1.1.2 数列的函数特性（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §1　数列的概念及其函数特性 第一章 1.2　数列的函数特性 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1. 了解数列的几种表示方法． 2．了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数． 3．能从函数的角度研究数列． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 正整数集 (n，an)，n＝1，2，3，… 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都 它 的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都 它 的前一项 an＋1<an 常数列 各项都 . an＋1＝an 大于 小于 相等 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 BC (0，＋∞) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 B (0，＋∞) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：－9　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：(－∞，0) 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　数列与函数的关系 回忆函数的定义，对于数列an＝n2－8n，n∈N＋，数列{an}的各项可以看作关于非零自然数n的函数值吗？ 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在 (或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为 这个图象也称为数列的图象． (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点． (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，对应项的变化趋势． (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法． [例1] 在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象． 列表： 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7， －7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示． 数列的图象特征 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． [练1] 根据下列数列的通项公式，写出该数列的前5项，并用图象表示出来． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1. 图象如图． (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 图象如图． 知识点二　数列的增减性 观察下列数列，判断数列的项随其项数的增加是如何变化的？ (1)1，2，3，4，5，6，7； (2)1，，，，…； (3)2 025，2 025，2 025，…，2 025 数列的增减性 (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性． (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列． 角度1　判断数列的增减性 [例2] (1)(多选)下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是(　　) A．an＝－3n－1 B．an＝5n－3 C．an＝7＋2n D．an＝(－1)nn2 (2)已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为严格递减数列，则实数k的取值范围是______________． (1)对于A，∵an＋1－an＝－3(n＋1)－1＋3n＋1＝－3<0，∴数列{an}为递减数列，A错误；对于B，∵an＋1－an＝5(n＋1)－3－5n＋3＝5>0，∴数列{an}为递增数列，B正确；对于C，∵an＋1－an＝7＋2n＋1－7－2n＝2n>0，∴数列{an}为递增数列，C正确；对于D，an＋1－an＝(－1)n＋1(n＋1)2－(－1)nn2＝(－1)n＋1·(2n2＋2n＋1)，∵2n2＋2n＋1＝2(n＋)2＋>0，∴当n为偶数时，an＋1－an<0， ∴数列{an}不是递增数列，D错误． (2)因为an＋1－an＝－＝， 又数列{an}为严格递减数列，所以<0对任意n∈N＋恒成立， 即k>3－3n恒成立，当n＝1时，3－3n有最大值为0，所以k>0. [变式探究] 本例(2)中，把数列{an}的通项公式换为an＝n2＋kn＋2，且数列{an}为递增数列，求实数k的取值范围． 因为数列{an}为递增数列， 所以an＋1>an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2， 整理得k>－(2n＋1). 因为当n∈N＋时，f(n)＝－(2n＋1)单调递减， f(n)max＝f(1)＝－(2×1＋1)＝－3，所以k>－3.即实数k的取值范围是(－3，＋∞). 判断数列增减性的方法 (1)作差法，将an＋1－an与0进行比较． (2)作商法，将与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0). (3)利用对应函数在(0，＋∞)上的单调性，判断数列的单调性． [练2] (1)已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 (2)已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范 围是____________． (1)因为an＝＝，显然随着n的增大，2－是递增的，故an是递减的，则数列{an}是递减数列． (2)∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0， ∴k>0. 角度2　数列中的最大(小)项 [例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． (1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. ∵n∈N＋，∴n＝2，3，∴数列中有两项是负数． (2)方法一　∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3， 其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二　设第n项最小，由 得 解得2≤n≤3，∴n＝2或n＝3，∴a2＝a3且最小， ∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 求数列{an}的最大项和最小项的方法 (1)数列或函数的单调性法． (2)不等式法：求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n. [练3] 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·()n(n∈N＋)，问：数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，请说明理由． 由已知可得an＋1－an＝(n＋2)·()n＋1－(n＋1)·()n＝()n·. 同理an－an－1＝()n－1·. 由an＋1－an≤0且an－an－1≥0可得9≤n≤10. ∴n＝9或n＝10，即a9＝a10，∴a9，a10均为最大项． ◎随堂演练 1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(　　) A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 ∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图象是一群孤立的点． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是__________． ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值为－9. 4．已知数列{an}，an＝kn－3，若该数列是递减数列，则实数k的取值范围是__________． 因为对于一次函数y＝kx＋b，当k<0时，函数y＝kx＋b是减函数，所以若数列an＝kn－3是递减数列，则k<0. $$