1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §2　等差数列 第一章 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念 及其通项公式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1.理解等差数列的定义． 2．会推导等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决一些简单问题． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 前一项 公差 同一个常数 d 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 BC 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 ABD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 an＝a1 ＋(n－1)d 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B　 A 2n 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：3 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：3 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　等差数列的概念 观察下面的数列，它们有什么共同特征？ (1)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； (2)第19届到第25届冬奥会举办的年份依次为2002，2006，2010，2014，2018，2022，2026. 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的______的差都是__________，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的____，通常用字母___表示． (1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－ an(n∈N＋).公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒． (2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列． [例1] (多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 A中，数列是公差为－2的等差数列； B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列； C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列； D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． 判断等差数列的方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数． [练1] (多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 根据等差数列的定义，对选项逐一判断．A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列. 知识点二　等差数列的通项公式 根据等差数列的定义，你能写出下列数列的通项公式吗？ (1)1，3，5，7，… (2)10，8，6，4，2，… (3)2，2，2，2，2，… 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为________ __________． (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项． (2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. [例2] (1)已知等差数列{an}中，a1＝－1，a4＝8，则公差d＝(　　) A．4 B．3 C．－4 D．－3 (2)已知数列{an}是一个等差数列，a3＝2，公差d＝－，则其首项a1＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (3)若等差数列{an}首项为2，公差为2，则等差数列{an}的通项公式为an＝____________． (1)在等差数列{an}中，a1＝－1，a4＝8，所以有－1＋3d＝8，解得d＝3. (2)∵a3＝a1＋2d＝2，d＝－，∴a1＝a3－2d＝2＋1＝3. (3)由题意得an＝2＋(n－1)×2＝2n. [变式探究] 本例(3)若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋. 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋， 所以153是数列{an}的第45项． 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量． (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项． [练2] 在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，d＝－2，求a6； (2)已知a3＝10，a9＝28，求an. (1)由等差数列的通项公式，得a6＝3＋(6－1)×(－2)＝－7. (2)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得 所以an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1. [例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？ 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km 乘客需要支付1.2元， 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2. 即需要支付车费23.2元． 利用等差数列解决实际问题的关注点 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素． [练3] 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温． 设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋). 当n＝2，4，8时，a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃. ◎随堂演练 1．在等差数列{an}中，已知首项为a1＝1，公差为d＝－1，则a4＝(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 由等差数列{an}中，首项为a1＝1，公差为d＝－1， 则a4＝a1＋3d＝1＋3×(－1)＝－2. 2．下列数列中成等差数列的是(　　) A．，， B．lg 5，lg 6，lg 7 C．1，， D．2，3，5 对于A，－≠－，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差数列；对于C，－1＝－，C是等差数列；对于D，3－2≠5－3，D不是等差数列． 3．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是________． 设等差数列{an}的公差为d，则d＝an－an－1＝3n－3(n－1)＝3(n≥2， n∈N＋). 4．设数列{an}是公差为d的等差数列，若a2＝5，a6＝17，则d＝________． 因为数列{an}是公差为d的等差数列，且a2＝5，a6＝17，所以 d＝＝＝3. $$