专题03 平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题03 平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型总结 题型概览 题型01对基向量概念的理解 题型02用基底表示向量 题型03利用平面向量基本定理求参数 题型04平面向量的坐标运算 题型05向量共线的坐标表示 ( 题型01 ) 对基向量概念的理解 1．【多选】（22-23高一下·四川凉山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量，满足，则，为平行向量 B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D．若是等边三角形，则 2．（21-22高一下·四川成都·期中）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 . 3．（19-20高一下·四川广元·期中）若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 用基底表示向量 4．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·四川达州·期中）如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.    (1)用表示; (2)求. 6．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.    (1)当时，用，表示； (2)若，求的最大值. 7．（21-22高一下·四川南充·期中）在中，且角的平分线交于则（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·四川成都·期中）在中，已知点是的四等分点（靠近点），则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 利用平面向量基本定理求参数 9．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·四川·期中）如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一下·四川遂宁·期中）在梯形中， ∥，，为的中点，，则 ． 12．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，若，，，点是线段上一点，且.若，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 13．（21-22高一上·四川泸州·期末）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. (1)用向量，表示； (2)设向量，，求的值. ( 题型04 ) 平面向量的坐标运算 14．【多选】（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川内江·期中）已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 . 16．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 17．（22-23高一下·四川成都·期中）已知点，若向量，则点的坐标是 . 18．（21-22高一下·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 19．（21-22高一下·四川凉山·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量共线的坐标表示 20．（21-22高一下·四川内江·期中）已知向量，，且，那么（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 23．（2023高一下·四川成都·期中）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高一下·四川成都·期中）已知，向量，. (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； (2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 25．（22-23高二下·四川宜宾·期中）已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高三上·四川成都·期中）如图，在中，，是正三角形，点是的中心，若， 则 2．（23-24高一下·四川·期中）如图、在四边形中，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)若，，向量，的夹角为，，求． 3．【多选】（22-23高一下·四川成都·期中）如图，中，，，，为的中点，与交于，则下列叙述中，一定正确的是（    ） A．在方向上的投影为0 B． C． D．若，则 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型总结 题型概览 题型01对基向量概念的理解 题型02用基底表示向量 题型03利用平面向量基本定理求参数 题型04平面向量的坐标运算 题型05向量共线的坐标表示 ( 题型01 ) 对基向量概念的理解 1．【多选】（22-23高一下·四川凉山·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量，满足，则，为平行向量 B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D．若是等边三角形，则 【答案】AB 【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量定义知C错误；由向量夹角的定义知D错误. 【详解】对于A，，是平行向量，A正确； 对于B，为一组基底，不共线， 也不共线，也可以作为一组基底，B正确； 对于C，虽然单位向量模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误； 对于D，为等边三角形，，D错误. 故选：AB. 2．（21-22高一下·四川成都·期中）已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 . 【答案】 【分析】根据基底的定义及共线向量的充要条件即可求解. 【详解】因为向量与为一组基底，所以与不共线. 又因为与平行， 所以，即， 因为与不共线，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 3．（19-20高一下·四川广元·期中）若是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面中基底是两个不共线向量，逐个分析判断即可得解. 【详解】由是平面内的一组基底，则非零不共线， 由一组基底必不共线，可得： 对A，，故共线，不符题意； 对B，不能互相线性表示，故不共线，满足题意； 对C，，故共线，不满足题意； 对D，，故共线，不满足题意. 故选：B ( 题型02 ) 用基底表示向量 4．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解. 【详解】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同， 则，故A正确； 对B：由图可知，，，所以， 故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：D. 5．（22-23高一下·四川达州·期中）如图，在边长为2的等边中，，点是的中点，设.    (1)用表示; (2)求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量的加减的三角形法则和线性运算可得. （2）利用数量积的运算律转化即可. 【详解】（1）， . （2） . 6．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.    (1)当时，用，表示； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理，即可表示出. （2）根据题意，连接，，用，分别表示出，，然后根据，，三点共线，，，三点共线列出方程表示出，再结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）∵，∴， ∴， （2）   连接，，则 因为，，三点共线，，，三点共线， 设，， 所以， 因为，所以，得 因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 代入得 因为，所以解得 因为，∵，∴ 当且仅当时取得等号，∴的最大值是 7．（21-22高一下·四川南充·期中）在中，且角的平分线交于则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由用平分线定理得，，然后利用向量的加法法则和减法法则计算化简， 【详解】因为是角的平分线，　，， 所以， 故选：A． 8．（21-22高一下·四川成都·期中）在中，已知点是的四等分点（靠近点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量代数运算即可求解结果． 【详解】 故选：A ( 题型03 ) 利用平面向量基本定理求参数 9．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】设， 由， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 10．（23-24高一下·四川·期中）如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 11．（21-22高一下·四川遂宁·期中）在梯形中， ∥，，为的中点，，则 ． 【答案】 【分析】根据图形，利用向量线性运算法则，即可求解. 【详解】 ，    所以，，，则. 故答案为： 12．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，若，，，点是线段上一点，且.若，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 所以，即，. 故选：B 13．（21-22高一上·四川泸州·期末）如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. (1)用向量，表示； (2)设向量，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可； （2）用，表达，结合三点共线即可求得. 【详解】（1）∵为中线上一点，且， ∴ ； （2）∵，，， ∴，又，，三点共线， ∴，解得，故的值为. ( 题型04 ) 平面向量的坐标运算 14．【多选】（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 15．（23-24高一下·四川内江·期中）已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，设顶点的坐标为，则， 所以，解得，所以顶点的坐标为. 故答案为：. 16．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 17．（22-23高一下·四川成都·期中）已知点，若向量，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】设，根据得到，解得答案. 【详解】设，，即， 故，解得，即点的坐标是. 故答案为： 18．（21-22高一下·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 故选：A 19．（21-22高一下·四川凉山·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题意得： 故选：C ( 题型0 5 ) 向量共线的坐标表示 20．（21-22高一下·四川内江·期中）已知向量，，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知, 得出，即可求得. 【详解】因为向量，，且， 所以，即，解得. 故选：A. 21．（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算，结合平行满足的坐标关系，即可求解. 【详解】因为， 所以，， 由于，所以，化简可得. 故选：A. 22．（22-23高一下·四川自贡·期中）（1）已知向量，，若，求k的值； （2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反? 【答案】（1）；（2）共线，相同. 【分析】（1）计算出，由平行关系得到方程，求出k的值； （2）计算出，从而得到，得到答案. 【详解】（1）， ， 因为，所以，解得. （2）因为， ， 因为，所以，所以与共线. 又，所以与的方向相同. 23．（2023高一下·四川成都·期中）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，且， 所以，所以. 故选：C. 24．（22-23高一下·四川成都·期中）已知，向量，. (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标； (2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解； （2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解. 【详解】（1）设点C的坐标为， 因为，，，可得， 则， 若四边形OACB为平行四边形，可得， 则，解得， 故点C的坐标为. （2）设点P的坐标为， 由（1）可知：，则， 若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则， 则，解得， 故点P的坐标为. 25．（22-23高二下·四川宜宾·期中）已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断. 【详解】若向量，则，即 解得：或, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 1．（23-24高三上·四川成都·期中）如图，在中，，是正三角形，点是的中心，若， 则 【答案】 【分析】结合图形，利用题干信息，先找到长度关系，再根据角平分线定理，得到比例关系，最后利用三共线定理书写最终式子，得到系数关系即可. 【详解】如图，MC交AB于点E， ， 设，则， 因为AB是的角平分线，所以， 所以， ， 因为，，三点共线，所以， ， 由题干可知，即 所以，    故答案为：. 2．（23-24高一下·四川·期中）如图、在四边形中，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)若，，向量，的夹角为，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可证明； （2）由平面向量的线性运算得，再由平面向量的数量积的性质计算即可． 【详解】（1）证明：，分别为，的中点， ，， ，① ，② ①②得：， ． （2），， ， ，向量，的夹角为， ， ． 3．【多选】（22-23高一下·四川成都·期中）如图，中，，，，为的中点，与交于，则下列叙述中，一定正确的是（    ） A．在方向上的投影为0 B． C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】由余弦定理以及勾股定理可得， 可判断A,根据平面向量的线性运算以及共线的性质即可判断B,由数量积的运算律即可求解C，由向量的夹角公式即可判断D. 【详解】对于A，因为， 因为，所以，即，在上的投影为，故A正确； 对于B，因为，设， 因为，，三点共线，所以，所以，所以，所以B正确； 对于C，，C正确； 对于D，因为， 所以，如果，又因为， 所以，不满足，故D不正确． 故选：ABC 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$