1.2.1 第3课时 等差数列的综合问题（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §2　等差数列 第一章 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第3课时　等差数列的综合问题 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解． 2．会用恰当的方法判断一个数列是等差数列． 3．学会解决与等差数列有关的综合问题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：4 049 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等差数列的证明 [例1] 已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝4，证明：数列是等差数列． －＝－＝－＝－1， ∵＝，∴是以为首项，－1为公差的等差数列. 判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列． [练1] 已知数列{an}中，an－1＝在n≥3时恒成立，求证：{an}是等差数列． 因为an－1＝，所以2an－1＝an＋an－2，从而an－an－1 ＝an－1－an－2， 所以an－an－1＝an－1－an－2＝an－2－an－3＝…＝a2－a1. 故从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{an}是等差数列． 知识点二　等差数列项的设法及应用 [例2] 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 则 又因为是递增数列，所以d>0，解得 所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. [变式探究] 本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 方法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 由已知，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，所以所求的四个数为－2，0，2，4. 方法二　设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 由已知，得2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－d)·(1＋d)＝－8，即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或d＝－2. 又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，a＝－2， 所以所求的四个数为－2，0，2，4. 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法．三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量． [练2] 已知单调递增的等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8，求等差数列{an}的通项公式． 设等差数列{an}公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d， ∴ ∴或(舍去)，∴an＝3n－7. 知识点三　等差数列的综合问题 [例3] 已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋). (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． (1) 因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)，bn＝(n∈N＋)， 所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝ － ＝－＝1. 又b1＝＝－，所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． (2) 由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋. 设函数f(x)＝1＋，f(x)在区间和上单调递减， 结合函数f(x)的图象可知， 当n＝3时，an取得最小值－1； 当n＝4时，an取得最大值3. 解决等差数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项． (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组). (3)利用函数或不等式的有关方法解决． [练3] 如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫作这个数列的公方差． (1)设数列{an}(an>0)是公方差为p(p>0)的等方差数列，且a1＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列{an}为常数列． (1) 由等方差数列的定义可知a－a＝p(n≥2，n∈N＋)， 由此可得a＝a＋(n－1)p＝1＋(n－1)p， 又an>0，所以an＝. (2) 因为{an}是等差数列，设其公差为d， 则an－an－1＝an＋1－an＝d(n≥2，n∈N＋). 又{an}是等方差数列，所以a－a＝a－a(n≥2，n∈N＋). 故(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)， 所以(an＋an－1)d＝(an＋1＋an)d， 即d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0， 所以d＝0，故{an}是常数列． ◎随堂演练 1．如果一个数列的前三项分别为1，2，3，下列结论中正确的是(　　) A．它一定是等差数列 B．它一定是递增数列 C．通项公式是an＝n D．以上结论都不一定正确 选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选 项D符合． 2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　) A．a6 B．a7 C．a8 D．a9 因为3a3＝4a4，所以3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，所以a3＝－4d， 所以an＝a3＋(n－3)d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，所以a7＝0. 3．在数列{an}中，a1＝1，2an＋1－2an＝4，则a2 025的值为________． 由题意，知数列{an}满足2an＋1－2an＝4，即an＋1－an＝2，又由a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 025＝a1＋2 024d＝1＋2 024×2＝4 049. 4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为__________． 答案：12 设三边为a－d，a，a＋d(a＞0且a＞|d|)， 则 即解得a2＝48. ∵a＞0，∴a＝4，周长为C＝a－d＋a＋a＋d＝3a＝12. $$