专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标）6种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标） 6种常考题型总结 题型概览 题型01向量数量积的运算律 题型02向量数量积的运算 题型03向量的模 题型04向量的垂直问题 题型05向量的夹角问题 题型06投影向量问题 ( 题型01 ) 向量数量积的运算律 1．【多选】（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 2．【多选】（23-24高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 3．【多选】（22-23高一下·四川遂宁·期中）已知、、是三个向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 ( 题型0 2 ) 向量数量积的运算 4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D．    5．（23-24高一下·四川泸州·期中）在等边中，，则 ． 6．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，和的夹角是60°，则 ． 7．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 9．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在直角梯形中，，，，点为的中点，与相交于.    (1)当时，求； (2)设，求的值. 10．（22-23高一下·四川成都·期中）定义关于向量的运算法则，若，，则 ． 11．（22-23高一下·四川达州·期中）等边，边长为2，D为BC的中点，动点E在边AC上，E关于D的对称点为F，则的最大值为 ． 12．（22-23高三上·四川德阳·期中）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为，则（    ） A． B． C． D． ( 题型 03 ) 向量的模 13．（24-25高三上·四川·期中）已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 14．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，，，则 . 16．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知平面向量，. (1)求的值； (2)求的值. 17．（23-24高一下·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为 ． 18．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . ( 题型0 4 ) 向量的垂直问题 19．（23-24高一下·四川·期中）设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一下·四川自贡·期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 21．（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则实数的值为 ． 22．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知向量，，若，则 . 23．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知平面向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（22-23高一下·四川成都·期中）在菱形ABCD中，，，则 . ( 题型0 5 ) 向量的夹角问题 25．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 . 26．（23-24高一下·四川·期中）已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 27．（23-24高三上·四川成都·期中）已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为 . 28．（22-23高一下·四川自贡·期中）如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知，，，则与的夹角为 . 30．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，. (1)求的坐标及的值； (2)求与的夹角的余弦值. 31．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 32．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 33．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，且. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 34．（21-22高一下·四川成都·期中）已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B．C．D． ( 题型0 6 ) 投影向量问题 35．（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·四川内江·期中）已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·四川·期中）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）． 39．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，. (1)若，求在上的投影向量的坐标； (2)设，若，求向量与的夹角的余弦值. 1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 2．【多选】（23-24高三上·四川·期中）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 3．【多选】（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 4．【多选】（23-24高一下·四川广安·期中）已知向量，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量反向的单位向量是 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的数量积及其应用（含坐标） 6种常考题型总结 题型概览 题型01向量数量积的运算律 题型02向量数量积的运算 题型03向量的模 题型04向量的垂直问题 题型05向量的夹角问题 题型06投影向量问题 ( 题型01 ) 向量数量积的运算律 1．【多选】（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 【答案】ABD 【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C. 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 2．【多选】（23-24高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 3．【多选】（22-23高一下·四川遂宁·期中）已知、、是三个向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据数量积的定义及几何意义判断C、D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：因为表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 若与不共线则与不一定相等，故C错误； 对于D：若，即， 当时，即与在方向上的投影相等，故D错误； 故选：AB ( 题型0 2 ) 向量数量积的运算 4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知为单位圆的内接正三角形，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由题设得，，且，的夹角为，再应用数量积的定义求答案. 【详解】如图，延长交于点. 因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以. 又是正的中心，所以，，所以. 设的边长为，由勾股定理得， 即，解得（负值舍）， 所以，，易得，的夹角为， 所以.   故选：B    5．（23-24高一下·四川泸州·期中）在等边中，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量数量积的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 6．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，和的夹角是60°，则 ． 【答案】24 【分析】利用向量数量积公式求出答案. 【详解】. 故答案为：24 7．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据，得出，，然后根据进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】如图，连接，，，，则， ， 故选：A． 8．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解； （2）用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以. （2）因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 9．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，在直角梯形中，，，，点为的中点，与相交于.    (1)当时，求； (2)设，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到，结合数量积的坐标表示即可得解； （2）分解向量得，结合三点共线的推论即可列方程求解. 【详解】（1）因为， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    若，，则， 所以， 所以； （2）设，，则，，， 则，，， 由题意， 因为三点共线，所以，解得. 10．（22-23高一下·四川成都·期中）定义关于向量的运算法则，若，，则 ． 【答案】 【分析】先计算，，再结合新定义转化为计算两者的数量积即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 11．（22-23高一下·四川达州·期中）等边，边长为2，D为BC的中点，动点E在边AC上，E关于D的对称点为F，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示两个向量，将数量积化为关于坐标的函数求最值. 【详解】图所示，以D为原点建立平面直角坐标系，则， 可设，则 故，当且仅当时取得最大值. 故答案为： 12．（22-23高三上·四川德阳·期中）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积公式进行计算. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 每一个小正方形的边长均为， 故 则. 故选：A. ( 题型 03 ) 向量的模 13．（24-25高三上·四川·期中）已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用平方运算将向量的模转化为向量的数量积，进而根据模长计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即， 则，化简得， 则， 故选：D. 14．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 15．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【分析】利用转换法结合已知即可运算求解. 【详解】. 故答案为：. 16．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知平面向量，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式求解； （2）先求的坐标，再由向量的模的坐标公式求模即可. 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴， ∴ 17．（23-24高一下·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为 ． 【答案】 【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设向量，因为且与的夹角为， 则 ，所以当时，的最小值为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】作，根据已知可判断点C在以AB为直径的圆上，利用向量数量积的性质求和圆的半径，然后可得. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 作，因为， 所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E， 则， 因为，所以圆E的半径为2， 所以，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据平面向量的线性运算的几何意义，将问题转化为圆上动点到圆外定点的距离最大值问题. ( 题型0 4 ) 向量的垂直问题 19．（23-24高一下·四川·期中）设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，为非零向量， 所以，故A错误，C正确， 没有其他已知条件可以说明B、D正确与否. 故选：C 20．（22-23高一下·四川自贡·期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】根据可判断四边形为平行四边形，由可得，可判断四边形为菱形. 【详解】 因，所以，故，且， 故四边形为平行四边形， 由得，即， 所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形. 故选：C 21．（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解. 【详解】若，则即，解得. 故答案为： 22．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 23．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知平面向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合向量垂直的坐标表示，及充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，则，所以； 而当，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 24．（22-23高一下·四川成都·期中）在菱形ABCD中，，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相垂直得，再利用向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】在菱形ABCD中对角线互相垂直，所以, 所以， 所以. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 向量的夹角问题 25．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 . 【答案】/ 【分析】由题意，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解. 【详解】由题意，所以，解得. 故答案为：. 26．（23-24高一下·四川·期中）已知，且与的夹角为， (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可. （2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由平面向量数量积的定义得， 故的值为， （2）设向量与的夹角为 ， 又， ， 故向量与的夹角的余弦值为. 27．（23-24高三上·四川成都·期中）已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为 . 【答案】/0.25 【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 28．（22-23高一下·四川自贡·期中）如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量垂直，数量积为0，得，再代入模和夹角公式，即可求解. 【详解】由，则， 则，得，， 所以. 故选：D 29．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知，，，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】先根据求出，利用夹角公式可得答案. 【详解】因为，， 所以，又所以； 所以， 因为，所以. 故答案为：. 30．（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，. (1)求的坐标及的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合向量的线性运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合平面向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，. 则， （2）因为，， 所以 31．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知向量，． (1)若，求； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得； （2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）由题意， 因为，则，得， 则，所以； （2）由已知，又，， 所以，得， 则，， 故． 32．（23-24高一下·四川绵阳·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求. 【详解】    设正方形的边长为2，以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 所以，，故， 所以， 又， 所以. 故答案为： 33．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）已知向量，且. (1)求的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可. （2）运用平面向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，解得. 故的值为3. （2）由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 故与的夹角的余弦值为. 34．（21-22高一下·四川成都·期中）已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】由是钝角得，且，解不等式可得答案. 【详解】因为与的夹角是钝角，所以 ，且， 解得且. 故选：D. ( 题型0 6 ) 投影向量问题 35．（24-25高二上·四川达州·期中）已知空间单位向量，的夹角为，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量在方向上的投影数量，再根据投影向量的定义得结论． 【详解】， 所以向量在方向上的投影向量为， 故选：B． 36．（23-24高一下·四川内江·期中）已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 37．（23-24高一下·四川·期中）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量公式直接求解. 【详解】在方向上的投影向量为. 故选：B 38．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 （用坐标表示）． 【答案】 【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算即得. 【详解】因向量在向量方向上的投影向量为， 由，可得，， 故向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 39．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，. (1)若，求在上的投影向量的坐标； (2)设，若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由已知，可得，在上的投影向量为，求解即可； （2）由可得，利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以， 所以，， 故在上的投影向量为， 故在上的投影向量的坐标为； （2）因为， 所以，即， 所以， 所以，， 所以，，， 故. 1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量垂直得出，再根据投影向量公式得出夹角余弦进而得出夹角. 【详解】因为，所以， 所以.因为向量在向量上的投影向量是， 所以，即，所以. 又因为，所以与的夹角是. 故选:B. 2．【多选】（23-24高三上·四川·期中）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量夹角以及投影向量的运算，逐项判断即可. 【详解】因为，所以，又，所以，故A错误； 因为，所以与的夹角为，故B正确； ，所以，所以C正确； 在上的投影向量， 所以D正确. 故选：BCD 3．【多选】（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D. 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 4．【多选】（23-24高一下·四川广安·期中）已知向量，则（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量反向的单位向量是 【答案】AC 【分析】利用平面向量的坐标运算判断A，C，利用投影向量的求法判断B，利用单位向量的求法判断D即可. 【详解】因为向量，所以， 故，故成立，故A正确， 易得，， 由投影向量定义得，投影向量为，故B错误， 由题意得，故，故C正确， 由单位向量定义得与向量反向的单位向量为，故D错误. 故选：AC 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$