课时梯级训练(5) 等差数列的综合问题（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(5)　等差数列的综合问题 1．在等差数列{an}中，a2 023＝log27，a2 025＝log2，则a2 024＝(　　) A．0 B．7 C．1 D．49 A　解析：a2 024＝(a2 023＋a2 025)＝(log27＋log2)＝log21＝0. 2．在数列{an}中，a2＝3，a3＝5，且an＋2＝2an＋1－an，则a6＝(　　) A．9 B．11 C．13 D．15 B　解析：因为an＋2＝2an＋1－an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列． 因为a2＝3，a3＝5，所以d＝a3－a2＝2，a1＝a2－d＝1，所以a6＝a1＋5d＝11.故选B. 3．在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 013＝1，则该数列中a2＋a2 024等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列． 因为a1 013＝1，所以a2＋a2 024＝2a1 013＝2. 4．(多选)若一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，则这个数列的第10项可以为(　　) A．－17 B．－13 C．19 D．23 BC　解析：设这个数列的前三项分别为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3. 又(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2， ∴所求数列的通项公式为an＝2n－1或an＝－2n＋7. ∴a10＝19或a10＝－13. 5．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案． 则第n个图案中的白色地面砖有(　　) A．(4n－2)块 B．(4n＋2)块 C．(3n＋3)块 D．(3n－3)块 B　解析：设第n个图案中有白色地面砖an块，则a1＝6，a2＝10，a3＝14，可知a2－a1＝a3－a2＝…＝4，∴数列{an}是以6为首项，4为公差的等差数列， ∴an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.故选B. 6．已知x≠y，m，n∈N＋，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都是等差数列，则＝__________． 答案：　解析：设这两个等差数列的公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2. 第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝， ∴＝＝. 7．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式． 解：(1)因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，所以3a2＝12，解得a2＝4. 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2. 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n≥2时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，即bn－bn－1＝4且b1＝a2＝4， 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 8．已知数列{an}满足a1＝3，an＝4－(n≥2，n∈N＋)，记bn＝. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式，并证明：2<an≤3. (1)证明：依题意，得bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝，又b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为的等差数列． (2)解：由(1)知bn＝1＋(n－1)×＝n＋. 因为bn＝，所以an＝＋2＝＋2. 因为数列单调递减，且0<≤1，所以2<＋2≤3，即2<an≤3. 9．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则下列结论中正确的有(　　) A．数列{an}的公差为－ B．an＝－n＋ C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列 D．a1a7＋a4＝－1 ABC　解析：由题意知，a2＋a4＝2a3＝2. 又a2a4＝，故a2，a4可看作方程x2－2x＋＝0的两根． ∵数列{an}为递减数列，∴a4＝，a2＝. ∴公差d＝＝－，故A正确； 又a1＝a2－d＝2，∴an＝2＋(n－1)×(－)＝－n＋，故B正确； 由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×(－)＝－1， 当n＝1时，a＝4，∴数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确； 由C选项知a1an＝5－n，故a1a7＝5－7＝－2，∵a4＝－2＝，∴a1a7＋a4＝－2＋＝－，故D错误． 10．(多选)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).关于这个问题，下列说法正确的是(　　) A．甲得钱是戊得钱的2倍 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 AC　解析：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d， 又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5， ∴a＝1，d＝－，∴a－2d＝1－2×(－)＝，a－d＝1－(－)＝， a＋d＝1＋(－)＝，a＋2d＝1＋2×(－)＝， ∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确； 乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误； 甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确； 丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D错误． 11．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16≥53，则d的取值范围为____________． 答案：[，＋∞)　解析：因为a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16＝a1＋13d＋a2＋13d＋a3＋13d＝16＋39d≥53， 故d≥. 12．已知数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，则a100＝____________． 答案：　解析：因为＝－，所以＋＝. 因为a1＝1，所以＝1，所以数列是以1为首项的等差数列，设其公差为d， 因为a5＝，所以＝9，即＝＋4d，9＝1＋4d，得d＝2. 因为＝＋99d＝199，所以a100＝. 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N＋，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝. (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若对于任意的n∈N＋，an≤k恒成立，求实数k的取值范围． (1)证明：∵an＝，且bn＝， ∴bn＋1＝＝＝＝2＋， ∴bn＋1－bn＝2＋－＝2.又b1＝＝1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝， ∴数列{an}的通项公式为an＝. (3)解：由于an＝单调递减，故an≤a1＝1，若对于任意的n∈N＋，an≤k恒成立，则k≥1， ∴实数k的取值范围是[1，＋∞). 14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝0. (1)求a2，a3； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，若存在，请求出λ；若不存在请说明理由． 解：(1)因为a1＝0，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝. (2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列， 所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－＝－＝ ＝－， 又＝－1， 所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$