案： ∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0， 即k＝. 等比数列前n项和的特征 (1)等比数列的前n项和Sn是关于n的指数型函数． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． [练1] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2－m，则am＝(　　) A．39 B．2×310 C．310 D．2×39 因为数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2－m， 所以a1＝S1＝27－m，a2＝S2－S1＝81－m－27＋m＝54，a3＝S3－S2＝243－m－81＋m＝162. 又数列{an}为等比数列，所以数列{an}的公比q＝＝＝3， 所以＝＝3，所以m＝9，a1＝18， 所以an＝18×3n－1＝2×3n＋1，故am＝a9＝2×310. 知识点二　等比数列前n项和的“片段和”性质 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ “片段和”性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋________(n，m∈N＋). 2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，_________仍构成等比数列． “片段和”性质成立的条件：Sn≠0. [例2] 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，且S6＝15，S18＝195，则S24＝______． 答案：600 设等比数列{an}的公比为q， 因为等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S6，S12－S6，S18－S12，S24－S18成等比数列． 因为S6＝15，S18＝195，所以(S12－15)2＝15×(195－S12)， 解得S12＝60或S12＝－45.因为S12－S6＝q6S6>0， 所以S12>0，则S12＝60. 由S12－S6，S18－S12，S24－S18成等比数列， 可得(S18－S12)2＝(S12－S6)(S24－S18)，即1352＝45(S24－195)，解得S24＝600. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． [练2] 在等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝________． 答案：48 数列{an}为等比数列， ∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等比数列，且首项为S3＝3，公比为＝＝2， ∴S15－S12＝3×24＝48，即a13＋a14＋a15＝48. 知识点三　等比数列前n项和的“奇偶项”性质 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 (1)在其前2n项中，＝__； (2)在其前(2n＋1)项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). 若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)；S奇＝a1＋qS偶． [例3] 已知等比数列{an}中，a1＝1，a1＋a3＋…＋a2k＋1＝85，a2＋a4＋…＋a2k＝42，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 设等比数列{an}的公比为q， 则a1＋a3＋…＋a2k＋1＝a1＋a2q＋…＋a2kq＝85，即q(a2＋…＋a2k)＝85－1＝84， 因为a2＋a4＋…＋a2k＝42，所以q＝2， 则a1＋a2＋a3＋…＋a2k＋a2k＋1＝85＋42＝127＝， 即128＝22k＋1，解得k＝3.故选B. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． [练3] 已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2， 则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1. 又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90， 故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120. ◎随堂演练 1．在公比为q的等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n－1，则q＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 由Sn＝3n－1，得S1＝2，S2＝8，所以a1＝2，a2＝S2－S1＝6，则q＝＝3. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝4，S4＝8，则S6＝______． 方法一　设等比数列{an}的公比为q，由S2＝4，S4＝8，得a3＋a4＝S4－S2＝4， 而a3＋a4＝q2(a1＋a2)＝4q2，于是q2＝1， 所以S6＝S4＋a5＋a6＝8＋q2(a3＋a4)＝8＋1×4＝12. 方法二　因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列， 即4，4，S6－8成等比数列，即42＝4(S6－8)，得S6＝12. 3．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是__________． ∵等比数列{an}的公比为－， ∴＝＝－2. $$