1.3.1 第2课时 等比数列的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §3　等比数列 第一章 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的性质 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 掌握等比中项的概念并会应用． 2．熟悉等比数列的有关性质． 3．掌握等比数列的实际应用问题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的 单调性 ____ 常数列 ____ ____ 常数列 ____ 递减 递减 递增 递增 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 am·an＝ak·al 等比 等比 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 等比 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：12 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等比中项与等比数列的证明 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝____，我们称G为a，b的等比中项． ± (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． [例1] (1)若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为(　　) A．5 B．－5 C．±5 D．－10 (2)在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则a2与a4的等比中项为(　　) A．8 B．10 C．±8 D．±10 (1)根据题意，设该数列的公比为q， 则有b＝(－1)·q2＝－q2，－25＝b·q2，联立可得b＝－5. (2)a2与a4的等比中项满足：a＝a2·a4＝4×16＝64，故a3＝±8. 等比中项应用的关注点 (1)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个． (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程． (3)要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零． [练1] (1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A．，±2 B．2，± C．，±1 D．1，± (2)已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　) A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 (1)－2和＋2的等差中项为＝， －2和＋2的等比中项为±＝±1. (2)根据等比中项可得，a＝a5a9＝81， 设等比数列{an}公比为q，根据等比数列性质，则q≠0， 又a7＝a5q2＝q2>0，故a7＝9. [例2] 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)求证：数列{an＋n}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1) ∵an＋1＝2an＋n－1，∴an＋1＋(n＋1)＝2an＋n－1＋(n＋1)， 即an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n). ∵an＋n≠0，∴＝2，且a1＋1＝2， ∴数列{an＋n}是首项为2，公比为2的等比数列． (2) 由(1)知an＋n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－n. 判断或证明数列为等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：a＝an－1·an＋1等价于数列{an}是等比数列． [练2] 已知数列{an}，{bn}满足a1＝9，an＋1＝10an＋9，bn＝an＋1.证明：{bn}是等比数列，并求其通项公式． 依题意知，＝＝＝＝10，又b1＝a1＋1＝10， 所以数列{bn}是首项为10，公比为10的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝10n. 知识点二　等比数列的性质 在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 1．等比数列的性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： 2.在等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N＋)，则有_______________． 特别地，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则有am·an＝2.在等比数列{an}中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N＋)，则有___． a 3．在等比数列{an}中，若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列，则am，an，ap成____数列． 4．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为____数列． 5．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是____数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|. [例3] (1)已知等比数列{an}的公比为q.若{an}为递增数列且a1<0，则(　　) A．q<－1 B．－1<q<0 C．0<q<1 D．q>1 (2)已知在正项等比数列{an}中，a2a2 023＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝(　　) A．1 012 B．2 024 C．21 012 D．22 024 C．21 012 D．22 024 (1)由题意，an＝a1qn－1，又a1<0，∴要使{an}为递增数列，则q>0，当0<q<1时，{an}为递增数列，符合题设；当q>1时，{an}为递减数列，不符合题设．故选C. (2)在正项等比数列{an}中，因为a2a2 023＝4， 所以a1a2 024＝a2a2 023＝a3a2 022＝…＝a1 012a1 013＝4， 所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝log2(a1a2·…·a2 023a2 024) ＝log2[(a1a2 024)(a2a2 023)…(a1 012a1 013)]＝log241 012 ＝1 012log24＝1 012×2＝2 024. ＝1 012log24＝1 012×2＝2 024. 利用等比数列的性质解题的关注点 (1)判断等比数列的增减性时要结合等比数列的函数性质． (2)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． [练3] (1)在正项数列{an}中，对任意n∈N＋，满足a＝anan＋2，且满足a3a5＋2a5a6＋a6a8＝9，则a4＋a7＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知单调递减的正项等比数列{an}中，a1>0，则该数列的公比q的取值范围是(　　) A．q＝1 B．q<0 C．q>1 D．0<q<1 (1)因为对任意n∈N＋，满足a＝anan＋2，所以＝， 所以＝＝…＝＝…，所以数列{an}为等比数列． 因为a3a5＋2a5a6＋a6a8＝9，所以a＋2a4a7＋a＝9， 所以(a4＋a7)2＝9.因为{an}为正项数列，所以a4＋a7＝3.故选C. (2)因为正项等比数列{an}单调递减， 所以q>0，an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1·(q－1)<0. 因为a1>0，所以qn－1(q－1)<0. 又因为n≥1，所以qn－1>0，q－1<0，所以0<q<1.故选D. 因为a1>0，所以qn－1(q－1)<0. 又因为n≥1，所以qn－1>0，q－1<0，所以0<q<1.故选D. [例4] 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ (1)从第一年起，每年车的价值(单位：万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9的等比数列， 所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1， 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元). (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 所以用满3年时卖掉，他大概能得到7.29万元． 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1(万元). (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 所以用满3年时卖掉，他大概能得到7.29万元． 等比数列应用题的关注点 (1)常见类型：增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等． (2)关键：建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题． (3)步骤 →→→→→ [练4] 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(图①)的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为C1，C2，C3，C4，则＝__________． 答案： 通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形周长的基础上增加了其周长的，即Cn＋1＝Cn＋Cn＝Cn， 所以数列{Cn}是首项为C1＝3，公比为的等比数列， 所以C2＝C1·＝4，C4＝C1·()3＝.因此＝＝. ◎随堂演练 1．2与8的等比中项是(　　) A．4 B．5 C．±4 D．±5 设a为2与8的等比中项，则a2＝2×8＝16，解得a＝±4. 2．在等比数列{an}中，若a2·a7＝－32，则a4·a5的值为(　　) A．2 B．－32 C．－32 D．64 因为{an}是等比数列，所以a4a5＝a2a7＝－32. 3．已知等比数列{an}的首项为－2，公比为q.试写出一个实数q＝______，使得an＜an＋1. 答案：(答案不唯一，满足0<q<1即可) 因为等比数列{ an }的首项为－2，公比为q，且an＜an＋1， 所以－2qn－1<－2qn，即qn－1>qn，所以qn－1(1－q)>0. 因为等比数列{an}为递增数列，所以qn－1>0， 解得0<q<1，则q可取(答案不唯一，满足0<q<1即可). 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，那么a5＋a6＝________． 因为{an}是等比数列，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．又因为a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，所以a5＋a6＝12. $$