第八章 几何体的表面积与体积（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第8章 几何体的表面积与体积 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025高一·全国·课后作业）如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为448+32(cm2)，则其体积为（    ） A．512+128(cm3) B．216+128(cm3) C．512+64(cm3) D．216+64(cm3) 3．（2025高二·全国·课后作业）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·全国·课后作业）在半径为1的球内放置一个高为1的长方体，则长方体体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2025高一下·湖北孝感·阶段练习）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，将此三棱柱沿、、截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考真题）如图所示，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，，，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V为（    ） A． B．5 C．6 D． 8．（24-25高二上·江苏淮安·期末）蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（    ） 【参考数据】，，，． A．101g B．182g C．519g D．731g 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·河北衡水·期中）已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11．（2025高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·山东·高考预测）如图，正方体的棱长为1，E为线段 上的一点，则三棱锥的体积为 13．（2025高一下·全国·课后作业）一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，为其上四个点，则以为顶点的三棱锥的体积为 . 14．（24-25高二上·上海长宁·期中）如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： （1）该几何体的体积． （2）截面ABC的面积． 16．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在直三棱柱中，，. （1）求该直三棱柱的表面积； （2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积. 17．（24-25高一下·湖北孝感·期中）如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为，侧棱，若侧面水平放置时（如下图2），水面恰好过，，，的中点． （1）求容器中水的体积； （2）当容器底面水平放置时（如图1），求容器内水面的高度． 18．（24-25高一下·广西·阶段练习）如图，半径的球中有一内接圆柱，设圆柱的高为，底面半径为. (1)当时，求圆柱的体积与球的表面积； (2)当圆柱的轴截面的面积最大时，求与的值. 19．（24-25高一下·福建宁德·期中）如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为.    （Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积； （Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 几何体的表面积与体积 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】三棱锥的底面积是长方体底面积的一半，高为长方体的，故体积为长方体的. 【详解】 故选：C. 2．（2025高一·全国·课后作业）如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为448+32(cm2)，则其体积为（    ） A．512+128(cm3) B．216+128(cm3) C．512+64(cm3) D．216+64(cm3) 【答案】A 【分析】根据表面积求出正方体棱长，再由正方体体积及正三棱柱体积得解. 【详解】设正方体的棱长为a cm， 则5a2+2a2+a2×2=448+32，解得a=8 cm. 该几何体的体积为a3+a2·a=512+128(cm3). 故选：A. 3．（2025高二·全国·课后作业）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果. 【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形， 设三条侧棱长分别为，则，所以， 所以三棱锥的体积. 故选：C 4．（2025高一下·全国·课后作业）在半径为1的球内放置一个高为1的长方体，则长方体体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】转化为球内接长方体问题，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意可知，当长方体为球的内接长方体时，体积最大，此时长方体的体对角线为球的直径， 设长方体的长为x，宽为y，则，即. ∴长方体的体积，当且仅当时等号成立. 故选：B. 5．（2025高一下·湖北孝感·阶段练习）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，将此三棱柱沿、、截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用相似比求出，再根据棱锥的高与棱柱的高相等，可求出，从而可得棱锥的体积与剩下几何体体积的比值. 【详解】、分别为、的中点， //， ， ， ， ， ， 剩下几何体体积为， 棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是. 故选：C 【点睛】本题主要考查了棱柱、棱锥的体积公式，需掌握柱体、锥体的体积公式，求三棱锥的体积可采用换顶点法求解，属于基础题. 6．（24-25高二上·上海徐汇·期中）分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形的三边分别为､､，，即为斜边，分别求得､､的值，可得结论. 【详解】设直角三角形的三边分别为、、，，即为斜边， 则以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为， 则， 以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，则， 以边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为，则， ， 故选：C. 7．（2024·全国·高考真题）如图所示，多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，，，EF到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积V为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】方法一：连接EB，EC，AC，由等体法可得，再由以及棱锥的体积公式即可求解；方法二：设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH，得三棱柱，则，由即可求解，方法三：延长EF至点M，使，连接BM，CM，AF，DF，则多面体为斜三棱柱，由，即可求解. 【详解】解法一：如图，连接EB，EC，AC，则. ， . . . 解法二：如图，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH， 则，，，得三棱柱， 由题意得 ， ， . 解法三：如图，延长EF至点M，使，连接BM，CM，AF，DF， 则多面体为斜三棱柱，其直截面面积，则. 又平面BCM与平面ADE平行，F为EM的中点， ， ， 即， ，. 故选：D 【点睛】本题考查了“割补法、等体法”求多面体的体积，考查了棱锥的体积公式，属于中档题. 8．（24-25高二上·江苏淮安·期末）蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（    ） 【参考数据】，，，． A．101g B．182g C．519g D．731g 【答案】B 【解析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果. 【详解】由题意可知，几何体是棱长为的正四面体， 所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差， 设正四面体的棱长为，则正四面体的高为， 设正四面体外接球半径为，则，解得， 所以打印的体积为：， 又， 所以， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·河北衡水·期中）已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1 【答案】AC 【分析】根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为， 所以AC选项正确，BD选项错误. 故选：AC 10．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 11．（2025高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·山东·高考预测）如图，正方体的棱长为1，E为线段 上的一点，则三棱锥的体积为 【答案】 【详解】　以△为底面，则易知三棱锥的高为1， 故 13．（2025高一下·全国·课后作业）一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，为其上四个点，则以为顶点的三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】将展开图还原为正方体，标注的位置，可得所求几何体为三棱锥，利用三棱锥的体积和正方体体积的关系来求解即可. 【详解】解析：将展开图还原为正方体，如图所示，故以为顶点的三棱锥的体积. 故答案为： 【点睛】本题考查空间几何体的体积的求法，表面展开图的应用，考查空间想象能力以及计算能力. 14．（24-25高二上·上海长宁·期中）如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，确定，，得到半径关系，计算体积即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为， 则，故， 圆柱的侧面积为， 当时侧面积最大，此时体积之比为：. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： （1）该几何体的体积． （2）截面ABC的面积． 【答案】（1）6（2）． 【分析】（1）以同样大的几何体进行补形，得一直三棱柱，计算直三棱柱的体积，可求出该几何体的体积； （2）求出△ABC的各边长，判断△ABC为等腰三角形，再计算截面△ABC的面积． 【详解】（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱，其底面为△A1B1C1，高为4+2＝6， ∴所求几何体的体积为V2×2×6＝6； （2）△ABC中，AB，BC，AC2， ∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为：h； ∴截面ABC的面积为S△ABC2． 【点睛】本题考查了求几何体的体积与截面面积的应用问题，其中合理补形是解题的关键，属于中档题． 16．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在直三棱柱中，，. （1）求该直三棱柱的表面积； （2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）结合直三棱柱的表面积公式直接求解即可； （2）首先确定把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱的拼法，分别求出其表面积，选出表面积最大的拼法，然后找到外接球的半径即可求得球的体积. 【详解】解：（1）； （2）由题得：最小，如下图所示 四棱柱还可以有另外两种情况，但组合1大柱体的表面积最大， 所以此时外接球直径， ，. 17．（24-25高一下·湖北孝感·期中）如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为，侧棱，若侧面水平放置时（如下图2），水面恰好过，，，的中点． （1）求容器中水的体积； （2）当容器底面水平放置时（如图1），求容器内水面的高度． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得； （2）设图1中水高度为，根据水的体积相等得到方程，解得即可； 【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为，又高为 所以水的体积为， （2）设图1中水高度为，则，解得． 所以当容器底面水平放置时，容器内水面的高度为． 18．（24-25高一下·广西·阶段练习）如图，半径的球中有一内接圆柱，设圆柱的高为，底面半径为. (1)当时，求圆柱的体积与球的表面积； (2)当圆柱的轴截面的面积最大时，求与的值. 【答案】(1)圆柱的体积为，球的表面积为 (2)， 【分析】（1）取中点，连接，根据勾股定理求出的值，即可求得球的表面积与圆柱的体积； （2）由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得四边形面积的最大值，利用等号成立的条件可求得、的值. 【详解】（1）解：取中点，连接. 当时，，所以，，， 所以，球的表面积为，圆柱的体积为. （2）解：，所以，， 所以，圆柱的轴截面的面积， 当且仅当，即，时取等号，此时. 19．（24-25高一下·福建宁德·期中）如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为.    （Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积； （Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）分别计算圆锥和正四棱柱的体积，再计算该几何体的体积；（Ⅱ）首先利用比例关系求得，再利用基本不等式求得的最大值，即可得到正四棱柱侧面积的最大值 【详解】解：设圆锥母线长为，高为，正四棱柱的高为 （Ⅰ）由，有，故， 由，故， 所以圆锥体积为 由，有正四棱柱的底面对角线长为2， 由图可得，所以， 故正四棱柱的体积为 所以该几何体的体积为 （Ⅱ）由图可得，即，即    由，当且仅当时左式等号成立， 有，当且仅当，时左式等号成立， 故正四棱柱侧面积，当且仅当，时左式等号成立， 所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$