课时梯级训练(3) 等差数列的概念及其通项公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(3)　等差数列的概念及其通项公式 1．在等差数列{an}中，d＝2，且a1＝1，则a4等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　解析：因为数列{an}为等差数列，所以a4＝1＋(4－1)×2＝7. 2．在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝－2，am＝－89，则m等于(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 C　解析：因为am＝a1＋(m－1)d，即1－2(m－1)＝－89，所以m＝46. 3．(多选)下列数列中是等差数列的是(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n＋1 C．an＝log2n＋1 D．an＝3 AD　解析：对于A，an＋1－an＝3，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C，an＋1－an＝log2(n＋1)－log2n＝log2，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于D，an＋1－an＝0，相邻两项的差为常数，是等差数列．故选AD. 4．在等差数列{an}中，a1＝4，a10＝22，则a3＝(　　) A． B．8 C．10 D． B　解析：在等差数列{an}中，a1＝4，a10＝22，设公差为d，则d＝＝＝2， 所以a3＝a1＋2d＝4＋2×2＝8. 5．我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司2024年投入研发费用4亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元，则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在(　　) A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年 D　解析：依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为{an}， 可得a1＝4，公差d＝2，则该公司第n年的研发费用为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2， 令2n＋2≥20，则n≥9，所以从2024年开始第9年，即2032年的费用首次达到20亿元． 6．等差数列2，，3，…的通项公式为an＝________． 答案：　解析：设等差数列{an}公差为d.由已知可得，首项a1＝2，d＝－2＝， 所以an＝2＋(n－1)＝. 7．在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，当an＝298时，n等于________． 答案：100　解析：∵a1＝1，d＝3， ∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2. ∵an＝298， ∴3n－2＝298，解得n＝100. 8．在等差数列{an}中， (1)已知a1＝－1，d＝3，求a10； (2)已知a4＝4，a8＝－4，求d； (3)已知a1＝1，d＝3，an＝2 026，求n. 解：(1)由an＝a1＋(n－1)d知，a10＝a1＋9d＝－1＋9×3＝26. (2)因为a4＝4，a8＝－4，所以a8－a4＝(8－4)·d＝4d，所以(－4)－4＝4d，解得d＝－2. (3)由an＝a1＋(n－1)d知，2 026＝1＋(n－1)×3＝3n－2，解得n＝676. 9．已知等差数列{an}中，a1<a2，且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根． (1)求数列{an}的通项公式； (2)268是不是此数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由． 解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8， 设等差数列{an}首项为a1，公差为d， ∴解得a1＝－2，d＝2. ∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4. (2)令268＝2n－4，解得n＝136. ∴268是此数列的第136项． 10．(多选)已知在等差数列{an}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则(　　) A．a10＝4 B．a11＝4 C．a9－a3＝3 D．a10－a3＝3 BC　解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d， 则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8， 即a11＝a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3，故选BC. 11．“中国剩余定理”一般指“孙子定理”，是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列，组成数列{cn}，则c23为(　　) A．62 B．102 C．302 D．332 D　解析：被3除余数为2的正整数从小到大排列可得，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，…， 被5除余数为2的正整数从小到大排列可得，2，7，12，17，22，27，32，…， 两个数列的公共项按从小到大排列可得，2，17，32，…， 所以{cn}为首项为2，公差为15的等差数列， 所以c23＝2＋22×15＝332. 12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝________． 答案：10　解析：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝， 所以an＝a2＋(n－2)d＝＋n， 故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3， 所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，故b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝10. 13．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为________. 答案：31　解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3. 在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{bn}的公差为＝， 又新数列{bn}的首项为4－3＝1，故通项公式为bn＝1＋(n－1)＝n＋， 故b41＝×41＋＝31. 14．某城市的绿化建设有如下统计数据： 年份 2022 2023 2024 2025 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率会超过23.4%? 解：由表中数据可知，每年的绿化覆盖率成等差数列，设为{an}， 则a1＝17，公差d＝17.8－17＝0.8， 故通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝17＋0.8×(n－1)＝0.8n＋16.2， 令0.8n＋16.2>23.4，解得n>9，2 022＋9＝2 031， 故至少到2031年该城市的绿化覆盖率会超过23.4%. 15．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解：(1)由题意得等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3－5(n－1)＝8－5n. 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋， 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知，bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20， 所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项． 学科网（北京）股份有限公司 $$