1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §2　等差数列 第一章 2.2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算． 2．会利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 性质1：“片段和”性质 等差数列中连续k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列 性质2：“奇偶项”性质 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 最小 最大 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 最小 最大 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等差数列前n项和的性质 等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 等差数列{an}的前n项和Sn的性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项 数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的 中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) 角度1　“片段和”的性质 [例1] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝7，则＝(　　) A． B． C． D． 在等差数列{an}中，S7，S14－S7，S21－S14成等差数列，即2(S14－S7)＝S7＋(S21－S14)， 设S7＝m(m≠0)，则S14＝7m，于是12m＝m＋(S21－7m)，解得S21＝18m，所以＝. 角度2　“奇偶项”的性质 [例2] 已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　) A．30 B．29 C．28 D．27 奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290， ∴(n＋1)an＋1＝290. 偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261， ∴an＋1＝290－261＝29. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法． [练1] (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．27 B．45 C．81 D．18 (2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则的值为(　　) A．2 B． C．4 D．5 (1)因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列， 可得2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，即2×(36－9)＝9＋S9－S6，解得S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45. (2)∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝， ∴＝＝＝＝＝＝4. 知识点二　等差数列前n项和的最值 根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 等差数列前n项和的函数性质与最值 1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数，得Sn＝n2＋(a1－)n. 2．因为Sn＝n2＋(a1－)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有____值；当d<0时，Sn有____值；且n取最接近对称轴的 自然数时，Sn取到最值． 3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (1)当a1<0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1>0，d<0时，Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． [例3] 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以解得 所以an＝3n－12. (2)因为an＝3n－12， 所以Sn＝＝(3n2－21n)＝(n－)2－， 所以当n＝3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18. [变式探究] 若把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125， 故a3＝25，又a10＝18，a10－a3＝7d，所以18－25＝7d，得d＝－1＜0，故Sn有最大值， an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大， 又a1＝27，故S27＝S28＝378. 求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． [练2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值． (1)设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14. (2)方法一　由d＝3知{an}是递增数列， 当n≤4时，an<0；当n≥5时，an>0. 所以S1>S2>S3>S4<S5<…， 所以当n＝4时，Sn最小，最小值为S4＝4a1＋×d＝－26. 方法二　Sn＝na1＋d＝n2－n＝(n－)2－， 又n∈N＋，所以当n＝4时，Sn最小，最小值为－26. ◎随堂演练 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a7＋a8的和等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 因为a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，由等差数列的性质得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8. 2．数列{an}的通项公式为an＝3n－23，当Sn取到最小值时，n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 ∵数列{an}的通项公式为an＝3n－23，∴数列{an}是公差为3的递增的等差数列．令an＝3n－23≥0可得n≥，∴数列{an}的前7项均为负数，从第8项开始为正数，∴Sn取最小值时，n为7.故选C. 3．已知等差数列{an}共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 ∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝20，∴5d＝20－5，d＝3. 4．已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，若＝，则＝______. 答案： 由等差数列的求和公式得＝＝，所以＝＝，解得＝. $$