1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §2　等差数列 第一章 2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：95 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 应用等差数列解决实际问题的一般思路 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 S1 Sn －Sn－1 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：2n　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由 其中任意三个求另外两个． 3．能用an与Sn的关系求an. 知识点一　等差数列前n项和的基本运算 高斯(1777～1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉．高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5050！”．你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ ②Sn＝na1＋ 等差数列前n项和公式 ①Sn＝ (1)公式①反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和． (2)由公式②知当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”． (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． [例1] (2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________． 方法一(基本量法)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 方法二(利用下标和性质)　设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝＝3，a6＝11，则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 等差数列前n项和公式应用的关注点 (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好． (2)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”的运用． (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． [练1] 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 解得a1＝－5，d＝3， ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39. 又a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. [例2] 从2024年5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，当日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件． (1)记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an； (2)求五月份的总销售量． (1)依题意知，数列a1，a2，…，a13是首项为10，公差为15的等差数列， ∴an＝15n－5(1≤n≤13，n∈N＋). a14，a15，a16，…，a31是首项为a14＝a13－10＝180，公差为－10的等差数列， ∴an＝180＋(n－14)(－10)＝－10n＋320(14≤n≤31，n∈N＋)， ∴an＝ (2)五月份的总销售量为＋18×180＋＝3 010(件). [变式探究] 根据以往经验，当该商场销售某服装超过1 300件时，当地社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失．在本例条件下，试求该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由． 5月1日至5月13日销售总数为＝＝1 300， ∴5月14日前还没有流行，由－10n＋320<100，得n>22， ∴第23天流行结束，故该服装在社会流行没有超过10天． [练2] 如图，某报告厅的座位是这样的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位． (1)求第六排的座位数； (2)根据防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就座(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ (1)根据题意可知，每排座位数构成等差数列{an}，且a1＝9，d＝2， 所以a6＝9＋2×5＝19，即第六排的座位数为19. (2)因为每排座位数都为奇数， 所以得到第一排坐5人，第二排坐6人，第三排坐7人， 即每排人数构成等差数列{bn}，且b1＝5，d＝1，n＝10， 所以S10＝10×5＋＝95，即最多可安排95人同时参加会议． 知识点二　Sn与an的关系 数列{an}中，Sn，Sn－1(n≥2)与an的关系是什么？ 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有 an＝ (1)这一关系对任何数列都适用． (2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示． 若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式． [例3] 已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－n，求通项公式． 数列{an}前n项和Sn＝2n2－n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，又a1＝S1＝1满足上式， 所以an＝4n－3. 等差数列前n项和的特征 等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列． [练3] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2，{an}的通项公式为 _________________． 答案：an＝ 当n＝1时，a1＝S1＝31＋2＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋2－3n－1－2＝2·3n－1， a1＝5不符合上式， 故{an}的通项公式为an＝ ◎随堂演练 1．在等差数列{an}中，若a3＝5，a7＝1，则S6＝(　　) A．60 B．57 C．30 D．27 依题意，设等差数列{an}的公差为d， 则∴∴S6＝6×7＋×(－1)＝27. 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝40，a4＝19，则公差为(　　) A．－2 B．6 C．4 D．8 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得d＝6，a1＝1. 3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a3＋a6＝40，S2＝10，则a1＝________． 答案：　 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， 则解得a1＝，d＝5. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，则{an}的通项公式为an＝________． 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋n－1]＝2n， 当n＝1时也符合上式，所以an＝2n. $$