课时梯级训练(4) 等差数列的性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(4)　等差数列的性质 1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＝16，则a4＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C　解析：依题意得a3＋a5＝2a4＝16，则a4＝8. 2．已知数列{an}是等差数列，a6＝5，a3＋a8＝15，则a5的值为(　　) A．15 B．－15 C．10 D．－10 C　解析：∵a6＋a5＝a3＋a8＝15，且a6＝5，∴a5＝10. 3．已知等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：若d>0，则an＋1－an＝d>0，即an＋1>an，此时，数列{an}为单调递增数列， 即“d>0”⇒“数列{an}为单调递增数列”； 若等差数列{an}为单调递增数列，则d＝an＋1－an>0， 即“d>0”⇐“数列{an}为单调递增数列”． 故“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充要条件． 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增的等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A． B． C． D． C　解析：设A，B，C，D，E 5个人分得的物品的钱数为等差数列{an}中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝6，a3＝，即C分得物品的钱数是. 5．写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式an＝__________． ①{an}是递增的等差数列；②a1－a3＋2a4＝4. 答案：n－1(答案不唯一)　解析：设等差数列{an}的公差为d，由①可知d>0，取d＝1， 由a1－a3＋2a4＝4，得－2d＋2a1＋6d＝4， 则a1＋2d＝2，得a1＝0， 所以数列{an}的一个通项公式an＝0＋(n－1)×1＝n－1. 6．在等差数列{an}中，a3＋a9＋a11＋a15＋a17＝0，则a11＝__________． 答案：0　解析：根据等差数列的性质，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq可得， a3＋a9＋a11＋a15＋a17＝a13＋a9＋a11＋a15＋a7＝2a11＋a11＋2a11＝0，所以a11＝0. 7．已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋7. (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性． 解：(1)因为等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋7，所以首项a1＝－2×1＋7＝5， 公差d＝an＋1－an＝－2(n＋1)＋7－(－2n＋7)＝－2. (2)数列{an}的图象，如图， (3)由n∈N＋，an＝－2n＋7，得an＋1－an＝－2(n＋1)＋7－(－2n＋7)＝－2<0， 因此an＋1<an，所以数列{an}是单调递减数列． 8．在等差数列{an}中， (1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝90，求a9－a12； (2)已知a1＋2a8＋a15＝64，求2a9－a10. 解：(1)在等差数列{an}中，a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， ∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝90，∴a6＝18， ∴a9－a12＝(2a9－a12)＝(a6＋a12－a12)＝a6＝9. (2)∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝64，∴a8＝16. ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝16. 9．已知数列{an}满足a1＝1，若点(，)在直线x－y＋1＝0上，则an＝(　　) A．n B．n2 C．n＋2 D．n2＋2 B　解析：由题设可得，－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故其通项公式为＝n，所以an＝n2. 10．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝a＋bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是(　　) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 ABC　解析：由an＝a＋bn，知an＋1＝a＋b(n＋1)，所以an＋1－an＝b， 故数列{an}是等差数列，且公差为b. 由等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差b>0， 所以数列{an}是递增数列，故A，B一定成立； 若a3>a1，则a3－a1＝2b>0，所以数列{an}是递增数列，所以a2>a1，故C一定成立； 当a2<0时，a1＋a2>a1不成立，故D不一定成立． 11．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝__________． 答案：4　解析：∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4. 12．已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos (a3＋a5)＝__________． 答案：－　解析：在等差数列{an}中，由a1＋a3＋a8＝，得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝， ∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，∴a3＋a5＝2a4＝，则cos (a3＋a5)＝cos ＝－. 13．已知f(x)＝x2－2x－3，在等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求： (1)x的值； (2)等差数列{an}的通项公式． 解：(1)由f(x)＝x2－2x－3，得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x， a3＝x2－2x－3，又因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2＝a1＋a3， 即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，解得x＝0或x＝3. (2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)； 当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3). 综上，an＝－(n－1)或an＝(n－3). 14．为了测试某种金属的热膨胀性质，将由这种金属制成的一根细棒加热，从100 ℃开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 ℃测量一次，把依次量得的数据所构成的数列{ln}用图象表示出来，如图，根据图象解答下列问题． (1)第5次量得的金属棒长度是多少？此时金属棒的温度是多少？ (2)求数列{ln}的通项公式和金属棒长度ln(单位：m)关于温度t(单位：℃)的函数关系式(设长度ln是关于测量序号n的一次函数). 解：(1)由题图得l5＝2.005(m)，此时金属棒的温度t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)， 即第5次量得的金属棒长度是2.005 m，此时金属棒的温度是300 ℃. (2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001，l2＝2.002，得解得 所以{ln}的通项公式是ln＝0.001n＋2(n∈N＋). 由题意可得t＝50(n－1)＋100＝50n＋50， 所以n＝，代入{ln}的通项公式，得ln＝0.000 02t＋1.999. 由上式可知，ln也是关于t的一次函数，不过t不仅仅限于取正整数，也可以取不致失去实际意义的任何实数． 学科网（北京）股份有限公司 $$