课时梯级训练(2) 数列的函数特性（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(2)　数列的函数特性 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1，2，3，4，…，30 C　解析：对于A，数列1，，，，…是无穷数列，但它是递减数列，故A不正确；对于B，数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它不是递增数列，故B不正确；对于C，数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列，故C正确；对于D，数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列，故D不正确． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 A　解析：∵an＝，∴an＋1－an＝－＝ ＝>0， ∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列． 3．若数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}的最小项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 B　解析：根据题意，an＝3n2－28n＝3(n－)2－， 又由n∈N＋，则当n＝5时，an取得最小值．故选B. 4．给定函数y＝f(x)的图象在下列图象中，并且对任意的a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到数列{an}满足an＋1<an(n为正整数)，则该函数的图象是(　　) 　 　 B　解析：由题意，对任意的a1∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到数列{an}满足an＋1<an(n为正整数)，所以f(an)<an对任意an∈(0，1)恒成立，即∀x∈(0，1)，f(x)<x，于是x∈(0，1)时，函数f(x)的图象都在y＝x图象的下方． 5．已知数列{an}为递增数列，且an＝2n2＋2λn，则实数λ的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－2，＋∞) D．[－2，＋∞) A　解析：∵数列{an}为递增数列，∴对任意的n∈N＋，an＋1>an， 即2(n＋1)2＋2λ(n＋1)>2n2＋2λn， 即λ>－1－2n恒成立，∴λ>(－1－2n)max＝－3.故选A. 6．数列{an}中，an＝2n2－11n，则数列{an}的最小项是__________． 答案：－15　解析：an＝2(n－)2－，2<<3， 又a2＝－14，a3＝－15，则数列{an}的最小项为－15. 7．写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：an＝__________(n∈N＋). 答案：3－(答案不唯一)　解析：对任意的n∈N＋，>0，则3－<3， 数列为单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为an＝3－(n∈N＋). 8．已知下列数列{an}的通项an，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)an＝－n＋1； (2)an＝2n－1. 解：(1)∵an＝－n＋1，且an＋1＝－(n＋1)＋1＝－n，∴an＋1－an＝－1<0， ∴数列{an}为递减数列，图象如图． (2)∵an＝2n－1，∴an＋1＝2(n＋1)－1＝2n＝2×2n－1＝2an，∴an＋1>an， ∴数列{an}为递增数列，图象如图． 9．已知数列{an}的通项公式是an＝|2n－7|，判断该数列的单调性，并求出数列{an}的最小项． 解：令2n－7≥0，则n≥，故n<时，2n－7<0， 所以an＝故该数列先递减后递增， 又a1>a2>a3＝a4＝1<a5<…<an，故数列{an}最小项为第三、四项为a3＝a4＝1. 10．已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　) A．1，－ B．0，－ C．，－ D．1，－ A　解析：因为n∈N＋，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且单调递减； 当n≥4时，an＝>0，且单调递减， 所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1. 11．已知数列{an}的通项公式为an＝若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是(　　) A．(4，7) B．(，7) C．[，7) D．(1，7) A　解析：由已知得解得4<t<7. 12．已知数列{an}的通项公式为an＝，当前n项和Sn取得最小值时，n的值为______． 答案：6　解析：令an＝≥0，解得n≤1或n>，n∈N＋， ∴当n＝1时，an＝0，Sn＝0， 当2≤n≤6时，an<0，Sn单调递减， 当n≥7时，an>0，Sn单调递增， ∴Sn取得最小值时n的值为6. 13．已知数列{an}中，an＝k·()n，若{an}是递增数列，则实数k的取值范围是______． 答案：(－∞，0)　解析：因为an＝k·()n，{an}是递增数列， 所以an＋1－an＝k·()n＋1－k·()n＝()n·(k－k)＝－k·()n>0对任意的n∈N＋恒成立，所以－k>0，解得k<0，所以实数k的取值范围是(－∞，0). 14．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，数列{bn}的通项公式为bn＝n2＋1(n∈N＋). (1)0.98是不是数列{an}中的一项？ (2)判断数列{an}的单调性，并求最小项； (3)若cn＝lg an＋lg bn(n∈N＋)，求满足cn>3最小的n的值． 解：(1)假设0.98是数列{an}中的一项，则有＝0.98， 解得n2＝49，所以n＝7， 则a7＝0.98，即0.98是数列{an}中的第7项． (2)an＝＝1－， 对任意n∈N＋，an＋1－an＝－＋＝>0， 所以数列{an}是单调递增数列， 最小项是第一项为a1＝. (3)cn＝lg an＋lg bn＝lg ＋lg (n2＋1) ＝lg n2＝2lg n. 由2lg n>3得n>10，所以n的最小值为32. 15．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对应数列{an}的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，求a2 021＋a2 022＋a2 023＋a2 024的值． 解：由已知，可得奇数项为a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，a9＝3，a11＝－3，…； 偶数项为a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，a10＝5，a12＝6，…， 由奇数项和偶数项的规律可知， an＝ ∵2 021＝4×506－3，2 023＝4×506－1， ∴a2 021＝＝506， a2 023＝－＝－506. ∵a2 022＝＝1 011， a2 024＝＝1 012， ∴a2 021＋a2 022＋a2 023＋a2 024＝506＋1 011－506＋1 012＝2 023. 学科网（北京）股份有限公司 $$