2.6.1 第2课时 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

第2课时　正弦定理 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解决解三角形、判断三角形解的个数问题． 知识点一　正弦定理 如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？ 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 (1)正弦定理对于任意三角形均成立． (2)在△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B⇔a＞b. 角度一　已知两角及任意一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知A＝，C＝，AC＝2，则AB边的长为(　　) A．2 B．2 C． D．－ B　解析：因为A＝，C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝， 由正弦定理可得＝，AB＝＝＝2. 已知两角及一边解三角形的方法 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． [练1] 在△ABC中，已知角A，B的对边分别为a，b，A＝，B＝，a＝4，则b＝(　　) A． B． C．2 D．2 C　解析：由正弦定理可得＝，则＝，即＝，则b＝2. 角度二　已知两边及其中一边的对角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求B，C. 解：∵＝，∴sin C＝＝＝， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°；当C＝120°时，B＝15°. ∴B＝75°，C＝60°或B＝15°，C＝120°. [变式探究] 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解：∵＝，∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．注意讨论该角是否可能有两个值． (2)用三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边． [练2] 在△ABC中，若a＝，b＝，B＝60°，则A＝________． 答案：30°　解析：由正弦定理得＝，sin A＝＝＝. 因为0°<A<180°，又a<b，所以A<B， 则A＝30°. 知识点二　正弦定理的变形公式 在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？ 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4)＝＝＝； (5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B； (6)S△ABC＝. [例3] (2024·成都高一统考期末)在△ABC中，若sin2A＝sin2C－sin2B，AB＝2(BC－AC cosC)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．有一个内角为60°的直角三角形 D　解析：由sin2A＝sin2C－sin2B以及正弦定理得BC2＝AB2－AC2，即BC2＋AC2＝AB2，则BC⊥AC，C＝90°，cosC＝0， 又AB＝2(BC－AC cos C)，所以AB＝2BC，cos B＝＝，B＝60°，即△ABC的形状为有一个内角为60°的直角三角形． 判断三角形形状的常用方法 (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系(如sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝)，进而确定三角形的形状． (2)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． [练3] 在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 C　解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，由正弦定理得a∶b∶c＝4∶5∶6， 设a＝4t(t>0)，则b＝5t，c＝6t， 由余弦定理得cos C＝＝＝>0，则C为锐角， 又C为最大内角，故△ABC为锐角三角形． 知识点三　三角形解的个数的判断 解三角形时有时有一个解，有时有两个解，那么还有可能出现无解的情况吗？试画图说明各种情形． 在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表： 项目 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中若A为锐角，则当a<b sin A时无解；若A为钝角或直角，则当a≤b时无解． [例4] (多选)(2024·北海高一统考期末)在下列情况的三角形中，有两个解的是(　　) A．a＝，b＝4，A＝30° B．b＝11，c＝10，B＝60° C．a＝3，c＝1，A＝90° D．a＝12，b＝16，A＝45° AD　解析：对于A，b sin A＝4×＝2<a<b，A＝30°，则有两解，A正确； 对于B，c<b，且B＝60°，则C为锐角，只有一解，B不正确； 对于C，A＝90°，a＝3，c＝1，则C为锐角，只有一解，C不正确； 对于D，A＝45°，b sin A＝16×＝8<a<b，则有两解，D正确． 三角形解的个数的判断方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数． [练4] (1)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件判断三角形的情况，正确的是(　　) A．b＝19，A＝45°，C＝30°，有两解 B．a＝，b＝2，A＝45°，有两解 C．a＝3，b＝2，A＝45°，只有一解 D．a＝7，b＝7，A＝75°，只有一解 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝4，且该三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(2，4) C．(0，4) D．(3，4) (1)CD　(2)B　解析：(1)对于A，因为A＝45°，C＝30°，则B＝105°，由正弦定理得＝＝，a＝，c＝，显然有唯一结果，即只有一解，A错误； 对于B，a＝，b＝2，A＝45°，由正弦定理得sin B＝＝＝>1，无解，B错误； 对于C，a＝3，b＝2，A＝45°，有a>b，则B<A＝45°， 由正弦定理得sin B＝＝＝<1，有唯一解，C正确； 对于D，a＝7，b＝7，A＝75°，有a＝b，则B＝A＝75°，此时C＝30°，有唯一解，D正确． (2)由正弦定理得＝，所以b＝＝＝， 因为该三角形有两解，故＝B<A<，A≠， 故sin A∈(，1)，即b＝∈(2，4).故选B. ◎随堂演练 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b＝(　　) A． B． C． D．2 D　解析：因为A＝30°，B＝45°，a＝2，由正弦定理，得＝，即b＝＝＝2. 2．(2024·北碚高一期末)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，A＝60°，则B＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° A　解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，sin B＝＝＝，而a>b，则在△ABC中有A>B，所以B＝30°. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＝b sin B，则△ABC一定为________三角形． 答案：等腰　解析：因为a sin A＝b sin B，由正弦定理可得a2＝b2，即a＝b， 故△ABC一定为等腰三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，b＝1，sin C＝4sin B，则△ABC的面积S＝________． 答案：　解析：因为sin C＝4sin B， 由正弦定理化角为边可得c＝4b＝4， 所以△ABC的面积S＝bc sin A＝×1×4×＝. [课时梯级训练(24)见P237] 学科网（北京）股份有限公司 $$