2.2.2 向量的减法（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

2．2　向量的减法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握向量减法运算及运算规则． 2．掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减综合运算． 知识点一　向量减法的概念及其几何意义 我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？ 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b). 2．减法的作图：给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝. 3．几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b. (1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减向量的终点”． (2)两个向量的差仍是一个向量． [例1] 如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. 解：如图所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，＝c，＝d， 则＝a－b，＝c－d. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． [练1] 已知图甲、乙中的两向量a∥b，作出a－b. 解：记＝a，＝b.对题图甲，平移向量b， 使与向量a有公共起点O(如图①)， 则＝a－b； 对题图乙，平移向量b，使向量b与向量a有公共起点O(如图②)，则＝a－b. [例2] 化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－). 解：(1)＋－＝－＝. (2)(－)－(－)＝－＋－＝＋＋＝＋＝－＝0. (3)(＋＋)－(－－)＝＋－(－)＝－＝0. 向量减法运算，常利用减去一个向量等于加上这个向量的相反向量来进行，主要有两种方式： (1)化为有公共起点的两向量的差； (2)化为首尾相接的两向量的和． [练2] 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝. 证明：因为b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＋＝， 所以b＋c－a＝. 知识点二　差向量的模 类比向量加法的三角形不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，对于向量减法，我们能得出什么结论呢？ 1．向量减法的三角形不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，其中若a，b同向，左边等号成立；若a，b反向，右边等号成立；若a，b不共线，左、右边等号均不成立；若a，b有一个为零向量，左、右两边等号均成立． 2．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|. [例3] 已知||＝10，||＝7，则||的取值范围为________． 答案：[3，17]　解析：因为＝－， 所以||＝|－|， 又|||－|||≤|－|≤||＋||，所以3≤|－|≤17，即3≤||≤17. (1)求向量的模的最值或范围时运用向量三角形不等式． (2)求向量的模或判定四边形形状时运用a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|. [练3] 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为________． 答案：4　解析：设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB(图略)， 则||＝|a＋b|. ∵(＋1)2＋(－1)2＝42， ∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB. ∴平行四边形OACB是矩形． ∵矩形的对角线相等， ∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4. ◎随堂演练 1．化简：－＋－＝(　　) A． B． C． D．0 D　解析：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0. 2．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点，AB∥CD，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为(　　) A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 C　解析：因为|－|＝|－|，即||＝||， 又AB∥CD，故四边形ABCD一定为平行四边形． 3．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，则|a－b|的最大值为________． 答案：7　解析：因为|a－b|≤|a|＋|b|＝7，当且仅当a，b反向时，等号成立， 所以|a－b|的最大值为7. 4．如图，在正六边形ABCDEF中，记向量＝a，＝b，则向量＝________．(用a，b表示) 答案：b－a　解析：由正六边形的性质知，－＝，∴＝b－a. [课时梯级训练(16)见P216] 学科网（北京）股份有限公司 $$