1.2.1 第2课时 等差数列的性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §2　等差数列 第一章 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第2课时　等差数列的性质 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 了解等差中项的概念． 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质． 3．能运用等差数列的性质解决有关问题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 等差中项 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：(1) －3 (2) 4 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 正整数集 等间隔 斜率 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 递增 递减 常数列 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 BCD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 md 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：3(答案不唯一) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等差中项 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 等差中项的概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的________，即A＝. (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. [例1] (1)已知a＝，b＝－，则a，b的等差中项为(　　) A． B． C． D．±1 (2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．8 B．6 C．4.5 D．3 (1)由题意，a＝＝＝＋， 所以a＋b＝＋＋－＝2. 所以a，b的等差中项为＝. (2)∵m＋2n＝8，2m＋n＝10，∴3m＋3n＝18， ∴m＋n＝6，∴m和n的等差中项是＝3. 等差中项公式的推广 (1)an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝(n≥2，n∈N＋). (2)当m＋n＝2p时，则ap是am与an的等差中项． [练1] (1)－8和2的等差中项的值是__________． (2)若a是4＋m，4－m的等差中项，则a＝__________. (1)设等差中项为x，则2x＝－8＋2＝－6，解得x＝－3. (2)因为a是4＋m，4－m的等差中项，所以2a＝4＋m＋4－m，解得a＝4. 知识点二　等差数列与一次函数的关系 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，观察通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 1．从函数角度研究等差数列 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在________(或其子集)上的函数，其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些______的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的____，即自变量每增加1，函数值增加d. 2．当d>0时，{an}为____数列，如图(1). d<0时，{an}为____数列，如图(2). d＝0时，{an}为______，如图(3). (1)等差数列的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上均匀分布的一群孤立的点． (2)当d≠0时，an为关于n的一次函数⇔{an}为等差数列(常数列除外). [例2] 已知(4，19)，(7，10)为等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． (1)设an＝a1＋(n－1)d， 因为(4，19)，(7，10)在等差数列{an}的图象上，所以a4＝19，a7＝10， 即解得故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋31. (2)数列{an}的图象是直线y＝－3x＋31上横坐标为正整数的离散的点，如图所示． (3)因为an＋1－an＝d＝－3<0，所以{an}是递减数列． 等差数列的函数本质 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质． [练2] (多选)下列判断正确的是(　　) A．若等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 A项，公差d＝a4－a3＝－2<0，所以数列{an}是递减数列； 因为等差数列(常数列除外)的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确． 知识点三　等差数列的性质 在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么 ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 等差数列的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列， (1)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列． (2)抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为_____的新的等差数列． (3)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列． 2．等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an. (1)性质2的逆命题不一定成立． (2)特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar. [例3] (1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75； (2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值． (1)方法一　由已知条件，得a15＝a1＋14d＝8，① a60＝a1＋59d＝20.② 由①②解得a1＝，d＝， 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 方法二　∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设新的等差数列的公差为d1，则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24. 设新的等差数列的公差为d1，则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24. (2)∵{an}是等差数列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. 又a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，∴a9＝117， ∴a3＋a15＝2a9＝234. [变式探究] 本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值． 因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0， 所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d，解得k＝22. 解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想． [练3] (1)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝3，则2a4＋a7＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (2)在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　) A．－11 B．11 C．22 D．33 (1)由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＝3a5＝3，则a5＝1，2a4＋a7＝2(a5－d)＋a5＋2d＝3a5＝3. (2)由等差数列的性质可知，a4＋a10＝a6＋a8＝a1＋a13，而a4＋a6＋a8＋a10＝22， 所以2(a1＋a13)＝22，即a1＋a13＝11. ◎随堂演练 1．两个数4，6的等差中项是(　　) A．±5 B．±4 C．5 D．4 两个数4，6的等差中项为＝5. 2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}为递减数列． 3．已知等差数列{an}，a1＋a6＋a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差 为__________． 答案： 因为数列{an}为等差数列，则a1＋a6＋a11＝3a6＝6，所以a6＝2. 设等差数列{an}公差为d，又a4＝1，所以公差d＝(a6－a4)＝. 4．已知等差数列{an}满足a2＋a6＝6，请写出一个符合条件的通项公式an＝______________． 因为{an}是等差数列，且a2＋a6＝6，所以2a4＝6，a4＝3. 当公差为0时，an＝3；公差为1时，an＝n－1；…. $$