课时梯级训练(1) 数列的概念（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(1)　数列的概念 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2，则a9＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 B　解析：因为an＝2，所以a9＝2＝6. 2．数列1，，，，…的第8项是(　　) A． B． C． D． A　解析：1，，，，…可看为，，，，…. 分母是2n－1，分子为n2，故第8项为.故选A. 3．若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的(　　) A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 D　解析：因为1＝37×0，37＝37×1，314＝37×2，321＝37×3，因此符合题意的一个通项公式为an＝37(n－1)，由37(n－1)＝398，解得n＝15，所以398是这个数列的第15项． 4．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝ C．an＝ D．an＝n2 C　解析：∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是____________． 1　解析：∵an＝(－1)n，∴a8＝(－1)8＝1. 6．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第______项． 8　解析：由an＝125，得2n2－3＝125，而n∈N＋，解得n＝8， 所以125是这个数列的第8项． 7．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－，，－； (2)，2，，8； (3)8，98，998，9 998. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： ，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)各项加2后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－2，n∈N＋. 8．(多选)下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是(　　) A．an＝ B．an＝sin2 C．an＝ D．an＝|sin nπ| ABC　解析：对于A，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意．对于B，an＝sin2，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意．对于C，an＝，当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝0，满足题意．对于D，an＝|sin nπ|，当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝0，不满足题意． 9．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，…叫做三角形数；把1，4，9，16，…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是(　　) A．36 B．49 C．64 D．81 A　解析：三角形数：1，3，6，10，…，可得其通项公式为an＝； 正方形数：1，4，9，16，…，可得其通项公式为bn＝n2， ∵an＝49，an＝64，an＝81均无正整数解，且b7＝49，b8＝64，b9＝81， ∴49，64，81是正方形数不是三角形数． 又a8＝36，b6＝36，∴36既是三角形数，又是正方形数． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝7n－6，记数列{an}落在区间(7m，72m)内项的个数为bm，则b2＝______． 答案：336　解析：由题意，即求满足72<7n－6<74的正整数n的个数，即72＋6<7n<74＋6，7＋<n<73＋，故8≤n≤343(n∈N＋)，共343－8＋1＝336(个). 11．数列{an}中，an＝100－3n(n∈N＋)，该数列从第______项开始每项均为负值． 答案：34　解析：令an＝100－3n<0，解不等式得n>，由于n∈N＋，故n的最小值为34. 12．已知数列{an}的通项公式是an＝. (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)令an＝＝0，解得n＝21或n＝0(舍去)，所以0是{an}中的第21项． 令an＝＝1，解得n＝∉N＋，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，则am＝am＋1， 即＝，解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，为第10项与第11项． 13．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－1. (1)2 027是数列{an}的第几项？ (2)135，4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？为什么？ (3)若am，at(m，t∈N＋)是{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由． 解：(1)令4n－1＝2 027，则4n＝2 028， ∴n＝507. 即2 027是数列{an}中的第507项． (2)令an＝4n－1＝135，得n＝34， ∴135是数列{an}的第34项． ∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， ∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项． (3)∵am，at是数列{an}中的项，∴am＝4m－1，at＝4t－1， ∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1. ∵2m＋3t－1∈N＋，∴2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项． 学科网（北京）股份有限公司 $$