专题01 平面向量的概念及其线性运算5种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题01 平面向量的概念及其线性运算5种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量的有关概念 题型02平面向量的加、减法及数乘运算 题型03共线向量定理的应用 题型04向量的线性表示 题型05根据向量的线性运算求参数 ( 题型01 ) 平面向量的有关概念 1．【多选】（23-24高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 2．【多选】（22-23高一下·四川成都·期中）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B．零向量与任意向量平行 C．是的充分不必要条件 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 3．【多选】（22-23高一下·四川眉山·期中）给出下列命题，其中假命题为（    ） A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； C．若与同向，且，则； D．为实数，若，则与共线. 4．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．【多选】（22-23高一下·四川南充·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．平面内所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 6．（22-23高一下·四川成都·期中）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与共线 D． ( 题型02 ) 平面向量的加、减法及数乘运算 7．（22-23高二下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·四川眉山·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·四川绵阳·期中）已知点为内一点，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一下·四川成都·期中）对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 共线向量定理的应用 12．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 13．（23-24高一下·四川内江·期中）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 14．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知向量是不共线的向量， ， ，若三点共线，则满足（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一下·四川成都·期中）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 . ( 题型04 ) 向量的线性表示 16．【多选】（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高一下·四川成都·期中）在中，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 根据向量的线性运算求参数 19．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，点，满足，，若，则（    ） A． B． C． D．1 1．（20-21高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 2．（22-23高一下·四川成都·期中）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（20-21高一下·四川凉山·期中）已知O为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川达州·期中）若是边长为2的等边三角形，所在平面有一点C满足，且，则的最小值为 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的概念及其线性运算5种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量的有关概念 题型02平面向量的加、减法及数乘运算 题型03共线向量定理的应用 题型04向量的线性表示 题型05根据向量的线性运算求参数 ( 题型01 ) 平面向量的有关概念 1．【多选】（23-24高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 【答案】AC 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误； 对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确； 对于C，因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误； 对于D，假设点M与点N重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确； 故选：AC 2．【多选】（22-23高一下·四川成都·期中）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B．零向量与任意向量平行 C．是的充分不必要条件 D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 【答案】AB 【分析】利用相反向量的定义判断选项A；利用规定：零向量和任意向量平判断选项B；利用相等向量的定义判断选项C；利用平行四边形可判断选项D. 【详解】对A，，A正确； 对B，我们规定：零向量与任意向量平行，B正确； 对C，由只能确定长度相等，不等确定方向， 所以推不出， 又由可得， 所以是的必要不充分条件，C错误； 对D，在平行四边形中，向量与向量是共线向量， 但点A，B，C，D不在同一条直线上，D错误； 故选:AB. 3．【多选】（22-23高一下·四川眉山·期中）给出下列命题，其中假命题为（    ） A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； C．若与同向，且，则； D．为实数，若，则与共线. 【答案】ACD 【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可 【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误， 对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则， 所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确， 对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误， 对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误， 故选：ACD 4．（22-23高三上·四川成都·期中）关于向量，，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误； 选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误； 选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确； 选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误. 故选：C 5．【多选】（22-23高一下·四川南充·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．平面内所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】BD 【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB，由向量以及相等向量可判断AD. 【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A错误， 对于B，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误, 对于D，，则，且,故为平行四边形，故D正确， 故选：BD 6．（22-23高一下·四川成都·期中）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与共线 D． 【答案】B 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：与不共线，错误； 对选项D：向量不能比较大小，错误. 故选：B. ( 题型02 ) 平面向量的加、减法及数乘运算 7．（22-23高二下·四川成都·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法的运算法则求解即可． 【详解】， 故选：B． 8．（24-25高二上·四川达州·期中）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 9．（22-23高一下·四川眉山·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：D. 10．（21-22高一下·四川绵阳·期中）已知点为内一点，且，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件确定O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，进而得到与的面积之比. 【详解】设AC的中点是M，BC的中点是N， 由题有，即，， 所以O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点， 设S△ONC=k，则S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k 所以. 故选：B. 11．（21-22高一下·四川成都·期中）对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断、的意义，依题意只需找到满足与反向即可，从而判断可得； 【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 要使，即与反向， 则当时与反向，满足条件； 当时与同向，不满足条件； 当时不一定满足与反向，故不满足条件； 故选：C ( 题型03 ) 共线向量定理的应用 12．（23-24高一下·四川成都·期中）设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数 ． 【答案】-7 【分析】求出，设，得到方程组，得到. 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 13．（23-24高一下·四川内江·期中）已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 【答案】2 【分析】根据向量共线的性质即可列式求解. 【详解】因为与共线，所以， 即，又不共线，所以，所以. 故答案为： 14．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知向量是不共线的向量， ， ，若三点共线，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线列方程组，由此求得的关系式，从而确定正确答案. 【详解】由于三点共线，所以， 即， 所以，将代入得. 故选：D 15．（21-22高一下·四川成都·期中）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 . 【答案】 【分析】根据基底的定义及共线向量的充要条件即可求解. 【详解】因为向量与为一组基底，所以与不共线. 又因为与平行， 所以，即， 因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. ( 题型04 ) 向量的线性表示 16．【多选】（23-24高一下·四川广安·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用欧拉线的几何性质，再结合平面几何中的平行性质，以及向量的线性运算，即可作出判断. 【详解】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：，故D错误； 故选：ABC. 17．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解. 【详解】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做 因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形. 可得, 所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以． 故选：C 18．（21-22高一下·四川成都·期中）在中，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解. 【详解】解：因为在中，为上一点，且， 所以， 故选：D. ( 题型0 5 ) 根据向量的线性运算求参数 19．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，点，满足，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由已知得，由此能求出结果． 【详解】 在中，点，满足，， ， ，， ． 故选：B． 1．（20-21高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确. 故选：C. 2．（22-23高一下·四川成都·期中）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用，确定点O的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解. 【详解】因为， 所以, 所以 取的中点,则, . ，即为中线的中点,如图所示， 则的面积为，的面积为， . 所以. 故选：A 3．（20-21高一下·四川凉山·期中）已知O为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以OB、OC为邻边做平行四边形OBDC，利用向量的运算判断出O到AB的距离是C到AB距离的一半，即可求出与面积比为. 【详解】以OB、OC为邻边做平行四边形OBDC如图所示， 则. 因为，所以，所以. 在AB边上取三等分点E、F，连结OE. 因为所以，所以四边形OEBD为平行四边形，所以，所以. 所以O到AB的距离是C到AB距离的一半，所以与面积比为. 故选：C 4．（23-24高一下·四川达州·期中）若是边长为2的等边三角形，所在平面有一点C满足，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】由向量等式两边平方整理为，利用消元，将其整理成二次函数，求其最值即可. 【详解】由是边长为2的等边三角形可得：， 将两边平方，得（*）， 由可得代入（*）得， 故当时，，即的最小值为3. 故答案为：3. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$