1.1.1 数列的概念（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

数 列 §1　数列的概念及其函数特性 第一章 1．1　数列的概念 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1.了解数列及有关的概念． 2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项． 3．会根据数列的前几项写出简单数列的一个通项公式． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 数列 {an} 首项 通项 项 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 有限 无限 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 AD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 AC 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 an n 函数关系 an＝f(n) 解析式 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 ABD 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：8 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　数列的概念与分类 观察下面四组数字： (1)1，2，3，4；(2)3，4，1，2； (3)4，3，2，1；(4)4，3，1，2， 这四组数字的不同之处是什么？用四组数字组成集合，所得集合是同一集合吗？ 1．数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作____，数列中的每一个数叫作这个数列的__． (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列 ，其中a1是数列的第1项，也叫数列的____；an是数列的第n项，也叫数列的____． 2．数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列——项数____的数列． (2)无穷数列——项数____的数列． (1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列． (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数是有限还是无限． [例1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．数列1，2，3，4，5，6与数列1，2，5，6，3，4不是同一个数列 B．数列1，2，3，4，5，6可以表示为{1，2，3，4，5，6} C．0，2，4，6，8，…，2n是无穷数列 D．2 025，2 025，2 025，2 025，2 025，…是一个数列 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A正确；数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B错误；当n确定后，数列0，2，4，6，8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误；根据数列定义知D正确． 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列． (3)同一个数在数列中可以重复出现． [练1] (多选)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．a，－3，－1，1，b，5，7一定能构成数列 根据数列的相关概念，易知第1项即首项为4，故A正确．同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．由无穷数列的概念，易知C正确．数列是按一定次序排列的一列数，若a，b都代表数时构成数列，若a，b中至少有一个不代表数时不能构成数列，故D错误． 知识点二　数列的通项 若数列{an}的前6项为2，3，4，5，6，7，观察数列的项与项数的关系，结合函数的概念，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ 如果数列{an}的第n项 与__之间的________可以用一个式子表示成_________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的______． (1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N＋(或它的有限子集). (2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项． 角度1　由具体数列求通项公式 [例2] 根据规律写出下面数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)9，99，999，9 999，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)，1，，，…； (5)2，4，8，16，…. (1)a1＝＝1－，a2＝＝1－，a3＝＝1－，a4＝＝1－，…， 归纳猜想得an＝1－(n∈N＋). (2)a1＝9＝10－1，a2＝99＝102－1，a3＝999＝103－1，a4＝9 999＝104－1，…. 归纳猜想得an＝10n－1(n∈N＋). (3)a1＝－1＝，a2＝＝，a3＝－＝，a4＝＝，a5＝－＝，a6＝＝，…， 归纳猜想得an＝(n∈N＋). (4)a1＝＝，a2＝1＝，a3＝＝，a4 ＝＝，…， 归纳猜想得an＝(n∈N＋). (5)a1＝21，a2＝4＝22，a3＝8＝23，a4＝16＝24，…， 归纳猜想得an＝2n(n∈N＋). 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，那么可将各项同时加上或减去一个数，或通过分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [练2] 写出以下各数列{an}的一个通项公式： (1)2，4，6，8，10，…； (2)1，3，5，7，9，…； (3)0，2，0，2，0，…； (4)－，，－，，－，…. (1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍， 因此数列的一个通项公式为an＝2n，n∈N＋. (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的每一项小1， 因此数列的一个通项公式为an＝2n－1，n∈N＋. (3)观察数列的前5项可知数列的奇数项都是0，而偶数项都是2， 因此它的一个通项公式为an＝n∈N＋. (4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…， 其中每一个数都是序号的2倍．而且，数列每一项的分母都是分子的平方减去1. 又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N＋ 角度2　由通项公式求数列中的项 [例3] 已知数列an＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． (1)a4＝42－7×4＋6＝－6. (2)令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0， 即(n－16)(n＋9)＝0，解得n＝16或n＝－9(舍去)， 故150是这个数列的项，为第16项． [变式探究1] 本例的条件不变，该数列从第几项开始各项都是正数？ 令an＝n2－7n＋6>0，(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6， 因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数． [变式探究2] 本例的条件不变，这个数列的第2n项和第2n－1项是多少？ a2n＝(2n)2－7×2n＋6＝4n2－14n＋6， a2n－1＝(2n－1)2－7(2n－1)＋6＝4n2－18n＋14. 通项公式应用的常见题型及其解法 (1)由通项公式写出数列的某项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值． (2)判断一个数是否为该数列中的项．由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项． [练3] 已知数列{an}的通项公式为an＝5＋3n，求： (1)a7等于多少； (2)81是否为数列{an}中的项？若是，是第几项；若不是，说明理由． (1)因为数列{an}的通项公式为an＝5＋3n，所以a7＝5＋3×7＝26. (2)令5＋3n＝81，解得n＝， 因为n＝∉N＋，所以81不是数列{an}中的项． ◎随堂演练 1．若数列{an}的通项公式为an＝，则a4＝(　　) A． B． C． D． 因为an＝，所以a4＝＝. 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．an＝2n－1(n∈N＋)是数列的一个通项公式 B．数列通项公式是一个函数关系式 C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示 D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 数列的通项公式的概念：将数列{an}的第n项用一个具体式子(含有参数n)表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一确定的，故AB正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表 达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C错误；根据无穷数列的概念，可知D正确． 3．已知数列的前几项为1，，，…，它的第n项(n∈N＋)是____________． 答案： 由题知，该数列的前3项可分别写成，，， 所以数列的通项公式为an＝，则它的第n项为. 4．有下列一列数：1，2，4，(　　)，16，32，…按照规律，括号中的数应为____________． 根据前三项和后两项的规律可知，从第二个数起，每个数与前一个数的比都是2，则括号中的数是8. $$